1、第四章 Z 变换1 Z 变换的定义(1) 序列 的 ZT：)(nx0)()()(nzxzX(2) 复变函数 的 IZT： ， 是复变量。)(z)()(1zZxse(3) 称 与 为一对 Z 变换对。简记为 或)(nx)(X )()(zXnxZT)(zXnx(4) 序列的 ZT 是 的幂级数。 代表了时延， 是单位时延。1znz1(5) 单边 ZT： 0)()(nxx(6) 双边 ZT： nnBzxzXxZ)()()(2 ZT 收敛域 ROC定义：使给定序列 的 Z 变换 中的求和级数收敛的 z 的集合。)(x)(z收敛的充要条件是它nnzx)( nnx)(3) 有限长序列的 ROC序列 在 或
2、 (其中 )时 。)(x1n2210(x收敛域至少是 。z0序列的左右端点只会影响其在 0 和 处的收敛情况：当 时，收敛域为 ( 除外),21nz,当 时，收敛域为 ( 除外)0,0当 时，收敛域为 ( 除外),21nz0右边序列的 ROC序列 在 时 。)(x10)(nx如果 ，则序列为因果序列。01nROC 的情况：当 时，ROC 为 ；1zRx1当 时，ROC 为 。0n左边序列的 ROC序列 在 时 。)(nx20)(nx如果 ，则序列为反因果序列。12ROC 的情况：当 时，ROC 为 ；02n20xRz当 时，ROC 为 。双边序列的 ROC序列在整个区间都有定义。双边序列可以看
3、成是左边序列和右边序列的组合，于是 10)()()()( nnnn zxzxzxzXxR)(lim1nx)(li2如果 存在且 ，则双边序列的 ROC 为 ，否则，ROC 为空集，即双1xR212xR 21xxRz边序列不存在 ZT。注意：求得的是级数收敛的充分而非必要条件，实际收敛域可能会更大；实际的离散信号通常都是因果序列，此时单边 ZT 与双边 ZT 是一致的，收敛域也相同，都是 z 平面上的某个圆外面的区域。关于极点与 ROC 关系的一些结论：一般地讲，序列的 ZT 在其 ROC 内是解析的，因此 ROC 内不应包含任何极点，且 ROC 是连通的。序列 ZT 的 ROC 是以极点为边界
4、的。右边序列 ZT 的 ROC，是以其模最大的有限极点的模为半径的圆外面的区域(不包括圆周) 。左边序列 ZT 的 ROC，是以其模最小的非零极点的模为半径的圆内部的区域(不包括圆周) 。双边序列 ZT 的 ROC，是以模的大小相邻近的两个极点的模为半径的两个圆所形成的圆环区域(不包括两个圆周)。3 常用序列及其 ZT单位冲激序列( n)定义： 0(,1(ZT： 1)(nnzZROC： z0注意：单位冲激序列不是单位冲激函数的简单离散抽样。单位阶跃序列 u(n)定义： 0,1)(ZT： )1(1)()(0 zzznuZn序列的单边 ZT 用双边 ZT 表示为： )()(nuxZB序列是因果序列
5、的充要条件是： nx序列是反因果序列的充要条件是： )1()(矩形脉冲序列 GN(n)定义： ,0,1ZT： ( )10)(znZNnNz0注意：矩形脉冲序列亦非单位矩形脉冲信号的简单离散抽样，它们之间还存在一个时移关系。单位斜变序列 nu(n)1,1()2zznxZ)32zu1)1(4)(23 znZ单边指数序列 anu(n)azzuaZn,)(01aza,)()2znuZ,324 ZT 的性质(1) 线性性： ( )KkKkKk zXanxZanxaZ111 )()( 211minaxkKkKRzR(2) 时域平移性：(i) 双边 ZT：(a) 左移： ( )(zXmnxZB21Rz(b)
6、 右移： ( )(zXmnxZB21Rz(c) 序列时移最多只会使 ZT 在 处的零、极点情况发生变化。或0(ii) 单边 ZT：左移： 10)()()(mkkzxzXnuxZ右移： ( )1)()()(mkkzxzmx 21Rz对因果序列： )()(zXnuxZ(3) 时域扩展性：定义： ，a 是扩展因子。)0(,0,)( Zanxna a1 时，相当于在原序列每两点之间插入( a-1)个零。a-1 时，相当于原序列先反褶，然后每两点之间插入(-a-1)个零。zXnxZ)(ROC： 或 21Rza0,/1/122aRza如序列是偶对称的，则 zXnxZX1)()()(如序列是奇对称的，则 z
