1、100 第一章 随机事件与概率I 教学基本要求1、了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算；2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义，会计算简单的古典概率和几何概率，理解概率的基本性质；3、了解条件概率，理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，会用它们解决较简单的问题；4、理解事件的独立性概念.II 习题解答A 组1、写出下列随机试验的样本空间(1) 抛掷两颗骰子，观察两次点数之和；(2) 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止；(3) 某路口一天通过的机动车车辆数；(4) 某城市一天的用电量.解：(1) ；2,31(2) 记抛掷出
2、现反面为“0” ，出现正面为“1” ，则 ；(1),0(,)(3) ；0,(4) .|t2、设 、 、 为三个事件，试表示下列事件：ABC(1) 、 、 都发生或都不发生；(2) 、 、 中至少有一个发生；(3) 、 、 中不多于两个发生.解：(1) ；()()A(2) ；BC(3) 或 .3、在一次射击中，记事件 为“命中 2至 4环” 、 为“命中 3至 5环” 、 为“命中 5BC至 7环” ，写出下列事件：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .AB()AB解：(1) 为“命中 5环” ；AB(2) 为“命中 0至 1环或 3至 10环” ；2(3) 为“命中 0至 2环或 5至 10
3、环” ；()ABC(4) 为“命中 2至 4环”.4、任取两正整数，求它们的和为偶数的概率？解：记取出偶数为“0” ，取出奇数为“1” ，则其出现的可能性相同，于是任取两个整数的样本空间为 .设 为“取出的两个正整数之和为偶数” ，(0,)1,(),A则 ，从而 .(0,)1A2pA5、从一副 52张的扑克中任取 4张，求下列事件的概率：(1) 全是黑桃；(2) 同花；(3) 没有两张同一花色；(4) 同色？解：从 52张扑克中任取 4张，有 种等可能取法.452C(1) 设 为“全是黑桃” ，则 有 种取法，于是 ；AA413 41352()CpA(2) 设 为“同花” ，则 有 种取法，于
4、是 ；BB413C41352()B(3) 设 为“没有两张同一花色” ，则 有 种取法，于是 ；C4452()pC(4) 设 为“同色” ，则 有 种取法，于是 .D426C4265()D6、把 12枚硬币任意投入三个盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率？解：把 12枚硬币任意投入三个盒中，有 种等可能结果，记 为“第一个盒中没有123A硬币” ，则 有 种结果，于是 .A12()pA7、甲袋中有 5个白球和 3个黑球，乙袋中有 4个白球和 6个黑球，从两个袋中各任取一球，求取到的两个球同色的概率？解：从两个袋中各任取一球，有 种等可能取法，记 为“取到的两个球同色” ，180CA则 有 种取法
5、，于是 .A115436C115436809()CpA8、把 10本书任意放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率？解：把 10本书任意放在书架上，有 种等可能放法，记 为“指定的三本书放在一0!A起” ，则 有 种放法，于是 .3!831()5p9、5 个人在第一层进入十一层楼的电梯，假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始)，求 5个人在不同楼层走出的概率？3解：5 个人从第二层开始走出电梯，有 种等可能结果，记 为“5 个人在不同楼层510A走出” ，则 有 种结果，于是 .A510P5()PpA10、 个人随机地围一圆桌而坐，求甲乙两人相邻而坐的概率？n解：设甲已坐好，只考虑
6、乙的坐法，则乙有 种坐法，记 为“甲乙两人相邻而坐”1nA，则 有 2种坐法，于是 .2()1pn11、甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是可能的，若甲船的停泊时间为一小时，乙船的停泊时间为两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率？解：设 、 分别为甲、乙两艘轮船到达码头的时间，则 ，xy (,)|0,24xy其面积 ，记 为“它们中任何一艘都不需要等候码头空出” ，于是24SA，其面积 ，从而(,)|12Axyxy或 21(3)AS.2308794pS12、在区间 中随机地取两个数，求事件“两数之和小于 6/5”的概率？(0,1)解：设 、 分
