1、典型例题及习题例 01 下列分式中是最简分式的是（）A B264abba2)(C Dyxyx2分析：（用排除法）4 和 6 有公因式 2，排除 A 与 有公因式 ，2)(ab)(b)(ba排除 B， 分解因式为 与 有公因式 ，排除 D.2yx)(yxyx故选择 C.解 C例 02 约分（1） （2） （3）36)(2ab42xb214分析（1）中分子、分母都是单项式可直接约分.（2）中分子、分母是多项式，应该先分解因式，再约分.（3）中应该先把分子、分母的各项系数都化为整数，把分子、分母中的最高次项系数化为正整数，再约分.解：（1） 36)(2ab)4(3ba3)(1ba（2） 42x)2(
2、x（3）原式 213486)21(b 32bb634)12(4例 03 计算（分式的乘除）（1） （2）53abcd 426mn（3） 3422（4） 222baba分析（1）可以根据分式乘法法则直接相乘，但要注意符号.（2）中的除式是整式，可以把它看成 .然后再颠倒相乘， （3） （4）两题都需要先分解因式，再计算.164mn解：（1） 2253abcd25)6(abcd（2） 426mn74381nm（3）原式 )2()(1aa（4）原式 )()(2bb22)(ba说明：（1）运算的结果一定要化成最简分式；（2）乘除法混合运算，可将除法化成乘法，而根据分式乘法法则，是先把分子、分母相乘，化
3、成一个分式后再进行约分.在实际运算时，可以先约分，再相乘，这样简便易行，可减少出错.例 04 计算（1） )()(432xyyx（2） xx6)(4622分析：（1）对于含有分式乘方，乘除的混合运算，运算顺序是先乘方后乘除，一般首先确定结果的符号，再做其他运算， （2）进行分式的乘除混合运算时，要注意，当分子、分母是多项式时，一般应分解因式，并在运算运程中约分，使运算简化，因式，除式（或被除式）是整式时，可以看作分母是“1”的式子，然后按照分式的乘除法法则计算，这样可以减少错误.解：（1）原式 243621)(xyxy（2）原式 1)(2x例 05 化简求值，其中 ， .232baba 3ab
4、分析 本题要求先化简再求值，实际上就是先将分子、分母分别分解因式，然后约分，把分式化为最简分式以后再代入求值.解 原式 )(23baba)()(32ba当 时，3,2原式 9例 07 判断下列分式，哪些是最简分式？不是最简分式的，化成最简分式或整式.（1） ； （2） ；42x36)(4ab（3） ； （4）2y812x分析 （1） ，分子、分母有公因式 ，所以它2x)2()2(x不是最简分式；（2）显然也不是最简分式；（3）中 与 没有公)(2yyx因式；（4）中 ， ，分子、22)1(xx 248x分母中没有公因式.解 和 是最简分式；2y82x和 不是最简分式；42x63)(ab化简（1
5、） 2x.2)(2xx（2） 63)(4ab336)(4)(abab例 08 通分：（1） ， ，23cabcba5（2） ， ，92316分析 （1）中各分母的系数的绝对值的最小公倍数为 30，各字母 、 、 因式的abc最高次幂分别是 、 、 ，所以最简公分母是 .2abc230cba（2）中分母为多项式，因而先把各分母分解因式， ；)3(9； ，因而最简公分母是)3(13a )(2652a.)(a解 （1）最简公分母为 .230cb，23cab234321a232055cbcbcba523236a（2）最简公分母是 )()1(a39)2()3(2)(aa )3(2)1(3a21 )()1
6、()( )()(652a )1(3)2()3(aa )3(2)(1a说明 1通分过程中必须使得化成的分式与其原来的分式相等.2通分的根据是分式的基本性质，分母需要乘以“什么” ，分子也必须随之乘以“什么” ，且不漏乘.3确定最简公分母是通分的关键，当公分母不是“最简”时，虽然也能达到通分的目的，但会使运算变得繁琐，因而应先择最简公分母.例 09 选择题：若将分式 （ 、 均为正数）中的字母 、 的值扩大为原来的 2 倍，则分式abab的值（）A扩大为原来的 2 倍 B缩小为原来的 21C不变 D缩小为原来的 4分析 将原式中的 、 分别换成 ， ，则原分式变为abab，ba214)(2故选 B
7、.说明 此题属于利用分式基本性质设计的选择题，主要考查对性质的灵活掌握程度，只要有整体代换的思想便容易解答.代换过程中 、 分别换成 ， ，其写法不能写为aba2b，而应如分析中的写法，将 、 分别换为 ， 时，原分式变为ba2.例 10 若 成立，则 应取何值，为什么？1)(3xaa分析 )1(3)()(1 xx 从上看出，由 变为 是利用分式的基本性质，把分子、分母都乘以)(3xa非零整式 得到的，在这个恒等变形过程中，只需 ，所以 即可. 03a3a解 为不等于 3 的数.因为当 时， ，此等式无意义.3例 11 下列各式从左到右的变形是否正确？（1） ； （2）nmmn)(（3） ；
8、（4）1yx1bax分析 （1）错.因为误把分母中项“ ”的符号当作分母整体的符号：（2）错.不符合分式的变号法则；（3）错.不符合分式的基本性质；（4）错，因为分子、分母都除以时，只除含 的项，没除其他项.xx解 （1） nmnm)(（2） )(（3） xyyx1（4） （ ）1xba0说明 此题变形反映了运用分式基本性质解题时易犯的错误，应在今后变形过程中加以避免.例 12 设 、 是实数，要使分式 的值等于零， 、 应满足怎样的条件？abba2ab分析 最直观的想法是，要使 ，只要 即可，而仅有此条件显然是片02面的，因为分式为零，应要求分子为零，且分母不为零，所以本题对 、 的限制条件