7、1如果一个偶对称或奇对称序列的 ZT 含有一个非零的零点(或极点) ，那么它必含有另外一0z个与互为倒数的零点(或极点 ) 。01z(4) 时域共轭性：(i) ( )*)(zXnxZ21Rz(ii) 如果序列是实序列，则 *)()()( zXnxZX(iii) 如果实序列的 ZT 含有一个零点(或极点) ，那么它必含有另外一个与之共轭对称的零0点(或极点) 。*0z(5) z 域尺度变换( 或序列指数加权 )性：21,) xxnRazaXxaZ21),() xxn RazazXxaZ,1(21,)00 xxjjn RzzeXxeZ用复指数序列 去调制一个序列时，可以调制其相位特性。jn(6)
8、z 域微分 (或序列线性加权 )性：(i) ( )()nxZdzxZ21Rz(ii) ROC 唯一可能的变化是加上或去掉 0 或 。(iii) ( )(xzxnmm 21z初值定理： 是因果序列， ，则 。)( 0)()()(nnzxZX )(lim)0(zXx终值定理： 是因果序列， ，则)(nx0)()()(nnzxz)(1lim)(li zXzn只有在 存在时才能用, 此时 的极点必须在单位圆内(如果位于单位圆上则只能)(linx )zX位于 ，且是一阶极点)。1z逆 Z 变换的求解部分分式展开法：基本思路：把 展开成常见部分分式之和，然后分别求各部分的逆变)(z换，最后把各逆变换相加即
9、可得到 。通常做法展开的对象是 ，而不是 。nx zX)()(zX幂级数展开法：把 按 展成幂级数，那么其系数组成的序列 即为所求。这种方法)(zX1 )(nx有时给不出一个闭式表达式。6 离散时间系统离散时间系统及其分类：定义：离散时间系统就是输入输出都是序列的系统。输入 通常称为激励，输出 称)(nx)(ny为响应。输入输出的对应关系可简记为 )()(ynx系统的响应可以分为零状态响应(系统处于零状态时对应的响应) 和零输入响应(没有激励时系统的响应)。线性离散时间系统：对任意一组常数 ( )，满足条件kcK1Kkkkkkk nycnxcnynx 11 )()()(),)(的系统。否则就是
10、非线性系统。时不变离散时间系统：在同样起始状态下，系统响应特性与激励施加于系统的时刻无关。即： 。否则就是时变系统。)()()()( NnyNnxnyx (2) LTI 离散时间系统的表示方法：一般用差分方程来描述。有三种基本的内部数学运算关系：单位延时、乘系数和相加。差分方程的一般形式是： )()(00rnxbknyaRrKk (3) 离散时间系统响应的 ZT 法求解的基本步骤：求出激励的 ZT；对表示离散系统的差分方程两边施加 ZT；把激励的 ZT 代入，求出响应的 ZT；求 IZT，即可得到系统的响应。离散时间系统的传递函数定义 1：定义 为离散系统的传递函数或系统函数。它表示系统的零状
11、态响应与因)(/)(zXYzH果序列激励的 ZT 之比值。定义 2：定义离散系统的单位冲激响应为系统对单位冲激序列 的零状态响应，并记作为)(n，即)(nh)()(nh定义 3：离散系统的单位阶跃响应为为系统对单位阶跃序列 u(n)的零状态响应。第五章 离散傅里叶变换1 离散傅里叶变换(DFT)的推导(1) 时域抽样：目的：解决信号的离散化问题。效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。(2) 时域截断：原因：工程上无法处理时间无限信号。方法：通过窗函数(一般用矩形窗 )对信号进行逐段截取。结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。(3) 时域周期延拓：目的：要使频率离散，就要
12、使时域变成周期信号。方法：周期延拓中的搬移通过与 的卷积来实现。)(snTt表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。(4) 经抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的。过程见图 1。有 卷 积 波 纹 N N 原 函 数 用 于 抽 样 抽 样 后 用 于 截 断 截 断 后 用 于 延 拓 延 拓 后 定 义 DFT 叠 加 干 涉 0 t0 t0 t0 t0 t0 t0 t0 t或 nTs 0 f或 kf0 0 f 0 f 0 f 0 f 0 f 0 f 0 f 图 1 DFT 推导过程示意图(5) 处理后信号的连续时间
13、傅里叶变换： kNnknjsfeThfH)()()( 010/2(i) 是离散函数，仅在离散频率点 处存在冲激，强度为 ，其)(fH Sf ka余各点为 0。(ii) 是周期函数，周期为 ，每个周期内有 个不同的幅值。)(f sTNf10N(iii) 时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期( 或离散间隔)互为倒数。2 DFT 及 IDFT 的定义(1) DFT 定义：设 是连续函数 的 个抽样值 ，这 N 个点的宽度为 N 的snTh)(th1,0nDFT 为： ).,()(10/2kNTHenTDFsNnkjs(2) IDFT 定义：设 是连续频率函数 的 个抽样值 ， 这 N 个点的宽s