7、别为取出的两个数，则 ，其面积 ，记xy(,)|0,1xy1S为“两数之和小于 6/5”，于是 ，其面积 ，从而A 6(,)|5A24()5A.17()06825Sp13、设 ，有任意两数 、 ，且 .试求 的概率？axy0,xya24xy解：由题意知 ，其面积 ，记 ，(,)|,2S2(,)|4aAxy则其面积 24 422223ln4()()(1)a axASdydxa从而 .3ln()10596Ap14、从 0、1、2、9 这十个数字中任选三个不同的数字，试求下列事件的概率：4(1) 为“三个数字中不含和” ；1A(2) 为“三个数字中不含或” ；2(3) 为“三个数字中含但不含”？3解
8、：记 为“三个数字不含” 、 为“三个数字不含” ，则AB、 、39107()Cp39107()Cp38107()5CpA于是有(1) ；1()5AB(2) ；2 714()()205ppABp(3) .3()1315、某工厂的一个车间有男工 7人、女工 4人，现要选出 3个代表，求选出的 3个代表中至少有 1个女工的概率？解：设 为“选出的 3个代表中至少有 1个女工” ，则A371()Cp.726()3p16、从数字 1、2、9 中重复地取 次，求 次所取数字的乘积能被 10整除的概率？n解：记 为“至少取到一次” 、 为“至少取到一次偶数” ，则AB、 、8()np5()n4()9npA
9、于是，所求概率为.854()1()1()()19nnABBp17、已知事件 、 满足 ，记 ，求 ？pAA()pB解：由 ()()()1()1()ppA10B.()()1Ap18、已知 ， ，求 ？.7p.3 ()pAB5解：由 和()()0.3pABpAB ()0.7p0.4.()1()619、设 ，试证： .2pAB()()pAB证明：由 ().1)1()()()pAB20、某班级在一次考试中数学不及格的学生占 15，英语不及格的学生占 5，这两门课都不及格的学生占 3.(1) 已知一个学生数学不及格，他英语也不及格的概率是多少；(2) 已知一个学生英语不及格，他数学也不及格的概率是多少？
10、解：记 为“数学不及格” 、 为“英语不及格” ，则AB、 、()0.15p()0.5p()0.3pA(1) ；3| .2().1B(2) .0(| 6().5pA21、掷两颗骰子，以 记事件“两颗点数之和为 10”，以 B记事件“第一颗点数小于第二颗点数” ，求 和 ？(|)B(|)A解：掷两颗骰子的样本空间为 1,21,3,4(1,5),6()()23,3,4()(5,1),2(5,3),45,666 由于 、 、(4,),()A(1,2),3(1,4),5(1,6)234,5,6,B，于是(,6)B、 、3pA15()6pB1()36pA6、 .()1(|)5pAB()1(|)3pAB2
11、2、设 10件产品中有 4件不合格品，从中任取二件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格的概率？解：记 为“第 次取出不合格品” ， 为“有一件不合格品” ， 为“另iAi(1,2)iBC一件也是不合格品” ，则 ，于是12()BAA12 46432()109109pp43095C.()(|)Bp23、已知 、 、 ，求 ？0.3A()0.4p()0.5pAB(|)pAB解：由 、 、()().76.08pB再由 ()0.(5ApApB().2pA从而 .().21| (084p24、两台车床加工固焊零件，第一台出次品的概率是 0.03，第二台出次品的概率为 0.06，加工出来的零件放在
12、一起且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.(1) 求任取一个零件是合格品的概率；(2) 如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率？解：记 为“取到第一台车床加工的零件” 、 为“取到合格品” ，则AB、 、2()3p(|)0.97B(|)0.94pA(1) ；21|70.94.63p(2) .6()(|)(|)1042ABBp25、已知男人中有 5是色盲患者，女人中有 0.25是色盲患者，现从男女人数相等的人群中随机挑选一人，发现恰好是色盲患者，问此人是男人的概率是多少？解：记 为“选到色盲患者” 、 为“选到男人” ，则7、 、1()2pB(|)5%A(|)0.25p
13、AB于是，所求概率为.()| .05(|) 09524|(|)26、证明： ，其中 .()(|)1pBpA0A证明：由于 ()()()1()pBpApB.(|) 1()()pBAA27、设 、 为任意两个事件，且 、 ，证明： .0p()|)p证明：由 得.()(|)pBAA28、甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6和 0.7，已知目标被击中，求它是甲击中的概率？解：记 为“目标被击中” 、 为“甲击中目标” 、 为“乙击中目标” ，则1B2B1221()()()0.67.0.8pABpp再由 可得所求概率为.111()(0.6(|) 82pAp29、设电路由 、 、 三个
