1、2.2 函数的定义域、值域及函数的解析式1函数的定义域(1)函数的定义域是指_(2)求定义域的步骤写出使函数式有意义的不等式(组) ；解不等式组；写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出 )(3)常见基本初等函数的定义域分式函数中分母不等于零偶次根式函数、被开方式大于或等于 0.一次函数、二次函数的定义域为_ya x (a0 且 a1)，ysin x，ycos x，定义域均为_ytan x 的定义域为_函数 f(x)x 0 的定义域为_2函数的值域(1)在函数 yf(x )中，与自变量 x 的值相对应的 y 的值叫_，_叫函数的值域(2)基本初等函数的值域ykxb (k0)的值域是_ yax
2、 2bx c (a0)的值域：当 a0 时，值域为_；当 a0 且 a1)的值域是_ylog ax (a0 且 a1)的值域是_ysin x，ycos x 的值域是_ytan x 的值域是 _3函数解析式的求法(1)换元法：若已知 f(g(x)的表达式，求 f(x)的解析式，通常是令 g(x)t，从中解出x (t)，再将 g(x)、x 代入已知解析式求得 f(t)的解析式，即得函数 f(x)的解析式，这种方法叫做换元法，需注意新设变量“t”的范围(2)待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程(组 )，再求系数(3)消去法：若所给解析式中含有 f(x)、f 或
3、f(x)、f (x )等形式，可构造另一个方程，(1x)通过解方程组得到 f(x)(4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式难点正本 疑点清源1函数的定义域是研究函数问题的先决条件，它会直接影响函数的性 质，所以要 树立定义域优先的意识2(1)如果函数 f(x)的定义域为 A，则 f(g(x)的定义域是使函数 g(x)A 的 x 的取值范围(2)如果 f(g(x)的定义域为 A，则函数 f(x)的定义域是函数 g(x)的值域(3)fg(x)与 fh(x)联系的纽带是 g(x)与 h(x)的值域相同1(课本改编题)函数 y 的定义域为_x 112
4、x2(2011安徽)函数 y 的定义域是_16 x x23(课本改编题)函数 f(x)log 2(3x1)的值域为_4(课本改编题)已知 f ，则 f(x)_.(1x) 1 x21 x25函数 f(x)lg 的定义域为 ( )1 x2A0,1 B(1,1)C1,1 D( ，1)(1 ，)题型一 求函数的定义域例 1 (1)函数 f(x) lg(3x1)的定义域为_3x21 x(2)函数 y 的定义域为_lnx 1 x2 3x 4探究提高 (1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：分式中，分母不为零；偶次根式，被开方
5、数非负；对于 yx 0，要求 x0；对数式中，真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1；由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束(2)抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系(1)(2011江西) 若 f(x) ，则 f(x)的定义域为 ( )12logA. B.( 12，0) ( 12，0C. D(0 ，)( 12， )(2)若函数 f(x) 的定义域为 R，则实数 m 的取值范围是_x 4mx2 4mx 3题型二 抽象函数的定义域例 2 若函数 f(2x)的定义域是1,1 ，求 f(log2x)的定义域探究提高 已知 f(x)的定义域是a，b ，求 fg(x)的定义域，是指满足
6、 ag(x) b 的 x 的取值范围，而已知 fg(x)的定义域是 a，b，指的是 xa，b已知 f(x)的定义域是0,4，求：(1)f(x2)的定义域； (2)f(x1) f(x1) 的定义域题型三 求函数的值域例 3 求下列函数的值域：(1)yx 22x (x 0,3)；(2) y ；x 3x 1(3)yx ；(4)y log 3xlog x31.1 2x探究提高 (1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；
7、(5) 分段函数宜分段求解；(6)当函数的图像易画出时，还可借助于图像求解求下列函数的值域：(1)y ； (2) y2x1 .x2 xx2 x 1 13 4x题型四 求函数的解析式例 4 (1)已知 f x 2 ，求 f(x)的解析式；(x 1x) 1x2(2)已知 f lg x，求 f(x)的解析式；(2x 1)(3)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x1)2f(x1)2x17，求 f(x)的解析式；(4)已知 f(x)满足 2f(x)f 3x ，求 f(x)的解析式(1x)探究提高 函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件 f(g(x)F (x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的
8、表达式，然后以 x 替代g(x)，便得 f(x)的解析式；(2)待定系数法：若已知函数的类型( 如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数 f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)方程思想：已知关于 f(x)与 f 或 f(x) 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个(1x)等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)给出下列两个条件：(1)f( 1)x2 ；x x(2)f(x)为二次函数且 f(0)3，f(x2)f(x)4x2.试分别求出 f(x)的解析式1.函数问题首先要考虑定义域试题：(12 分) 已知 f(x)2log 3x，x1,9，
