关于广度优先搜索的两个问题.doc

1、1关于广度优先搜索的两个问题目 录：一、在广度优先搜索中新结点入队前的判重方法二、华容道游戏的搜索策略一、在广度优先搜索中新结点入队前的判重方法在广度优先搜索中，每个新扩展的结点要经过判重后，才能入队。 “判重”要与所有已处理过的结点（包含已出队的结点）进行比较，如果该结点位于第 k 层，假定每层结点的平均个数是 m，则一般要进行（1+2+.+k）*m=O(k 2m) 次比较。下面给出一个重要的结论，对于位于第 k 层的结点，只要和第 k-2, k-1,k 这三层已产生的结点比较就够了，比较次数为 O(km)，当 k 很大时，其效益是相当明显的。状态空间 S 定义如下：（1） 初始状态 ,T0

2、（2） 一个状态的派生状态是指由该状态通过一步操作可以产生的状态。 ,STi由 Ti 直接派生的全部状态 。并且这种派生是可逆的，即：如果 Ti 能派生 Tj ，Sj则 Tj 也能派生 Ti。（3）S 中的状态数是有限的。问题：设 Tobj 是目标状态。判断 Tobj 是否属于 S，如果 ，找出由 T0 用最少Sobj操作步数产生 Tobj 的过程。使用广度优先搜索（以下简称 BFS）解决上述问题。T 0 为搜索树的第 0 层，搜索树的第 i 层为通过 i 步搜索得到的全部可能的状态，但删除了与前面某层重复的状态。即搜索树中的全部状态是互不相同的。如果某一层出现了目标状态 Tobj，则得到了肯

3、定形式的解，搜索结束。如果遍历了全部状态，没有找到目标状态 Tobj，则得到了否定形式的解，搜索也结束。定理：设 是搜索树中任意一个状态，设 T 位于第 r 层。如果 r=3，为了判S断 T 是否与前面的某个状态重复，只需将 T 与第 r-2 层、第 r-1 层和第 r 层中已产生的状态进行比较。就可以确保搜索树中的全部状态互不相同。并且能够遍历全部状态。证明：对 r 用数学归纳法。(1) 当 r=2 时，根据 BFS 算法，定理的结论显然成立。搜索树的第 0 层、第 1 层和第 2 层中的状态互不相同。并且第 1 层和第 2 层分别保存了能够通过 1 步或 2 步操作得到的全部状态。(2)

4、设对搜索树的第 k 层 (k 是小于 r 的任何正整数)，定理的结论成立：每个状态2在至多比较 3 层即可决定是否保留的前提下，搜索树中的前 k 层的状态互不相同。并且第 k 层保存了恰好需要 k 步操作可以产生的全部状态。(3) 设 T 位于第 r 层。并且是与第 r-2 层、第 r-1 层和第 r 层中已产生的状态进行比较后不重复而保留下来的状态。假定 T 是由第 r-1 层的状态 A 派生的。如果 T 与前面的某层中的某个状态 T重复，设 T在第 m 层，mr-2，显然，T不是由 A 派生的（因为由归纳假设，在前 r-1 层中，只有一个 A） 。设 T是由另一个状态 B 派生的，由 T派

5、生的全部状态（由于派生是可逆的，其中必包含 A） ，去掉重复的以后，应放在 m+1 层， m+1r-1，如果经过比较后，状态 A 没有被删除，就与第 r-1 层中的 A 重复，矛盾。如果经过比较后，状态 A 被删除了，说明在第 m-1、m 及m+1 这 3 层中的某一层中有状态 A，仍然与第 r-1 层中的 A 重复，矛盾。这就证明了T 与前面的任何一个状态都不相同。再次利用归纳假设，由于第 r-1 层保存了恰好需要 r-1 步操作可以产生的全部状态。根据 BFS 算法和上面的证明，可以断定，第 r 层一定保存了恰好需要 r 步操作可以产生的全部状态。证毕。说明：一般地说，状态空间中的每个状态

6、是某个无向图的结点，可以由不同的结点派生。但是，对于确定的初始状态，在广度优先搜索的搜索树中，每个结点的深度是唯一确定的。上述结论正是基于这样的基本事实。二、 华容道游戏的搜索策略1 问题简介华容道是在我国流传久远的一个益智游戏，然而其魅力至今不减，目前在许多商场内仍可见到基于这一游戏的玩具。该游戏起源于三国时期的一个著名故事：东汉末年，赤壁之战，曹操被周瑜杀得大败，带残兵从华容道仓皇逃走，不料大将关羽带兵在此等候。由于曹操与关羽曾经有过一段交往，关羽放曹操逃离华容道。华容道游戏的棋盘是由 20 个小正方形组成的长方形，宽 4 格，长 5 格。共有 10 个棋子，详见右下图。棋盘的下部有两个空

