1、 第 21 單元 一元二次方程式 班級： 座號： 姓名： P.1一、 一元二次方程式的定義1.定義：一個方程式經過合併化簡之後，只含有一個未知數，且此未知數的最高次數為 2 次時，這個方程式就叫做一元二次方程式。例如：、 、 、 、1342x042x08252x註：含有未知數的等式就叫做方程式。2.一元二次方程式的標準式： ，其中 ，cbax0a叫做一元二次方程式的標準式。例 1：下列哪些方程式是一元二次方程式？（1） （2）1524x321xx（3） （4）0x2（5） （6）y03答： 。例 2：一直角三角形，其兩股與斜邊各為 、 、4x23，試列出 的一元二次方程式。4xx3.一元二次方
2、程式的解：（1）求出一元二次方程式未知數所代表的數的過程，就叫做解一元二次方程式。（2）將一個數代入原一元二次方程式中的未知數，使得等號兩邊的結果皆相等，這個數就叫做一元二次方程式的解或根。 1. 一元二次方程有解時，必定是兩個根。2. 求出解之後，一定要驗算。例： 、-2、 、 哪些是 的解。2202x4. 解一元二次方程式的原理：若 ，則 或 。BA0B解方程式的方法：（1）先利用移項化簡將方程式表示成標準式 ， （2）再利用方法分解成兩個一02cbxa次項因式的乘積。 （3）在令兩個一次項因式各等於 0，再求解。例 1：解 x解： 或03或 3,1:xA例 2：解 013x解： 或或 3
3、1 ,0:xA例 3：解 02x解： ， 或3或 （重根） （亦可寫成 ）,:A重 根 0x 針對任何一元二次方程式求解的方法，有以下幾種。5. 利用因式分解法解一元二次方程式：（1）直接提出公因式：勿直接兩邊同除一個因式，否則必減根 何謂等量除法：在一個等式中，兩邊同除以一個 不為 0 的數 。例 1：解 013x解： ， 或 x03x， 3x例 2：解 0642解： ， 或 02x03x， x3例 3：解 25解： ， 0025x或 ， x ,（2）利用乘法公式：例 1：解 023解：同除以 3 ： 42x平方差 ： ， 0，例 2：解 162x解： 042x， 5325 ,3x例 3：解
4、 01692x解： 2x，23（重根）1x例 4：解 04932解：同乘以 4 ： 0912x32x， x（重根）23x例 5： 解 7解： ， ，020722x第 21 單元 一元二次方程式 班級： 座號： 姓名： P.2， ，07x7x例 6：解 52解： ， 無解（3）利用十字交乘法：例 1：解 02x解： ，121 ,x例 2：解 432解： 0x， 8438 ,4x例 3：解 322解： 0x同乘以 ： 12x， 31 ,36.根與係數的關係：（1）若 、 分別為的兩根，則： ； 02cbxa 1 ab 2。（2）以 、 為兩根的一元二次方程式為 0x或 。02xx例：若-7、1 為
5、 的兩根，求 、 之值。02baxab練習題：1. 求下列各方程式的解：（1） ， 2312xx x（2） ， 76（3） ， 05（4） ， 23xx（5） ， 422（6） ， 1（7） ， 22349xxx（8） ， 81（9） ， 032x x（10） ， 2546（11） ， 1yy（12） ， 091aa（13） ， 6352xx（14） ， 2（15） ， 314（16） ， 0852xx x（17） ， 3（18） ， 1725xx（19） ， 53（20） ， 2224xx x（21） ， 317（22） ， 522xx（23） ， 018（24） ， 3122xx x（25
