1、笛卡儿与解析几何的教学设计教学目标：1. 了解解析几何产生的背景和发展过程。2. 了解解析几何的创立对数学发展的重大作用。3. 了解伟大的数学家、哲学家笛卡尔对创立解析几何的贡献。4. 感受数学家对数学新思想、新方法的大胆尝试、创新的精神。5. 经历结合实际问题，体会用代数方法研究图形的几何性质这一思想方法。6. 巩固解析几何这一章书所学的数学知识、思想方法。教学重点、难点：结合实际问题通过解析几何，沟通了数与形、代数与几何的关系。教学方法：学生自学阅读，学生小组探究与老师讲授相结合。教学过程：一引入解析几何的创立是数学史上具有划时代意义的重大事件。解析几何的一些基本思想，如用坐标确定点的位置
2、，因变量对变量的依赖关系，可以上溯至非常古老的年代。1.1. 公元前 2000 年的巴比伦人已能用数字表示从一点到另一固定点，线或物体的距离，已有原始坐标的思想。1.2. 公元前 4 世纪，中国战国时代的天文学家石中夫绘制恒星方位表时已利用了坐标法。1.3. 约 1350 年，法国数学家奥雷姆提出一种坐标几何，用两个坐标确定平面上点的位置，用水平线上的点表示时间，称为经度；而所对应的速度则用纵坐标表示称为纬度，这样用经纬两个坐标就将物体运动情况在图上表示出来，这是从天文、地理坐标向坐标几何学的过渡。二解析几何的创立2.1. 学生阅读教材或回答问题（教材附在教学设计后面）2.1.1) 解析几何什
3、么时候诞生的，通过哪一本书的发表创立了解析几何？作者是谁？2.1.2) 简单介绍一下笛卡尔。2.1.3) 法国数学家笛卡尔对数学的整体看法是什么？2.1.4) 他带着什么问题的思考，而促使他打开了近代几何的大门？2.1.5) 从数学家笛卡尔身上我们受到了什么启示？2.2. 在教科书中，找出与“帕波斯问题”类似的数学问题。 （学生小组讨论回答）2.3. 运用解析几何的方法，体会“将几何问题代数化解决代数问题分析代数结果的几何意义解决几何问题”这一思想历程。2.3.1) 探究问题 1证明：三角形三条中线交于一点。 （上课前已布置为研究性作业，小组讨论，以小组为单位作出解答）学生回答：有两种证明方法
4、。证法一：用平面几何的知识证明。证法二：不用平几的定理，如何运用解析几何的方法证明？小组派代表做答，指出关键性的思路：i. 建立坐标系（几何问题代数化） ；ii. 大胆设出点的坐标；iii. 写出中线 BE、CF 的方程；iv. 求出交点坐标 G；v. 再求出中线 AO 的方程；vi. 证明点 G 的坐标满足 AO 方程；vii. 代数坐标为方程的解几何点在中线 AO 上 点 G 在三条中线上，即三条中线交于一点。（板书）证明：F A B G E O C G A F y x( a-c 2,b) ( a+c 2,b )O EB(-c,0) C(c,0) i. 以 BC 所在直线为 x 轴， BC
5、 中垂线为 y 轴，建立空间直角坐标系。ii. 各点为 B ；O 为 BC 上的中点，AO 为中(,0)(,),)cCAab、 、线。设 E、F 为 AB、AC 上的中点，则：。(,)(,)22aba、则，直线 BE 方程为： ，直线 CF 方程为：(30xcyb。(3)0bxacyb解方程组： ()30xacyb得交点 3Gby直线 AO 方程为 ，将 G 点坐标代入：0xa3ab点 G 在直线 AO 上。三线交于一点 G。三角形三条中线交于一点。探究问题 1 是用代数方法解决几何问题的一个典型代表，由此同学们思考一下，在所学知识里，有没有类似的问题？或由这一个问题我们还能大胆地提出什么要求
6、？（学生小组讨论后回答）学生回答：用解析几何法证明三角形三条高线交于一点。学生回答：证明 。21AGBCOEF学生回答：由点 G 坐标 ，猜想出 ，猜想出：3axby()30acxby已知三角形三个顶点坐标 ，则重心 G 的坐123(,)(,)(,)AxBCx、 、标为 。123123(,)xy2.3.2) 实际应用例 1某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示，已知上部呈抛物线形，跨度为 20 米，拱顶距水面 6 米，桥墩高出水面 4 米，现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过 18 米，目前吃水线上部分中央船体高 5 米，宽 16 米，且该货船在现在状况下还可多装 1000 吨货物，但
7、每多装 150 吨货物，船体吃水线就要上升 0.04 米，若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？i. 学生思考：a) 这一实际问题如何用数学语言表达？怎样表述？b) 提问学生：如何建立坐标系？c) 几何图形抛物线代数方程怎样表达？d) 题目中的跨度、拱桥距船宽船高，怎样用点的坐标表示？ii. 老师介绍本题的解题思路，教学上要求学生了解如何运用解析几何解决实际问题，拓展视野，并不要求所有学生在目前阶段，能独立解决这一问题。iii. 学生：以小组为单位，课后完成解答 5。 8 10 xA(,-2) y O B B 例 2 （2004 高考数学试题广东卷 20）某
8、中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到该巨响的时间比其他两个晚 4s。已知各个观测点到该中心的距离都是 1020m，试确定该巨响发生的位置。 （假定当时声音传播的速度为 340m/s;相关各点都在同6m 20 4m 一个平面上） 。分析：这是生产实践中的一个问题，运用所学的数学知识，将实际问题抽象、概括出数学模型。老师提问：这一问题如何入手。学生回答：i. 建立直角坐标系，学生在黑板上划出了直角坐标系，如图，以接报中心为原点 O，正东和正北方向为 x轴，y 轴正向，建立直角坐标系。ii. 设出点的坐标 A(-1020，0)，B(1
9、020，0)，C(0，1020)，点p(x，y )。P点 p 落在 AC 的中垂线上， ，yx设 。(,)a（看到问题，思考了 35 分钟内就有部分学生马上做出如上解答）（学生都能运用解析几何思考生活中的实际问题，大胆的设出直角坐标系、点的坐标）老师提问：如何求出点 p 坐标 ，即求出一个未知数 a 呢？(,)a学生课后思考，以小组为单位，做出解答。2.4. 什么是解析几何学？解析几何最大的创新是什么？三解析几何的发展。3.1. 十八世纪，大数学家欧拉等人把笛卡尔和费马的平面解析几何推广到空间。同学们已学过空间直角坐标系。介绍用代数法，即向量法可以证明立体几何中的垂直问题，可求出距离问题。用代数法，不再需要用公理、定理、不再需要欧氏几何进行证明，也可以判断垂直。 （学生表示出极大的兴趣）3.2. 二十世纪，中国著名的数学家吴文俊在解析几何与高等代数的数理基础上，y xp A B C 进行了几何定理机器证明的研究。四小结解析几何是 17 世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。解析几何初步是解析几何学的基础知识，在解决实际问题中有着广泛的应用。同学们通过今天的学习，可以不断的收集生活中运用解析几何知识的实际例子，学习数学家们的创新精神，大胆提出问题，大胆猜想、积极创新。五作业每位同学写一篇关于解析几何内容的小论文。
