背诵.doc

1、考研数学必背的内容函数 极限 连续（ ）1Ch81定义域 值域sinx,-1,1co-1,1tax2kx,carsinx-1,1 2,co-1,1 ,0artnx, 2,cot,0如 以 为周期，则()fxT20TanTTfxdfxdnfxd (偶)奇， (奇)偶；偶函数的原函数不一定是奇数，但奇函数的原函数是偶函数；奇奇奇（不等） ， 偶偶偶 ， 奇偶 不定奇奇偶， 偶偶偶， 奇偶奇（偶0）1 分段函数： 注： 与 ， 分段点 ； ；0()fx2()nf()0fx21 0sgn0 fxfxf， 分段点 ；03ma(), 2fgffxg()fxg，分段点 ；)(,inxfxff ()f整数的点

2、 04()fxfx05函 数 的 极 限 问 题， 101limxaa101limxaa2、 存在 ， 为任何以 为极限的数列0lixfAlinAfnn00()nx3、性质（1）有限个无穷小的代数和仍是无穷小（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小（3）有限个无穷小的乘积是无穷小（2）等价定理 如果 x 则limx:lix:（3）无穷小与极限的关系 limxfAfx:4、常用的等价无穷小当 时 0usinutarcsinuarctnu21cosul(1)1e1l(1)注：（1）等价无穷小代换只能用在乘除的情况下（2）无穷小阶的讨论常用等价无穷小代换或泰勒展开式（3）如果 是 的 阶无穷小 是 的

3、阶无穷小 ()gxam()fun则 是 的 阶无穷小fn（4）一般地，如果 是 的 阶无穷小，则 是 的 阶无穷小， 是 的 阶无穷小；()fx(1)k()fxa1kdtfxaa1k反之，如 是 的 阶无穷小，推不出 是 的 阶的结论。 a )031极限运算法则及存在条件如果 与 存在，则lim()fxli()glim()li()lim()fxgfxglililiffxli()li()li0注：1、条件的存在性 2、1010limmmnx nnaaxabxbb3、 01lisn0kx k不 存 在5、双边夹法则如果 满足 且 ，则,nXYZnnYZlimlinnXZAlimnY对于函数 ，如果

4、 且(),()fxgh()()fxghx()()fhxA则 limA6、单调有界数列必有极限注：（1）己知递推公式求极限必用此结论（2） limlnlixgfxgxfe:7、运算性质 （1）如果 都在 处连续，则()fxg、 0x1 也连续； 2 ； 3 也连续xgfxgf0fxg（2）如果函数 在区间 上单调且连续，则其反函数 也在相应区间 上单调且连()yfxI yy xIfxI续（3）设函数 ，当 时，极限存在且等于 ，即 ，而函数 在 连续，则复合函数xu0a0limxaufa当 时的极限也存在，且等于 ，即fy f 0ff（4）设函数 在点 连续且 而 在点 连续，则xu00uxyu

5、在点 也连续。fy（5）初等函数在其定义域内都连续如 为初等函数， 为其定义域内一点， 则()fx0x0limx0ffx（6）如 在 上连续，则 ， ， 在 内连续g、 (,)abfg ,ng ,a(,)abch2 导数与微分 (61)1、导数的几何意义： 表示 在 点切线斜率0()fxyfx0,y（1）切线方程 0y（2）法线方程： 00001xfxf0 0xf2、高阶导数：(1)定义：二阶及二阶以上的导数(2)公式： nxxelnnxxaasini2nxcoss2n1!1nxx1!lnnxaxal:导数的运算法则1、设 , 都可导，则（1） ； （2） ；（3）fgxgfxgf xgfxf

6、xgf xfxg22、反函数的导数：设 是 的反函数，且 单调可导，则 也单调可导，且 yfgyyfxxgy1yx3yx3、复合函数的导数：如果 在点 可导，而 在 可导，则复合函数 在点 可导，且其导函数为xuufyxxfydxuy4、常见公式：0c1sincosxsinxxelnxal 1lglna 2tac2cotscxesctxcssotxx21arin21aro21art2cotx!,kx5、由参数方程所确定函数的导数： ， ， tytydx2tdyxch3. 中值定理与导数应用（1518）1. 常见的泰勒展开式 2311!nx nxee x35 21sisin!2!nxx 242c