14、元件组成，若元件 、 、 发生故障的概率分别是BCABC0.3、0.2、0.2，各元件独立工作，求下列三种情况下电路发生故障的概率.(1) 、 、 三个元件串连；(2) 、 、 三个元件并联；(3) 与 并联后再与 串联？A解：记 、 、 分别表示元件 、 、 发生故障.(1) 所求概率为；()1()1()()10.78.052pABCpBpBC(2) 所求概率为；()()(0.32.2(3) 所求概率为8()()()()()()pABCpBpACpBCApB.0.32.03.203830、若 、 ，在下列情况下求 .()4()7()(1) 、 不相容；(2) 、 独立；AB(3) ？解：(1
15、) 由于 、 不相容，从而 ，于是()()pABp；()(0.74.3pp(2) 由于 、 独立，从而 ，于是AB)()()AB0.74().(；.5p(3) 由于 ，从而 ，于是ABB.()07B 组1、一个书架上有 6本数学书和 4本物理书，求指定的 3本数学书放在一起的概率？解：6 本数学书和 4本物理书在书架上有 种等可能放法，记 为“指定的 3本数10!A学书放在一起” ，则 有 种放法，于是 .A3!88!1()5pA2、设有 个人，每个人都等可能地被分配到 个房间中的任一间去住 ，求下列nN()nN事件的概率.(1) 指定的 间房间里各有一个住；(2) 恰有 间房各住一人？解：将
16、 个人分配到 个房间中去住，有 种等可能分法.nNn(1) 记 为“指定的 间房间里各有一个住” ，则 有 种分法，于是 ；AA!()npAN(2) 记 为“恰有 间房各住一人” ，则 有 种分法，于是 .BnBnNCnCB3、公安人员在某地发现一具尸体，经分析认为凶手还在该地的概率为 0.4，乘车外逃的概率为 0.5，自首的概率为 0.1，现派人追捕，在该地抓到凶手的概率为 0.9，若外逃则抓到凶手的概率为 0.5，问此次凶手在该地或外逃被抓到的概率是多少？解：记 为“凶手还在该地” 、 为“凶手已乘车外逃” 、 为“凶手被抓到” ，则1A2AB9、 、 、 ，于是所求概率为1()0.4pA
17、2()0.5p1(|)0.9pBA2(|)0.5pBA21122|()|)B pBA9.64、有两箱零件，第一箱装 50件，其中 10件是一等品；第二箱装 30件，其中 18件是一等品，现从两箱中任取一箱，然后从该箱中先后取出两个零件，试求在第一次取到一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率？解：记 为“第 次取到一等品” 、 为“取到第一箱” ，则iAiB111018()(|)(|).4253pBppA22|(|)09870.943543于是 .1221()(|) 856.pA5、掷均匀硬币 次，已知至少出现一次正面，求第一次正面出现在第 次实验的概率？nm n解：记 为“至少出现一
18、次正面” 、 为“第一次正面出现在第 次实验” ，则B0()1()(.5)1(0.5)nmnmnpAC10.5B再由 可得所求概率为.()(0.5)(|)1nmpAB6、甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者再与第三人比，依次循环，直至有一人连胜二局为止，此人即为冠军，假设每次比赛双方取胜的概率均为 0.5，若甲、乙两人先比，求甲得冠军的概率？解：记 为“甲得冠军” ； 、 、 分别为“第 局中甲、乙、丙获胜” ，则AiAiBiCi121234512345678()()()pppAB3467BC2584(0)(0.) .43311107、乒乓球单打比赛采用五局三胜制，甲、乙两名运动员
19、在每局比赛中获胜的概率各为 0.6和 0.4，当比赛进行完二局时，甲以 2:0领先，求在以后的比赛中甲获胜的概率？解：记 为“甲获胜” 、 为“甲在第 局比赛中获胜” ，由于甲以 2:0领先，因而BiAi34345()()A345()()pppA.20.6.0.698、保险公司把被保险人分为“谨慎” 、 “一般” 、 “冒失”三类，统计资料表明上述三种人在一年中发生事故的概率分别是 0.05、0.15、0.3；如果“谨慎”的被保险人占 20%， “一般”的被保险人占 50%， “冒失”的被保险人占 30%，现知某保险人在一年内发生了事故，则他是属“谨慎”客户的概率是多少？解：记 为“谨慎客户” 、 为“一般客户” 、 为“冒失客户” 、 为“保险人在1A2A3AB一年内发生事故” ，则 、 、 、 、1()0.p()0.5p()0.p1(|)0.5pA、 ，于是2(|)0.5pB3|B.1113()| .22| 0.501.35)iiiAp