6、） ， 012. 若 0 為一元二次方程式 之根，則252mx另根為何？3. 若 為方程式 之根， 為方程式a0652xb之根，試求： 之值。032x23152a4. 若 2 是 的方程式 =0 之根，求 ？x2215axa5. 已知 是方程式 之根，求：（1） ？10212axa（2）此方程式的另根。6. 若 2、 為方程式 的兩根，試求 ？b0432axba第 21 單元 一元二次方程式 班級： 座號： 姓名： P.37. 設 ， ，求 之值。0ab04322baba328. 、 為二次方程式 ，ab0152ba（1）若 時，則 之值為何？（2）若 時，且 ，則 ？ ？79.甲、乙兩生同解
7、一個 項係數為 1 的二次方程式，甲將 項2x x的係數看錯，解得兩根為 3、-6；乙將常數項看錯，解得兩根為 3、4，若此外無其他的錯誤，求：（1）正確的方程式；（2）正確的兩根。10. 若 的兩根為 、 ，則 ？0612xab配方法1. 平方根：若 ，且 ，則 。0aax2ax叫做 的平方根。註： 正數的平方根有兩個，且互為相反數。 10 的平方根只有一個，就是 0。 2負數沒有平方根。 32. 若方程式為 ，則：kx2（1） 時， 的解為 。kx（2） 時， 的解為 。020,（3） 時， 為無解 。kkx例：求下列各方程式的解。（1） （2）52x12x（3） （4）02x2x（5）
8、（6）192 03823. 形如 （ ）的方程式，則 ，kbax20kbax故其解為 。akbx例：求下列各方程式的解。（1） （2）0163223x（3） （4）1642x9132x4. 完全平方式：可以寫成 的二次三項式，叫做完全2bax平 方式。例如： ， ，所以221x21369x與 都是完全平方式。x5. 配方法：把一個一元二次式加上適當的常數之後，可以化成完全平方式的方法叫做配方法。 再加上 ，可以配成完全平方式。kx22k222 x口訣：欲將 在加一個常數配成完全平方式時，要加上kx一次項係數一半的平方（即加上 ） 。2k例 1：將下列各一元二次式配成完全平方式和一個常數的差。（
9、1） （2）x62x72（3） （4）x21x92（5） （6）x23x32 若 為完全平方式時，則 。cbxa2 042acb解說： cxa2第 21 單元 一元二次方程式 班級： 座號： 姓名： P.4cabxab222c422， 故0cab02ab例 1：欲將 配成完全平方式，則需再加上常數為 x32。例 2.若 ，則 。cbxax22183 cba6. 利用配方法解一元二次方程式：解一元二次方程式 ， （ ）的步驟如下：02cbxaa步驟一：將常數項移到等號右邊，得 cbx2步驟二：將 項係數化為 1，得2x步驟三：兩邊同加 項係數一半的平方，得 acbaxb222步驟四：寫成完全平方
10、式，得 224cx步驟五：兩邊開方取正負號，得 2ab步驟六：移項化簡，得 acbx24例：解下列各一元二次方程式：（1） （2）0182x 03x（3） （4）022x 0462x（5） （6）022x 0142x（7） （8）02632x 0152x（9） （10）0892x 01272x加強題：1. 利用配方法解 ，得 ，則 ？081632x38mx2. 若 可推得 ，則 ？0162kx3284xk3. 若 ，則 ？baxx22144. 試求以 為兩根的一元二次方程式。 。231-5. 若 為 之根，則 ？102axa6. 若 為方程式 的一根，則 ？22142cxc7. （1）想要使
11、成為完全平方式，則應加上常數為 x582。（2）想要使 成為完全平方式，則應加上常數為 ba2。（3）若 為完全平方式，則 ？9142xkx k（4）若 再加上一數 後，可以變成完全平方7k式，則 ？第 21 單元 一元二次方程式 班級： 座號： 姓名： P.58. 設 為一元二次方程式 的一根，則5314 0382xa？a9. 若 為完全平方式，則 ？1xmm10.若 ，求 的解。023542xxx根式的性質：1. 含有根號的式子叫做根式：例： ， ， ，12532312. 同類方根：經過化簡之後，被開方數與開方次數皆相同者。例： 與 ， 與235237 同類方根才可以相加減。anma3.
