1、2.7 指数与指数函数1根式(1)根式的概念如果一个数的 n 次方等于 a(n1 且 nN *)，那么这个数叫做 a 的 n 次方根也就是，若 xna，则 x 叫做_，其中 n1 且 nN *.式子 叫做_，这里 nna叫做_，a 叫做_(2)根式的性质当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数，这时，a的 n 次方根用符号_表示当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数 a 的正的 n 次方根用符号_表示，负的 n 次方根用符号_表示正负两个 n 次方根可以合写为_(a0)( )n_.na当 n 为奇数时， _；nan当 n 为偶
2、数时， |a| _.nan负数没有偶次方根2有理数指数幂(1)幂的有关概念正整数指数幂：a n (nN *)a个零指数幂：a 0_(a 0)负整数指数幂：a p _( a0，pN *)正分数指数幂： _( a0，m 、nN *，且 n1)mn负分数指数幂： _ (a0 ，m、nN *，且 n1)-0 的正分数指数幂等于_，0 的负分数指数幂_(2)有理数指数幂的性质a ras _(a0，r 、sQ) ；(a r)s_(a0，r、sQ )；(ab) r _(a0，b0 ，rQ )3指数函数的图像与性质ya x a1 00 时，_；x0 时， _；x1 进行分类讨论1(课本改编题)用分数指数幂表示
3、下列各式(1) _；3x2(2) (a b)0)_；4a b3(3) _.m3m2(课本改编题)化简 (1) 0 的值为_162-)3若函数 y( a21) x在(，) 上为减函数，则实数 a 的取值范围是_4若函数 f(x)a x1 (a0，a1)的定义域和值域都是0,2，则实数 a_.5已知 f(x)2 x2 x ，若 f(a)3，则 f(2a)等于 ( )A5 B7 C9 D11题型一 指数式与根式的计算问题例 1 计算下列各式的值(1) 10( 2) 1 ( )0；23781-2(0.)5 2 3(2) ( 1) 0 ；15 2 3 9 45(3) (a0，b0)32114ba探究提高
4、 根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数计算下列各式的值：(1) 8 0.25 ( )6 ；1-3.507642 32 3 23(2) (a0，b0)413223ab(1 2 3ba)3a题型二 指数函数的图像及应用例 2 (1)函数 y (00 且 a1) 的图像经过第二、三、四象限，则 a、b 的取值范围是_(3)方程 2x2x 的解的个数是 _探究提高 (1)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平
5、移、对称变换得到其图像(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解(1)函数 y 的图像大致为 ( )ex e xex e x(2)k 为何值时，方程|3 x1| k 无解？有一解？有两解？题型三 指数函数的性质及应用例 3 设 a0 且 a1，函数 ya 2x2a x1 在1,1 上的最大值是 14，求 a 的值探究提高 指数函数问题一般要与其它函数复合本题可利用换元法将原函数化为一元二次函数结合二次函数的单调性和指数函数的单调性判断出原函数的单调性，从而获解由于指数函数的单调性取决于底数的大小，所以要注意对底数的分类讨论，避免漏解已知定义在 R 上的函数
6、f(x)2 x .12|x|(1)若 f(x) ，求 x 的值；32(2)若 2tf(2t)mf(t)0 对于 t1,2 恒成立，求实数 m 的取值范围4.方程思想及转化思想在求参数中的应用试题：(13 分) 已知定义域为 R 的函数 f(x) 是奇函数 2x b2x 1 a(1)求 a，b 的值；(2)若对任意的 tR ，不等式 f(t22t )f (2t2k)1，因底数 21，故 3t22t k0. 11 分3t 上式对一切 tR 均成立，从而判 别式 412k 2t 2k . 11 分即对一切 tR 有 3t22tk0，从而 412k2t 2k 恒成立这个转化考生易出错其次，不等式 t2