14、kH)(f 1,0度为 N 的 IDFT 为： ),.1(,10/21 NknTheNTkTkDF sNkjss(3) 称为 N 点 DFT 的变换核函数， 称为 N 点 IDFT 的变换核函数。它们互为共nje/2 j/轭。(4) 同样的信号，宽度不同的 DFT 会有不同的结果。DFT 正逆变换的对应关系是唯一的，或者说它们是互逆的。(5) 引入 NjeW/2(i) 用途：(a) 正逆变换的核函数分别可以表示为 和 。nkNWk(b) 核函数的正交性可以表示为： )(*10rnrk(c) DFT 可以表示为： )1,0,)( NknThHkNss (d) IDFT 可以表示为： ,(,1)(
15、0nWnhks(ii) 性质：周期性和对称性：(a) 12jNeW(b) /(c) rNr(d) NW2/2/(e) )(1Zm(f) ),(/2/2 ZnmeeWNnjnjn 3 离散谱的性质(1) 离散谱定义：称 为离散序列 的 DFT 离散谱，简称离散谱。)(ZkNTHSk )0)(NnTsh(2) 性质：(i) 周期性：序列的 N 点的 DFT 离散谱是周期为 N 的序列。(ii) 共扼对称性：如果 为实序列，则其 N 点的 DFT 关于原点和 N/2 都具有共)0)(nsx轭对称性。即 ； ；*kH*k*2kkH(iii) 幅度对称性：如果 为实序列，则其 N 点的 DFT 关于原点
16、和 N/2 都具有幅)(Ts度对称性。即 ； ；kkNkk22(3) 改写：(i) 简记 为)(snTh(ii) 简记 为sNkH)(iii) DFT 对简记为： 或(kHnhDFT)()knh(iv) )1,0,)10 NWkN(v) ,(,()(1nkFTnh 4 DFT 总结(1) DFT 的定义是针对任意的离散序列 中的有限个离散抽样 的，它并不要求该序)(nTsx )0(Nn列具有周期性。(2) 由 DFT 求出的离散谱 是离散的周期函数，周期为)()(ZkNHkS、离散间隔为 。离散谱关于变元 k 的周期为ssfTNf1/0 01fTfsN。(3) 如果称离散谱经过 IDFT 所得
17、到的序列为重建信号， ，则重建信号是离散的周期)(ZnTsx函数，周期为 (对应离散谱的离散间隔的倒数 )、离散间隔为01fTs(对应离散谱周期的倒数)。0/NfTs(4) 经 IDFT 重建信号的基频就是频域的离散间隔，或时域周期的倒数，为 。SNTf10(5) 实序列的离散谱关于原点和 (如果 N 是偶数)是共轭对称和幅度对称的。因此，真正有用的频2谱信息可以从 0 范围获得，从低频到高频。1N(6) 在时域和频域 范围内的 N 点分别是各自的主值区间或主值周期。05 DFT 性质(1) 线性性：对任意常数 ( )，有maM1 MmmnxDFTanxaDFT11 )()(2) 奇偶虚实性：
18、(i) DFT 的反褶、平移：先把有限长序列周期延拓，再作相应反褶或平移，最后取主值区间的序列作为最终结果。(ii) DFT 有如下的奇偶虚实特性：奇 奇；偶 偶；实偶 实偶；实奇 虚奇；实 (实偶) + j(实奇) ；实 (实偶)EXP(实奇)。(3) 反褶和共轭性：时域 频域反褶 反褶共轭 共轭反褶共轭反褶 共轭(4) 对偶性： )()(kNxnX(i) 把离散谱序列当成时域序列进行 DFT，结果是原时域序列反褶的 N 倍；(ii) 如果原序列具有偶对称性，则 DFT 结果是原时域序列的 N 倍。(5) 时移性： 。序列的时移不影响 DFT 离散谱的幅度。kmW)()(6) 频移性： lnxlN(7) 时域离散圆卷积定理： )()(kYXnyx(i) 圆卷积：周期均为 N 的序列 与 之间的圆卷积为10)()(iinyx仍是 n 的序列，周期为 N。(ii) 非周期序列之间只可能存在线卷积，不存在圆卷积；周期序列之间存在圆卷积，但不存在线卷积。(8) 频域离散圆卷积定理： )(1)(kYXyx(9) 时域离散圆相关定理： *nRP周期为 N 的序列 和 的圆相关：)(xy10*)()( )(),NiPxyP niyxnRnxR是 n 的序列，周期为 N。(10) 。其中 表示按 k 进行 DFT 运算。*)(1)(kHDFThkDFT帕斯瓦尔定理： 10202)()(knXx