7、oscos!nxx 11!2 nnxn 23 11 1l1nnnxx 0x基本定理1、单调性的判定定理：设函数 在 上连续 在 内可导()yfx,ab(,)ab（1）如果在 内 ， 则 在 上单调增加(,)ab(0fx（2）如果在 内 ，则 在 上单调减少()fx,2、极值存在的必要条件：函数 在点 处可导，且在 处取得极值，则00x0()fx3、第一充分条件：设 在点 的一个邻域内可导且()fx0 ()f（1）如果当 时 ；当 时 则 在 处取得极大值0xx()fx0（2）如果当 时 ，当 时 ，则 在 处取得极小值0x()fx0x()f()fx0（3）如果 在 两侧， 符号不变， 则 在

8、处不取极值()f注： 不存在的点或 不易求的点常用此定理x ()fx4、第二充分条件： 设 在 处具有二阶导数，且 则（1）当 时， 取极大0 0()fx0()fx0()fx()fx值；（2）当 时， 取极小值。0()fx()fx注：1 驻点 2 二阶导函数易求5、函数凹凸性的判定定理： 在 上连续，在 内具有二阶导数()f,ab(,)ab（1）若 ， 则 在 上是凹的()0fxx（2）若 ，则 在 上是凸的()f,6、曲率的计算公式： 231ykch4 不定积分（48 ）1、公式cxdx1cedxlnxxadccxdossicxdsincxdoslntasinlcot xxri12 aro1

9、2 rta12cxxdtaeclse cdotcslns cxdxtsin2cxdtns22、性质（1） （2）dfkf)()( ()()()fxgfxg3、换元积分法（1）第一换元（凑微分） cFdhf )()()(注 1、 1)( baxdadxbf2、 )()(fnnnn3、 )( exef xxx4、 5、dfdl)(1lnxdfdxf sin)(cos)(in6、 xfxf ari)rcsi)(arcsi27、 dfdf tn(tos1tn28、 xdfdxf arctn)(rt1)(arctn29、 2221f f10、 )()(2 bxadfadxbaf(2) 第二换元积分法 c

10、tFdtgftg)()()(被积函数含；01 )cos(sin2 taxtaxxa；203 )cs(sec2 txtxx4、分部积分法 duvdvu注：（1）运用分部积分法，关键是适当选取 和 v其原则： 比 易求01 易 求 02xdu（2） ； ；PdxePnn)()( uxPxPnn )(cos)(；vxbal vari在计算不定积分时，三角函数为被积函数尽量用 、 表示s； ；2cossin2isn 2sinco2in； ；co isicos； ；2sins2xx )in()i(21csin；)o()c(1oc )cos(cssnCH5 定积分（1518）定积分的性质1、被积函数代数和

11、的定积分等于定积分的代数和；2、被积函数的非零常数因子可以提到积分号外；3、定积分具有区间可加性；4、如果 ，则 ; ()fxg()()bbaafxdgx5、如果 在 上连续，且 分别为其最小值、最大值，()fx,ab,mM则 ； 6、 ；()ambda xfxfxfbababa)(7、定积分中值定理：如果 上连续，则在 内至少存在一点 ，使 ；xf,在 , )()(abfdxfba8、设 在 上连续， 在 上可积且不变号，则至少存在一点 ，使 ；)(xf,)(gb ,baba dxgfxg)(9、设 在 上连续， 连续可导，且 ，)(xfba,baxg,)(在 0)(xg则必存在 ，使 。a

12、bba dfdfdf )(定积分的换元积分法和分部积分法1、可变限函数求导：如果 在相应区间上连续， 可导，()fx(),hxg则 。)()()( fgfdtfgxh 注：连续函数一定存在原函数 如 连续，则 即为其原函数tfxadtf)(2、牛顿莱布尼兹公式如果函数 是连续函数 在 上的一个原函数，()Fx()fxba,则： babdf注：此公式说明要求定积分两步：（1）求原函数； （2）代公式 3、换元积分法如果函数 在区间 上连续，函数 满足：()fxa, )(tqx（1） ；（2） 在 或 上具有单调连续导数且其值域 ，则qbt， ， ,abdtqtfdxfba)(注：（1）定积分的换