12、方根的基本運算：若 ， 0，則：0b（1） （2）aba4. 最簡根式：若一個方根，符合下列兩個條件者，叫做最簡根式：（1）被開方式能提出者，要完全提出。ba2（2）分母不能含有方根。 （有理化分母） 1 2 2 baaba22 3 22例 1：化簡下列各式（求至最簡根式）：（1） 507423（2） 1889（3） 286（4） 968（5） 213（6） 12413（7）2（8） 315231542例 2：化簡下列各式（求至最簡根式）：（1） -（2） 13第 21 單元 一元二次方程式 班級： 座號： 姓名： P.6（3） 8532（4） 67（5） 820（6） 2318（7） 197
13、1531（8） 5032156（9） 435-625（10） 1093721372例 3：設 ， ，求：37x37y（1） （2） （3） yxyx1（4） （5） 。2x 22y練習：化簡下列各式（求至最簡根式）：（1） ， （2） 8746 32（3） 2632（4） ， （5） 30501.（6） （7） 2352（8） 101232（9） 248635（10） 571231第 21 單元 一元二次方程式 班級： 座號： 姓名： P.7（11） 22 373737（12） 22531531一元二次方程式的公式解：1. 利用配方法解一元二次方程式 ， （ ）的02cbxaa步驟如下：步驟一
14、：將常數項移到等號右邊，得 步驟二：將 項係數化為 1，得2xax2步驟三：兩邊同加 項係數一半的平方，得 cabxab222步驟四：寫成完全平方式，得 224acx步驟五：兩邊開方取正負號，得 2b步驟六：移項化簡，得 acbx24 一元二次方程式 ， （ ）的公式解為02a，其中 叫做判別式。cbx4cD22. 一元二次方程式兩根的性質：判別式 ab42（1）若 時，則有兩相異實根，兩根為02aD。cbx4（2）若 時，則有兩相等實根（重根） ，兩根2為， 。abx2（3）若 時，則方程無實數解（或無解） 。04cD3.利用公式解求解的過程如下：（1）找出標準式中 、 、 的值。b（2）代
15、入 中，求出判別式 的值。a2D（3）分析， 若 時，此方程式為無解。 1 0若 時，將 的值代入， 2 中，即為方程式的解。abx例 1. 利用公式解求下列各一元二次方程式（1） （2）032x 0532x（3） （4）0152xx62（5） （6）132x032x（7） （8）01532x 04312x（9） （10）03412x0142xx例 2：判別下列方程式根的性質與解的個數。（1） （2）098x 04182x（3） （4）32 57例 3：（1）若方程式 的兩根相等，求03124mx的值與方程式的根。m第 21 單元 一元二次方程式 班級： 座號： 姓名： P.8（2）若方程式
16、有兩個相異的根，求 的範圍與092axa的最大整數解。a（3）若方程式 無解，求 的範圍與 的最038162kxkk小整數解。（4）若方程式 有解，求 的範圍與 的最012392kxkk大整數解。例 4：若二次方程式 有實數解，求：（1）06312xk的範圍；（2）最大整數解 為何？kk4. 一元二次方程式兩根的十大性質：一元二次方程式為 ， ，判別式02cbxaa， ， ，cbD42（1） 若 ，則有兩相異實根。0（2） 若 ，則有兩相等實根。（3） 若 ，則無實數解（無解）（4） 若 ，則有兩個實數解。（5） 若 為完全平方數，則兩根皆為有理數（不含根號） 。D（6） 若 ，則兩根互為相反
17、數。0b（7） 若 ，則兩根互為倒數。ca（8） 若 ，則至少有一根為 0（即有 0 的根） 。（9） 若 ， ，則恰有一根為 0。（10）若 ，則兩根皆為 0。0b例 1：設 的二次方程式 ，恰有一x0622mxm根為 0，則（1） ？（2）另根為何？m例 2：已知元二次方程式 的兩根相等，則042kx？k例 3：二次方程式 有二相異實根，則 的範圍042xaa為何？例 4：若 的二次方程式 ，求：x0324142mxxm（1） 若兩根相等，則 ？（2） 若兩根互為相反數，則 ？（3） 若兩根互為倒數，則 ？（4） 若兩根的和為 ，則 ？1m（5） 若兩根的乘積為 2，則 ？（6） 若至少有
18、一根為 0，則 ？一元二次方程式的應用解一元二次方程式應用問題的步驟：（1）設定未知數（2）列方程式（3）解方程式（4）驗算（5）寫答案 。例 1. 兩個連續的正整數的乘積為 7140，求這兩個數各為何？例 2. 有三個連續的奇數，它們的平方和為 83，求這三個數。例 3：已知直角三角形的三邊長為三個連續的偶數，試求此直角三角形的面積。例 4：已知梯形的面積為 88 平方公分，且知下底較上底長2 公分，高又比下底長 2 公分，求此梯形的上底、下底與高。第 21 單元 一元二次方程式 班級： 座號： 姓名： P.9例 5：小玉想把塊長 66 公分，寬 40 公分的矩形刺繡，鑲上一條等寬的邊，使鑲邊的面積為刺繡面積的 ，問61鑲邊的寬是多少公分？66cm40cm例 6：某市的都市計劃中有一長方形的公園，長 400 公尺，寬300 公尺，如於其四周舖一條等寬的馬路，則所增加的面積為公園面積的 ，問此條馬路的寬是多少公尺？102例 7：取一條長 1 公尺的繩子，將繩子分成長邊與短邊的兩段，如果 1：長邊長邊：短邊，請求出長邊與短邊的比值。
