1、1椭圆及其标准方程教案 呼兰六中王英辉教学目标 知识目标：理解椭圆的定义及有关概念；明确椭圆的标准方程的形式，能区分椭圆的焦点在X轴与Y轴上的不同；掌握椭圆的标准方程的概念，能够根据给定的条件求椭圆的标准方程。能力目标：培养学生观察、比较、分析、概括的能力；注重数形结合和类比等数学思想方法的渗透，注重掌握运用解析法研究几何的一般方法，注重动手能力、探索能力的培养。情感目标：鼓励学生积极、主动的参与教学的整个过程，激发其求知的欲望；培养学生勇于探索、敢于创新的精神；体验数与形对立统一的辩证唯物主义思想。重点、难点及关键重点：椭圆的定义和标准方程的应用；难点：椭圆标准方程的推导；关键：创设具体的椭
2、圆的直观情景，结合建立坐标系的一般原则，从“对称美”和“简洁美”出发作必要的点拨。教学方法启发、探索教学手段运用多媒体和实物投影仪辅助教学教学过程创设情景、引入概念师：我们都知道月亮绕地球旋转，地球绕太阳旋转，那么它们旋转的轨迹是什么呢？（ 多媒体动态演示行星运行的轨道） 。然后请同学列举一些实际生活中的椭圆形的例子。 生：天体运行图（月亮绕地球，地球绕太阳旋转） 、汽车油罐的横截面，立体几何中圆的直观图实物：圆柱形杯倾斜后杯中水的形状。2师：椭圆在实际生活中是很常见的，学习椭圆的有关知识也是十分必要的。那么如何统一地研究生活中出现的各种各样的椭圆呢？这就是我们今天要探究的-椭圆及其标准方程。
3、尝试探究、形成概念师：给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，能画出椭圆吗？让学生自己动手画图，使其探究性学习，再提出以下问题：思考 1：在作图过程中，有哪些物体的位置没变？哪些物体的位置改变？有哪些量没有变？哪些量变了。指出绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键。用多媒体演示从椭圆形成的过程，结合学生的作图过程，启发学生得到椭圆的定义：平面内与两个定点 F1、F 2的距离之和是常数 2 （大于F 1F2=2c）的点a的轨迹。两个定点 F1、F 2称为焦点，两焦点之间的距离称为焦距，记为 2c。若设 M 为椭圆上的任意一点，则MF 1+MF 2=2 。思考 2：若调节两图钉的相对位置，所得到的
4、图形有何变化？标准方程的推导师：下面我们一起来推导椭圆的方程求曲线方程的步骤是什么？生：求曲线方程的步骤是：建立坐标系设动点坐标：寻找动点满足的几何条件；把几何条件坐标化；化简得方程；检验其完备性师：那么此题应如何建立坐标系呢？ (让学生思考后回答)教师归纳大体上有如下三个方案：取一个定点为原点，以 F1，F 2所在直线为 x 轴建立直角坐标系，如图；3以 F1，F 2所在直线为 y 轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系，如图以 F1，F 2所在直线为 x 轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系，最后选定方案，如图，推导出方程1)建系：以 F1，F 2所在直线为 x 轴，线段 F
5、1F2的中点为原点建立直角坐标系，并设椭圆上任意一点的坐标为 M(x，y)，设两定点坐标为：F1(-c，0)，F 2(c，0)，2)则 M 满足：|MF 1|+|MF2|=2a，4)化简a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：4(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)化简得：(a 2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)师：到此我们已经推导出了椭圆的方程，但此形式还不够简洁，且 x，y的系数形式不一致，为了使方程形式和谐且便于记忆和使用，引入字母b，令 ，且 b0 可得椭圆标准方程为 （a b0） 。22ca 12yx教师指出(*)式就是焦点在
6、 x 轴上的椭圆的标准方程，最后说明：1)方程中条件 ab0 不可缺少(结合图形)，当 a=b0 时，就化成圆心在原点的圆的方程，从而进一步说明圆是椭圆的特例；(这实际上是一种极限情况)2)b 的选取虽然是为了方程形式简洁与和谐，但也有实际的几何意义，即：b2=a2-c2；3)请学生猜想：若用方案 (即焦点在 y 轴上)，得到的方程形式又如何呢？(启发学生根据对称性进行猜想)（观看电脑）4.两种类型的椭圆方程的比较：焦点在 X 轴： F1（-c,0） 、F 2（c,0） 12byax)0(a焦点在 Y 轴： F1（0,-c） 、F 2（0,c）【关系】 22c（让学生讨论，归纳出这两种形式的标
7、准方程有何异同）含 、 的分式的分母谁大，焦点就在那个轴上。xy5.应用概念【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）已知椭圆的焦点坐标是F 1（4，0） 、 F2（4，0） ，椭圆上任一点到F1、F 2的距离之和为10，求椭圆的标准方程。（2）两个焦点的坐标分别是（0，2） 、 （0，2） ，并且椭圆经过点（ 23，5） 。6练习（见投影）57.归纳小结知识小结：学生自己小结定义 aMF21椭圆焦点在 轴上x12bya标准方程 220c焦点在 轴上y12aybx方法小结：用坐标法研究曲线用运动、变化的观点分析问题解题过程中注意数形结合的方法实际应用：椭圆在天文学、建筑学上有广泛的应用。在天文学上可以精确计算彗星出现的准确时间；在建筑学上可以建造稳固的椭圆形隧道拱。同时椭圆具有美化效果，给人以美的感受。 8.布置作业 板书设计定义式6定义：平面内与两个定点 F1、F 2的距离之和是常数 2 （大于F 1F2=2c）的点的轨迹。两个定a点 F1、F 2称为焦点，两焦点之间的距离称为焦距， 椭圆的标准方程:焦点在 X 轴： 12byax)0(aF1（-c,0） 、F 2（c,0） 焦点在 Y 轴： 2)(F1（0,-c） 、F 2（0,c）【关系】 bac应用练习
