1、新课标八年级数学竞赛讲座第十八讲 由中点想到什么线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么?常见的联想路径是：1中线倍长；2作直角三角形斜边中线；3构造中位线；4构造中心对称全等三角形等熟悉以下基本图形，基本结论：例题求解【例 1】 如图，在ABC 中，B=2C，ADBC 于 D，M 为 BC 的中点， AB=10cm，则 MD 的长为 (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨 取 AB 中点 N，为直角三角形斜边中线定理、三角形中位线定理的运用创造条件
2、注 证明线段倍分关系是几何问题中一种常见题型，利用中点是一个有效途径，基本方法有：(1)利用直角三角斜边中线定理；(2)运用中位线定理；(3)倍长(或折半 )法 【例 2】 如图，在四边形 ABCD 中，一组对边 AB=CD，另一组对边 ADBC，分别取 AD、BC 的中点 M、N，连结 MN则 AB 与 MN 的关系是( )AAB=MN BABMN CABBC ，C 、F 分别是 AB、CD 的中点，AD 、BC 的延长线分别与EF 的延长线交于 H、G，则AHE BGE(填“ ”或“=”或“”号)15如图，在ABC 中，DC=4 ，BC 边上的中线 AD=2， AB+AC=3+ ，则 SA
3、BC 等于( )7A B C D1525322716如图，正方形 ABCD 中，AB8，Q 是 CD 的中点，设DAQ= ，在 CD 上取一点P，使BAP2，则 CP 的长是 ( ) A1 D2 C3 D 3新课标八年级数学竞赛讲座17如图，已知 A 为 DE 的中点，设DBC、ABC、EBC 的面积分别为 S1，S 2，S 3，则 S1、S 2、S 3 之间的关系式是( )A B C D)1(213SS)(213S)(13218如图，已知在ABC 中，D 为 AB 的中点，分别延长 CA、CB 到 E、F，使 DE=DF，过 E、F 分别作 CA、CB 的垂线，相交于点 P求证：PAE=PB
4、F (2003 年全国初中数学联赛试题)19如图，梯形 ABCD 中，ADBC，ACBD 于 O，试判断 AB+CD 与 AD+BC 的大小，并证明你的结论(山东省竞赛题)20已知：ABD 和ACE 都是直角三角形，且ABD=ACE=90如图甲，连结DE，设 M 为 D 正的中点(1)求证：MB=MC ；(2)设BAD=CAE，固定ABD，让 RtACE 绕顶点 A 在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB；MC 是否还能成立?并证明其结论(江苏省竞赛题)21如图甲，平行四边形 ABCD 外有一条直线 MN，过 A、B、C、D4 个顶点分别作 MN的垂线 AA1、BB 1、CC l、DD l，垂足分别为 Al、B 1、C l、D 1(1)求证 AA1+ CCl = BB1 +DDl；(2)如图乙，直线 MN 向上移动，使点 A 与点 B、C、D 位于直线 MN 两侧，这时过A、B、C 、D 向直线 MN 引垂线，垂足分别为 Al、B 1、C l、D 1，那么AA1、BB 1、CC l、DD l 之间存在什么关系? (3)如图丙，如果将 MN 再向上移动，使其两侧各有 2 个顶点，这时过 A、B、C 、D 向直线 MN 引垂线，垂足分别为 Al、B 1、C l、D 1，那么 AA1、BB 1、CC l、DD 1 之间又存在什么关系?新课标八年级数学竞赛讲座