9、是：，且 ，且 .ba2a分析到此，条件虽然找到，但“ ，且 ”，是不是最本质，最简练的表达，b2a还不一定.解决一个数学问题，应该追求其形式尽量简洁，刻画尽量深刻.解 要使 ，必须有 且 ，而当 时， ，即02b0bba2.,3,2b由此，要使 的值为 0， 、 应满足的条件是 且 .aab0说明 其实“ 且 ”与“ 且 ”的本质完全一致，但后者的刻b220画简单明了，这也是数学追求的形式.数学作为一种科学的语言，它能够也应该追求深入、科学、简明地刻画各种关系.同时提示我们.学习数学也要学习数学的思想方法，而不只是学习一些数学事实、掌握一些数学运算或推理技巧而已.例 13 有 个人去完成某项
10、工作，需要 天可以完成，那么 个人去做这项工ma)(nm作，需要多少天才能完成？分析 解决此题的关键在于求出每人每天的工作量，这只要从 人 天可以完成的工a作就可推导出来.解 因为 人 天可以完成某项工作，所以每人完成的工作量是 ，所以a 1人一天可以完成 工作量，由工作的总量 1工作时间工作效率，得到)(nmmn人完成该项工作需要 天.例 14化简： 231a解：当 且 时，0a原式 223)1(1aa22)()(a1当 且 时0原式 22)1()()(a2)1(a说明 分式约分是在整式除法，因式分解等知识的基础上进行的，但有时也与绝对值等知识联系起来.例 15求值已知 ，求代数式 的值.0
11、19852x21)()(3x解： )()(2321)(2xx)(42452xx当 019852即 24x说明 对于代数式求值，一般情况要先化简再求值.例 16求值已知 求代数式 的值.zyx32223zxy解：设 （ ）4k10则 .,3,2zyx原式 2141624382kk说明 遇到分式的求值时，一般要根据条件灵活变形再求值.例 计算：（1） ；229453mxyyxm（2） 3662解：（1） 229453mxyyxm3523xyyx（2） x64622x3132x22说明 1对分子、分母作因式分解与除法运算转化成乘法运算可同时进行；2运算中出现整式时，若是乘积运算，只须将它与其它分式的
12、分子相乘；当它是除式时，则只取它本身的倒数，再与其它分式相乘注意，第（2）题千万别错写成6314622xx的形式；3计算的结果，如果可能，尽量不让分式前边带有负号如（1）题例 计算：（1） ； （2） ；32cab 22ba（3） 43xymxy解：（1） ；63323287cbacbca（2） 2ba22ba22；23ba（3）432xymxy3843624 yym说明 1对于乘、除和乘方的混合运算，虽然应该注意运算顺序，但在做乘方运算的同时，可将除变乘；2做乘方运算要先确定符号习题解答题1约分（1） （2）82635cdba)(2bayx（3） （4）yx)(8732计算题（1） （2）2
13、8ba xaby1652（3） （4）yxm508（5） （6）b21932)4(xy（7） （8）49632m)2(23yxyx3先化简，再求值（1） ，其中 ，29yx34（2） ，其中1732a1（3） ，其中 ，2269b8a2b（4） ，其中 ，4ca35c4计算题（1） （2）2)(bb 22)1(xyx（3） 56310722xx（4） 142aa（5） xyxy22)(（6） 2245316x（7） )(2x（8） xyx6824104362322 5化简求值（1）当 时，求 的值x32（2）当 时，求 的值3x962xx3)9)(2 932x参考答案：1 （1） （2） （3
14、） （4）3adcyxbab2 （1） （2） （3） （4） （5）b342mx32x0（6） （7） （8）xyyx13 （1） （2） （3） （4）34y24a916ba612ca4 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）1（8）bax1xyx5 （1） （2）6x69求下列各分式的值：（1） ，其中 ；12732a31a（2） ，其中 ， ；2269b82b（3） ，其中 ， 4ac375.0c参考答案：（1） ；（2） ；（3） 4167选择题1选择题（1）下列分式中不是最简分式的是（ ）（A） （B） （C） （D）2baab21xx42（2）将分式 化成最简分式
15、得（ ）2yxa（A） （B） （C） （D）yxayxa2（3）下列约分正确的是（ ）（A） （B）32)(2acba ba12（C） （D ）1)(2xyxy2（4）下列各式中，计算结果正确的有（ ） x32 ab1122a ab3226)4(8bb)()(2（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D ）4 个（5）下列各式中，正确的是（ ）（A） （B） （C） （D）2abcab2)(baa2选择题（1）计算 结果是（ ）2)3(yx（A） （B） （C） （D）2629yx2)(6yx2)(9yx（2）下列计算不正确的是（ ）（A） 242235)()15( abbxa（B） 6
16、1623279)()( x（C） 3332)()1()( xyyx（D） 302120)(yx（3）下列化简正确的是（ ）（A） nmn4822（B） 1yx（C） m232（D） baba1)(（4）计算 的结果是（ ）dc2（A） （B） （C） （D ）2a2bbc221dcba（5）分式 可化简得（ ）x12（A） （B） （C） （D ）1xx参考答案：1 （1）D（2）B（3）D（4）C （5）C2 （1）D（2）D（3）A（4）B（5）B填空题1. 填空题（1）约分： ；_30152x_myx（2）计算： =_ba（3）计算： =_21)(x（4）将分式 化简得_yx2（5）把分式 化成最简分式得_23ba2填空题（1）约分： =_3528nm（2）计算： =_baxy3221094（3）当 ， 时， =_a2234b（4）化简： =_23a（5）若 ，则化简 =_1ba1bab参考答案：1 （1） ， （2） （3） （4） （5）xm1ab1xya22 （1） （2） （3） （4） （5）0n4y65a