7、置的小格作为华容道的出口。棋子就在这个长方形的棋盘内滑动，滑动过程中棋子不允许重叠。华容道是一个比较复杂的游戏，要移动很多步才能完成。对于右图的布局（通常称为“横刀立马” ，华容道游戏还有多种布局，详见附录） ，已知的最好走法是 81 步。 下面先简要介绍求解该问题的双向广度优先搜索的算法的基本思想，然后进行了复杂性分析。2 搜索算法简介张飞 曹 操马超关 羽赵云 兵 兵黄忠兵 兵3我们用一个 5*4 的数组来记录棋盘状态，用标号 1-5，8，9 来表示各个棋子，例如，初始状态可表示为4 9 9 5 4 9 9 5 2 8 8 3 2 1 1 3 1 0 0 1（单向）广度优先搜索是大家熟知的

8、算法，其基本步骤如下：（2.1）将初始结点入队。队头指向该结点，队尾指向该结点之后。（2.2） 将队头结点出队，生成所有可能的扩展结点，队头指向下一个结点。如果某个新生成的结点已符合目标则结束，否则通过比较，将与已在队列中的结点不重复的新结点入队。队尾指向新结点之后。（2.3）重复（2.2） ，直到某个结点符合目标或队列空（即队尾位于队头之前）为止。我们采用的双向广度优先搜索是指建立两个队列，分别从初始状态和目标状态出发进行搜索，直到遇到一个共同的结点（状态）为止。与单向搜索相比，其效率要高得多（详见后面的分析） 。但这一方法必须要事先知道目标状态。实际计算表明，与单向搜索相比，我们的双向搜索

9、方法可节省一半的空间，而时间不到前者的十分之一。因而是一个很有效的算法。从理论上讲，广度优先搜索得到的结果在某种确定的意义下应该是最优的。3 复杂性分析在具体搜索过程中，两个空格（即数字 0 表示的方块）既可独立移动，又可同时移动，为简单计，在下面的讨论中，我们只考虑一个空格移动的情形。对于要扩展的节点，空格的不同方向的移动可产生新的节点，去掉一个父节点，还可产生 3 个新的节点（这里，暂不考虑可能与队列中已有点重复的点） ，假定按广度优先搜索，初始状态经过 K 步可达到目标状态，共需搜索 K 层，记初始状态为第 0 层，则第 i 层有节点 3i个，从第 0 层到第 K 层共有节点 1+3+3

10、 2+。 。 。+3 K=（3 K+1-1）/2 个。对于单向广度优先搜索，除第 K 层可减少一些节点外，基本上是全部搜索，记SL=（3 K+1-1）/2为单向广度优先搜索所搜索的节点数，显然，时间复杂性与空间复杂性都与 SL 成正比。对于双向广度优先搜索，假定两个方向的搜索在第 S 层相遇（即得到相同节点）而结束（1SK） 。 这时，各自搜索的节点数分别为：（3 S+1-1）/2， （3 K-S+1-1）/2，记DL(S)=(3S+1-1)/2+(3K-S+1-1)/24为双向广度优先搜索的两个方向搜索在第 S 层相遇时所搜索的节点数，再假定 S 取值为 1，2，. . .，K 的概率是相同

11、的，则双向广度优先搜索的平均搜索的节点数为：DL= SDL1)(KS11S-K)/2(3)/2-(= -132= 31K故 DL/SL2/K，即双向广度优先搜索的平均搜索的节点数约为单向的 2/K 倍。一般地，K 是个很大的数（本例中 K120） 。这表明，双向搜索远远优于单向搜索。上面仅就一个简化模型讨论的。在我们的实际对照计算中，双向广度优先搜索的运行时间约为单向的十分之一。4 算法的实现细节，详见程序。附录：华容道游戏的各种布局及最少的步数（根据资料4山科益智游戏华容道的帮助文档改编）华容道经过历代多次演变和发展，产生了非常丰富的布局类型，数目不下百种。一般按“上将”棋子横排的数目，把“

12、华容道”分五种：一横布局，二横布局，三横布局，四横布局，五横布局。本游戏精选其中具有代表性的布局共 27 种。华容道游戏按移动的步数计算成绩。华容道是比较复杂的游戏，要移动很多步才能完成。最常见的布局“横刀立马”已知的最好走法是 81 步。下面是部分布局的最少步数统计。一横布局：横刀立马（一）81，横刀立马（二）70，屯兵东路 71，左右布兵 34；二横布局：横竖皆将 92，双将挡路 73，插翅难飞 62，守口如瓶（一）88，守口如瓶（二）100；三横布局：层层设防（一）102，层层设防（二）122，堵塞要道 43，五虎拦路 40，三军联防 74；四横布局：水泄不通 80，兵将连环 76，四路进兵 67，天罗地网 29；五横布局：巧过五关 34，森严垒兵 52。参考资料：1 陈庆生，计算机在求解“华容道” 问题中的应用，软件工程进展， 1988.1.2 闯过华容道（原载：科学美国人中文版） ，数学游戏（下） ，科学技术文献出版社，1999。3 吴鹤龄编著，七巧板、九连环和华容道，科学出版社，200454 北京山科技术开发有限公司 山科益智游戏华容道 ，19975 李学武， 华容道游戏的搜索策略, 天津师大学报, 2002.5