7、2t2t 2k 恒成立，即对一切 tR 有 3t22tk0，也可以这样做：k1 时， x， y0；当 a1 时，a 的值越大， 图像越靠近 y 轴， 递 增的速度越快；当 00，a1)的图像， 应抓住三个关键点：(1，a)、 (0,1)、 .( 1，1a)3在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通 过解方程(组) 来求值，或用换元法 转化为方程来求解失误与防范1指数函数 y ax (a0，a1)的图像和性质跟 a 的取值有关，要特别注意区分 a1 与 00，a1)有两个不等实根，则 a 的取值范围是 ( )A(0,1)(1 ，) B(0,1)C(1，) D.(
8、0，12)3函数 f(x)a xb 的图像如图所示，其中 a、b 为常数，则下列结论正确的是 ( )Aa1，b1，b0C00D0f(n)，则 m、n 的大小关系为5 12_5若函数 f(x) (e 是自然对数的底数) 的最大值是 m，且 f(x)是偶函数，则2(e m_.6函数 f(x)a x (a0，a1)在1,2 中的最大值比最小值大 ，则 a 的值为_a27已知函数 f(x)a xb (a0 且 a1)的图像如图所示，则 ab 的值是_三、解答题8(1)计算： ；20.52113- 0.253224+(8)(0.)(.3).6 89(2)化简： (式中字母都是正数)412332 53ab
9、baaB 组 专项能力提升题组一、选择题1函数 y 的值域是 ( )2+xAR B(0，)C(2，) D.12， )2设函数 f(x)Error!令 F(x)f(x)x，xR .则 F(x)的值域为 ( )A(，1 B2，)C(，12，) D( ，1)(2 ，)3若函数 f(x)a |2x4| (a0，a1)，满足 f(1) ，则 f(x)的单调递减区间是 ( )19A(，2 B2，)C2，) D( ，2二、填空题4函数 f(x) m (a1)恒过点(1,10)，则 m_.23x 5函数 ya 2x2 (a0，a1)的图像恒过点 A，若直线 l：mxny 10 经过点 A，则坐标原点 O 到直
10、线 l 的距离的最大值为_6关于 x 的方程 有负数根，则实数 a 的取值范围为_3x2 3a5 a三、解答题7已知函数 f(x)3 x，f(a2)18，g(x)3 ax4 x的定义域为0,1 (1)求 a 的值；(2)若函数 g(x)在区间0,1上是单调递减函数，求实数 的取值范围8已知函数 f(x) (axa x ) (a0，且 a1) aa2 1(1)判断 f(x)的单调性；(2)验证性质 f(x)f( x)，当 x( 1,1)时，并应用该性质求 f(1m) f (1m 2)1 01 (6)增函数 (7) 减函数基础自测1(1) (2) (3) 2.723x34(+)52m3( ，1)(
11、1 ， ) 4. 5.B2 2 3题型分类深度剖析例 1 解 (1)原式 11327850105 2 10( 2)12138+5075 10 10 201 .49 5 5 1679(2)原式 215 5 22( 2) 1 ( 2) 1.5 5(3)原式132ab ab 1 .31-2-263变式训练 1 解 (1)原式 1 ( )63234()12312132427110.(2)令 m， n，13a13b则原式 mm4 8mn3m2 2mn 4n2(1 2nm) mm3 8n3m2 2mn 4n2 m2m 2n m 3a.m3m 2nm2 2mn 4n2m2 2mn 4n2m 2n例 2 (1
12、)D (2)00 且 a1)，则原函数化为 y( t1) 22 (t0)当 00，所以 a .13当 a1 时，x1,1，ta x ，1a，a此时 f(t)在 上是增函数1a，a所以 f(t)maxf(a)(a1) 2214，解得 a3(a5 舍去)综上得 a 或 3.13变式训练 3 解 (1)当 x0，x1.12(2)当 t1,2时，2t m 0，(22t 122t) (2t 12t)即 m(22t1) (2 4t1)，2 2t10，m(2 2t1)，t1,2， (22t1)17， 5，故 m 的取值范围是5， )课时规范训练A 组1B 2.D 3.D 4.m0 恒成立，12即 202 02，所以，实数 的取值范围是 2.218解 (1)设 x10.若 a1，则 ax10，1ax1 x2 aa2 1所以 f(x1)f(x 2) ( ) ， 0，12xaa2 1f(x1)f (x2) ( ) 0，aa2 1 x212xa即 f(x1)f(x2)，f(x)在( ，) 上为增函数综上，f(x) 在 R 上为增函数(2)f(x) (axa x )，aa2 1则 f(x ) (ax a x)，aa2 1显然 f(x) f(x )f(1m)f(1 m2)0，即 f(1m)f(1m 2)f(1m)f( m21) ，函数为增函数，且 x( 1,1)，故解11m m211 ，可得 1m .2