13、元积分法换元必换限，换后接着算。下限对应下限，上限对应上限（2）条件，单调可导4、分部积分法 baba dxuvxudxvu)()()(注：边运算边代值（四）常用公式1、 0 0()()()2)aa afxfxdfxdxftd 为 奇 函 数为 偶 函 数2、如果 为周期为 的周期函数，fT则 ， 20)()()(Ta dtfxfdxf TnTadtftf0)()(3、 4、2020)si,(co)cos,(inxff 00 )(sin2sindxfxf5、 200 )inidxfdxf）（6、积分不等式 平方的积分结构dxgxfdxgf bababa )()()(222定积分的应用1、平面图

14、形面积：； ； ；()()basfxddrs21)( dxgfsba)()3(2、旋转体的体积：； ； ；fVbax)(2bayxfV)(ffSba)(1)(22； ；rdrsin323、平面曲线的弧长：（1） ；)(xfybaxflba)(12（2） ；rdr（3） ；tyx)( tyxl2（六）广义积分（1）无穷区间 ；Aadtfdxf)(lim)(（2）无界函数 bAbatCh6 空间解析几何(26)设 ， ，zyxa,xyz则 （1） ；（2） ；2zxazyxbaba（3） ；（4） ；222cos,xyzzxyzbabprj（5） ； （6）zyxbkjizyxzyxcbacba2

15、、几何意义：（1） 表示以 为邻边的平行四边形面积；ba、（2） 从几何上表示以 为棱的平行六面体的体积；cabc、 、（3） ； （4）zyxba/ 0xyzab（2）旋转曲面：平面曲线 绕 轴， ；,0fxy2,f3、平面及其方程：（1）平面的点法式方程：过 点法向量为 的方程：00,MxyzABC、 、 000 zCyBxA平面的一般方程： ，0Dzyx截距式方程： 1cba（2）点到平面的距离：点 到平面 的距离：00,Mxyz0AxByCz2200CBADzyxd（3）两平面的夹角：设 ， ，0:111DzBA:222Dzyx若 之间的夹角为 ，则 ，2,11222cosABC，21

16、211/CBA 021212 4、空间直线及其方程（1）直线的点向式（对称式）方程：过 点方向向量为 的直线方程：00,Mxyz,mnppznymx000（2）一般方程： 11220: ;AxByCzDl（3）两直线的夹角：设 ， ，111pznymx： 222:pznymxl 若 与 之间的夹角为 ，则 ，l211222cos， ，21211/pnml021212 pnl异面 ；12,l110sM（4）直线与平面的夹角：设直线 与平面 的夹角 ，000:xyzLmnp0AxByCzD则 ；222sinCBA（5）点 到直线 的距离： ；00,Mxyz000:xyzlmnp01sMdS（6）平

17、面束：过直线 平面束方程为：的: 2211DzCyBxAl011 DzCyBxACH7 多元函数微分学（814）1、复合函数微分法：（1） 如果 在对应点 处可微，且 的偏导数 都存在，则复合12,kzfu 12,ku lixu21, ljxui2,1函数 在 点对 的偏导数存在，且 12212,l klfxx 1lx j；juzuzuzxkjjj ,21 （2） 设 具有连续偏导数， 也具有连续偏导数，则复合函数vf， yxv,在点 处的全微分为： ；,zfxy,xy dvzudz（3） 全微分的运算公式：； (c 为常数) ； 1 dvud 2 cdu； ； 。 3 v 4 2v 5 du

