1、第 8 章 巴拿赫空间上的有界线性算子算子线性算子 非线性算子无界线性算子 有界线性算子1 有界线性算子1.1 有界线性算子的基本概念与性质定义 1.1 设 及 都是实（或复的）线性空间，E1是由 的某个子空间 到线性空间 中的映射，如果对TED1E任意，有Dyx,TyxyxT则称 是可加的。若对任意的实（或复）数 及任意的T ，有DxTxxT则称 是齐次的。可加齐次的映射称为线性映射或线性算T子。 中使 的元素 的集合称为 的零空间。DxxT设 是实（或复）数域，于是 成为由 到实（或复）1ETD数域的映射，这时称 为泛函。如果 还是线性的，则称T为线性泛函。泛函或线性泛函常用 等符号表示。
2、T gf,定义 1.2 设 及 都是实或复的赋范线性空间， 为E1 D的子空间， 为由 到 中的线性算子。如果按照第六ETD章2.3 定义 2.6， 是连续的，则称 为连续线性算子。T如果 将 中任意有界集映成 中的有界集，则称 是有1ET界线性算子。如果存在 中的有界集 使得 是 中DA1E的无界集，则称 是无界线性算子。T例 1 将赋范线性空间 中的每个元素 映成 自身Ex的算子称为 上的单位算子，单位算子常以 表示.将 中EIE的每个元素 映成 的算子称为零算子.x容易看出，单位算子与零算子既是有界线性算子也是连续线性算子.例 2 连续函数的积分badtxxf是定义在连续函数空间 上的一
3、个有界线性泛函，也bC,是连续线性泛函.例 1、例 2 中出现的线性算子或线性泛函既是有界的又是连续的.对线性算子来说，有界性与连续性等价（见定理1.3）.定理 1.1 设 , 都是实赋范线性空间， 是由 的E1 TE子空间 到 中的连续可加算子.则 满足齐次性，因此D1 T是连续线性算子. T推论 设 , 都是复赋范线性空间， 是由 的子空E1 E间 到 中的连续可加算子，且 ，则 满足齐D1 iTxi)(次性，因此 是连续线性算子.T定理 1.2 设 ， 都是赋范线性空间， 是由 的E1 E子空间 到 中的线性算子.则 有界的充要条件是存在D1 T，使得对一切 ，有 .0MDxxM定理 1
4、.3 设 ， 都是赋范线性空间， 是由 的E1 TE子空间 到 中的线性算子.则下列性质等价：D1(i) 连续；T(ii) 在原点 处连续；(iii) 有界.由此定理知，对线性算子来说，有界性、连续性以及在原点的连续性均相互等价.而且还可以证明：这三个等价条件也与在中任一给定的点处的连续性等价.为了对有界线性算子进行更深入的讨论，我们将对它引进一个重要的量算子的范数.定义 1.3 设 ， 都是赋范线性空间， 是由 的子E1 TE空间 到 中的有界线性算子.使 对一切D1 xMT都成立的正数 的下确界称为 的范数，记为 .xM因 是集合MxDxT,:的一个上界，因此算子 的范数 作为所有上界 的
5、下TM确界也是上述集合的一个上界，而且由定义知， 是上述T集合的最小上界，即上确界，亦即xTTDxsup由此容易导出下列结论：(i) 对一切 ，有 .xxT(ii) TTDxDx11supsup现在举几个实例说明如何估计有界线性算子的范数及如何求出其范数.例 3 设 为一给定的 方阵，njiaij .,21,n均为实数，由等式ijanjjiia1ni,2,1定义了一个由 到 的算子 ： .它将元素nRnTyx映成元素 .在 中任取nx,21ny,21nR两个向量 ，由2,1,21 kx knkkk 等式 nj njjijjijnj jjij aaa1121121 可知， 是可加的，类似地可以证
6、明 是齐次的，因此TT是线性算子，由柯西不等式，有211211,211 njjnjiijnii a故 有界，因此 连续，且 .TT2ijT例 4 我们用 表示定义在 上有界,C,连续函数构成的集，其中的线性运算与空间 的相同，baC在 中定义范数如下：,Ctyytsup,y则 是一个巴拿赫空间 .,设 ，令,LxdtxesyTxyist:是定义在 上而值域包含在 中的线性算T,L ,C子.再由 dtxdtxesysxist可知， 有界因而连续，且 .T1T例 5 在内插理论中我们往往用拉格朗日公式来求已知连续函数的近似多项式.设 ，在 中任baCx,ba,取 个点，作多项式nnkkkkk tt
7、tt ttl 111其中 .再令n,2nkkn tltxtyxLy1:则 是由 到其自身的有界线性算子，且范数满足nLbaC,（4）nkbtantlL1mx的线性是明显的.今证 有界且等式（4）成立.令nLnLkbtatl1x那么xtxtltxxL btankkbtan mm1故（5）nL另一方面，由于 在 上连续，故存在ktl1ba,使得bat,0nktl10取 满足：bax,0至于 在 中nktltkk ,2,sgn10 0xba,其它点处的值则可以任意，但绝对值不能超过 1，并保证在 上连续.于是tx0ba,nk nkkntl tltltxLx1010000 sgn故（6）nL由不等式（
8、5） 、 （6）可得等式（4）.例 6 设 是定义 在上的连stK, bsabta,续实函数.在空间 上定义如下的积分算子：baCbadsxtKtTxty,则 为 到其自身的有界线性算子，且范数满足Tba,（7）batadstT,mx显然 是 到其自身的线性算子.今证 有界且C, T等式（7）成立.令bat dstK,mx则 xdstKtxxtTbatbtabata ,故 有界且 .T由于 是 的连续函数，故存在badstK,t，使得at,0badstK,0记 .作函数,:00stKse0,1etndtn其中 为 与 的距离，则 于 上连续，0,etdt0etnba,且 .注意到 为闭集， 还有下列性质：1tn0tn ettn 当对 一 切0,1由勒贝格控制收敛定理，当 时，有n babann dstKdsstKtT , 000于是Ttnn0lim因此 .若原 ，则令 .T0e0,:0stKe例 7 在连续函数空间 中讨论微分算子 .1,CdtT将在 上连续可微函数构成的集 作为 的定义域，1,0 ,0则 是定义 在上，并在 中取值的线性算子.我T,01C1,们证明 无界.取 ，则 ，但nttxnsi1nx（当 时）ttdtTn cossi n故 将 中的单位球面映成 中的无界集. 无界.1,0C1,0CT
