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类型不等式创新题.doc

  • 上传人:tkhy51908
  • 文档编号:6836572
  • 上传时间:2019-04-23
  • 格式:DOC
  • 页数:11
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    不等式创新题.doc
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    1、不 等 式 创 新 题四川省 毛仕理 1. 设 ,比较 与 的大小,mxR21x2mx解析:思路 1 作两个实数 与 的差,考查它们差的符号,这里的差的符号还需利用二次三项式的判别式的符号来确定解法 l 22221xxx二次三项式 的判别式为1m222443二次三项式 的判别式为 324320 恒成立2210xmx ,即 。221xx思路 2 作差后还可以用配方的方法证明它大于 0解法 2 2221mxmx2 21xx212210mx 。22x点评:作差之后,有许多同学感到无从下手,有的用特殊值法,还有的这样讨论: ,而 有正有负,需分类讨论,这些方法都是210x2m片面的事实上,二次三项式的

    2、符号确定,用判别式较为简单判别式法对于解决作差之后为二次三项式的符号的判别有独特作用,如果变量是多个,以其中一个为主元,然后用判别式变式 1.甲、乙两车从 A 地沿同一路线到达 B 地,甲车一半时间的速度为,另一半时间的速度为 ,乙车用速度 行走一半路程,用速度 行走另一abab半路程,若 ,试判断哪辆车先到达 B 地解析:本题变化点侧重于考查作差法比较两实数大小的基本知识,考查将实际问题转化为数学问题的能力先算出每辆车到达 B 地所需时间,然后比较二者大小即可设 A、B 两地的路程为 ,甲、乙两车所用时间分别为 ,则 ,s 12,t1stab. 2stab2212 24()()sabsabs

    3、t s ab,又 , 0,0saba2012120,tt故甲先到达 B 地变式 2.已知 ,且 中至少有三个同号( ),试比,cd,abcdabcd较 与 的大小acbd解析 本题变化点侧重于考查不等式性质的基础知识,考查分类讨论的思想依 中正数的个数分 4 种情况,利用不等式性质分别比较 与, c的大小依题可分 4 种情况讨论:(1)若 均为正数,则由 ,知 ,abcd0,abcdacbd(2)若 均为负数,则由 ,知,即 0,ccc(3)若 中有三个正数,一个负数时, , 均为正,,abd ,abd,ac异号, ,此时 ,bd,0cacbd(4)若 中有三个负数,一个正数时, , 均负,,

    4、 ,c,异号, ,此时 。,ac0,acbdacbd综上可知,当 中至少有三个正数时, ,当 中至少acbd,cd有三个负数时, 。变式 3. 设 ,且 + 恒成立,则 的最大值,abcnNba1nn是( )A2 B3 C4 D5解析:本题变化点是以开放性命题形式考查不等式的基本性质、不等式的恒等变换,必须具有十分灵活的处理选择题的手段,方能找到解题入口当 时,有 , 的最大值不超过 4,11523n又 + - = -baca4)(cba4且 2 22240bacb 的最大值为 4 答案 Cn2.已知 为正数,且 ,求 的最大值以及达到最大值时,ab21ba2ab的值,解析 为正数, ,ab

    5、= = 21)(22)1(ba21ba= ( + )= ( +1)= .2ba43当 时,即 取“=”号0,1222bab23a当 a= 且 b= 时, a 的最大值为 .2321b423点评 在求解过程中,有的同学急于运用均值不等式,使解答陷入僵局,1= a2+ 2a = ab, ab .b2而 a = = ,无法利用 ab .21)(2bba2求积的最值,逆向利用均值不等式是常用的方法当然本题亦可利用配方法求解:(a )2=a2(1+b2)=(1- )(1+b2)=- (b2- )2+ ,2189a ,当 b2= 时等号成立21b431变式 1 某商场预计全年分批购入每台价值为 2000

    6、元的电视机共 3600 台,每批都购入 x 台(x 是正整数),且每批需付运费 400 元,储存购入的电视机全年所付保管费用与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比.若每批购入400 台,则全年需用去运费和保管费用 43600 元现在全年只有 24000 元资金可以用于支付这笔费用,请问,能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由解析 本题变化点侧重于考查综合应用所学知识解决实际问题的能力,考查建立函数关系、均值不等式等基础知识问题可归结为:每批购入 x 台为何值时,全年的运费和保管费之和最小,再用这个最小值与全年现有资金 24000元比较即可设全年需用去的运费和保管

    7、费的总费用为 y 元,题中的比例系数为 k,每批购入 x 台,则共需分 批,每批费用为 2000x 元,x360由题得 y= 400+k2000x,由 x=400 时,y=43600,得 k= = .1052y= 400+100x2 24000(元)x360xx436当且仅当 400=100x,即 x=120 时,上式等号成立故只需每批购入 120 台,可以使资金够用变式 2 定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y=x2上移动,设线段 AB的中点为 M,求点 M 到 x 轴的最短距离,并求此时点 M 的坐标解析 本题变化点侧重于把几何问题放到坐标系下研究利用中点坐标公式、两点间距离公

    8、式及均值不等式求解设线段 AB 的端点 A(a,a 2)、B(b,b 2),中点 M(x,y)x= 2bay= (a-b) 2+(a2-b2)2=9,(a-b) 2(a+b)2+1=9,(a-b) 2(1+4x2)=9 由- 2,得 y-x2= - =2ba42ab)(2(a-b) 2=4y-4x2 把代入,得(4y-4x 2)(1+4x2)=9,4y= +4x2= +(1+4x2)-15,y419x419x45当(1+4x 2)2=9 时,取“=”号,即 x= 时,等号成立故当中点坐标为( , )或(- , )时,y 的最小值为 45245453.设 n 是正整数,求证 + + n(k=1,2,n) a 或 .4x0423xa 或 ,log(23)a1log()解集为 l l(423)a axx变式 3 设不等式 的解集是 ,试求20xbc0x不等式 的解集20cxb解析 本题变化点侧重于利用二次不等式、二次方程、二次函数间的联系解决问题因为 的解集是 ,所以 ,并且2axc0x0a是方程 的两个正根,于是有 , ,0bbc所以 ,因此 是方程 的两110, ,accA1,20xa根,又 所以不等式 的解集是 。0,c20cxba1x且

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