9、试求函数 y f(x)2f(x 2)的值域学生解答展示审题视角 (1)f (x)的定义域；(2)y f(x)2f (x2)的定义域与 f(x)的定义域不同；(3) 如何求yf (x)2f(x 2)的定义域规范解答解 f(x) 2log 3x 的定义 域为1,9 ，要使f(x) 2f(x 2)有意义，必有 1x9 且 1x 29，1x3， 3 分yf( x)2f(x 2)的定义域为1,3 4 分又 y(2 log 3x)22log 3x2(log 3x3) 23. 6 分x1,3，log 3x0,1， 8 分y max (13) 2313，y min(03) 236. 10 分函数 yf( x)
10、2f(x 2)的值域为6,13 12 分批阅笔记 (1)本题考查了函数的定义域、值域的概念及求法，是函数的重点知识(2)本题易错原因是忽略对定义域的研究，致使函数 yf(x) 2f(x 2)的讨论范围扩大(3)解答有关函数的问题要规范，研究函数问题，首先研究其定义域，这是解答的规范，也是思维的规范.方法与技巧1函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的 值域，并且它是研究函数性质的基础因此，我们一定要树立函数定义域优先意识求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或不等式(组) ；对于含有字母参数的函数定义域，应注意对参数取 值的讨论；对于实际问题 的定义域一定要使实际问题有意义2函数值域
11、的几何意义是对应 函数图像上点的纵坐标的变 化范围利用函数几何意 义，数形结合可求某些函数的值域3函数的值域与最值有密切关系，某些连续函数可借助函数的最 值求值域，利用配方法、判别式法、基本不等式求值域 时，一定注意等号是否成立，必要 时注明“”成立的条件失误与防范1求函数的值域，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重 视函数单调 性在确定函数最值过程中的作用特别要重视实际问题的最 值的求法2对于定义域、值域的应用问题，首先要用“定义域优先”的原则，同时结合不等式的性质课时规范训练(时间：60 分钟)A 组 专项基础训练题组一
12、、选择题1函数 y lg(2x 1) 的定义域是 ( )13x 2A. B.23， ) (12， )C. D.(23， ) (12，23)2已知函数 f(x)lg(x 3)的定义域为 M，g(x) 的定义域为 N，则 MN 等于( )12 xA x|x3 Bx| 31)，求 a、b 的值128已知函数 f(x)x 24ax 2a6 (aR )(1)若函数的值域为0，)，求 a 的值；(2)若函数的值域为非负数，求函数 g(a)2a|a3| 的值域答案要点梳理1(1)使函数有意义的自变量的取值范围 (3)R R x|x R且 x k 2，k Zx|x R 且 x02(1)函数值 函数值的集合 (
13、2)R 4ac b24a ， ) ( ，4ac b24a y|y R 且 y0 (0 ，) R 1,1 R基础自测11,2)(2，) 2.x| 30，且 x1当 x1 时，log 3x0，于是 ylog 3x 11log3x2 11；log3x 1log3x当 00，2xt1 且 x ，f(t)lg ，2t 1 2t 1即 f(x)lg (x1)2x 1(3)设 f(x)kx b，3f(x 1)2f(x 1)3k (x1) b2 k(x1)bkx 5kb2x 17.Error! ，即Error!.f(x)2 x7.(4)2f(x) f 3x ，(1x)2f f(x) .(1x) 3xf(x)2
14、x (x0)1x变式训练 4 解 (1)令 t 1，xt1，x(t 1)2.则 f(t)(t1) 22(t1)t 21，f(x)x 21 (x1)(2)设 f(x)ax 2bxc ，又 f(0)c3.f(x)ax 2bx3，f(x 2)f(x)a(x 2) 2b (x2)3( ax2bx3) 4ax4a2b4x2.Error! ，Error!，f(x)x 2x3.课时规范训练A 组1C 2.B 3.C 4.C5(，3 6. 2，10372,78解 (1)设 f(x)ax 2bxc (a0)，又 f(0)0，c0，即 f(x)ax 2bx.又 f(x 1)f(x )x1.a(x 1)2b(x 1
15、)ax 2bxx 1.(2ab) xab(b1)x1，Error! ，解得 Error!.f(x) x2 x.12 12(2)由(1)知 yf( x22) (x2 2)2 (x22)12 12 (x4 3x22) 2 ，12 12(x2 32) 18当 x2 时，y 取最小值 .32 18函数 yf(x 22)的值域为. 18， )B 组1B 2.C 3.A 4.(1， )( ， 5. 6.910 910 2 22 2837解 f(x) (x1) 2a .12 12其对称轴为 x1，即1 ，b为 f(x)的单调递增区间f(x) minf(1)a 112f(x)maxf( b) b2bab12又 b1，由 解得Error!a、b 的值分别为 、3.328解 (1)函数的值域为0 ， ) ， 16a 24(2a6)0，2a 2a30，a1 或 a .32(2)对一切 xR 函数值均为非负， 16a 24(2a6)8(2 a2a3) 0.1a .a30，32g(a)2a|a3|a 23a2 2 .(a 32) 174(a 1，32)二次函数 g(a)在 上单调递减， 1，32g g(a) g(1)，(32)即 g(a) 4.g( a)的值域为 .194 194，4