18、f2、空间曲线的切线与法平面：（1）曲线 ： ，其中 ， ， 都是可导函数，且 不全为 0，则切线方程L(),()xtytzt()xty()zt tzytx,为： ，000 ttt法平面方程为： ；0 0ztyx（2）曲线 ：Lzy,切线方程为： ，0001xx法平面方程为： ；0)( 00 zy（3）曲线 ：LxzyxGF,切线方程为： ，0001xz法平面方程为： 0 000 zxyx3、空间曲面的切平面与法线：（1）曲面方程： (,)Fyz切平面方程为： ，0000 zFyxx法线方程为： ，zyxF法线的方向余弦为： ；22222cos,cs,yx zyzxzxyFFFr （2）曲面方

19、程： ， yxfz,fzF),(,则切平面方程为： ，00000 zyxyx法线方程为： 1zfyfx4、极值存在的必要条件：如果函数 在点 取得极值，且 都存在，则必有,fxy0,y00,yxffx，0,0,0yxfyxf，满足 的点（驻点）：可能极值点，包括驻点和偏导数不存在的点,fy注： 在 内为常数 ,fxD0yfx5、极值的充分条件：设函数 在点 的某一邻域内具有二阶连续偏导数，且 , ， 记yfz,0,yx 0,0yxf0,yxf：00 ,yxfCfBxAxy（1）如 ，则 为 的极值， 极大， 极小；2C0,A（2）如 ，不是极值； （3）如 ，不确定。2CB（2）梯度：设 ，则

20、zyxu,kzujyixgradu注：梯度方向即为变化率最大的方向（3）方向导数计算公式：如果函数 在点 可微，则函数 在点 处沿任一方向 的方向导数fz,xp,yxf,yxp,L存在，且 ,其中 是 的方向余弦。cossyxzL cos、 L沿 方向的方向导数为： ；,uxyzLcosscosuuLxyz（4）梯度的性质： ； ；gradvgraduvgradvvgrad 2CH8 重积分（610）1、公式：（1）如果 关于 为奇函数，积分域 关于 轴对称，则：yxfz,Dx0,dxyfD（2）如果 关于 为偶函数，积分域 关于 轴对称（ 表示 位于 轴上方的部分） ，则：, 1（注：平面域

21、关于 轴对称）dxyfdxyfDD2,1 x（3）连续函数 关于 为奇函数，积分域 关于 面对称，zu,oy则： 0,vzyxf（4）连续函数 关于 为偶函数，积分域 关于 面对称， 表示 的位于 面上zf, xy1xoy方的部分，则： (注：立体关于坐标面对称)dvyxfdvzyxf ,2,1（5）如果 关于 对称，D则： xyfxfyxffD,0,1（6） 中 地位同ddxyfD地位同vzfvfv 中 ,xyz2、二重积分的计算：（1）如 ， 则 :xyxba21 dyxfdfbayD21,（2） ， 则 :D21rr rrfxyf 2sin,co,3、三重积分的计算（1） ，则 （2）1

22、2:,axbyyzz2211, ,byxzxyafxyzdvdfzd，则12:,rrzz2211,rzrfxyzdvdf（3） ，则12:,rr 2211,2sinrrfdvdfdr4、体积公式： dxyfVD5、曲面面积：（1）曲面 的方程为： ， ；,zxy21xyxyDSzd（2）曲面 的方程为： ， ；yx, zyDdSyz21（3）曲面 的方程为： ， 。zxzxz6、质量：（1） ； （2）dxyMD, vzyxM,7、重心坐标：（1）平面薄板： ， ；dxyD,dD（2）立体： ， (注意步调一致)dvzyx, vzK,8、转动惯量：（1）平面薄板： ， ， 20,DIxydxy

23、 dxyyIDx,2；xyIDy,2（2）立体： ， ， dvzyxIx ,2 vzyxIy ,2， 。dvzyIz ,2 dxzyzI ,2209、引力：质量为 的质点位于 处，物体占有空间域 ，其密度为 ，设物体对m,zyxp zyx,质点引力为： ,zyxF,则： ， ，dxyzrkFx 30,dxyzrzyxkmFy 30,， vzymz 30, 202020CH9 线积分 面积分（610）曲线 ， 则 ； 1 :LxybadxyxFdsyxbaL 21,曲线 ， ，则 ； 2 tty tt2, 曲线 ， ，则 ； 3 :LrdrrFdsyxL 2sinco, ，曲线 ， ， ， 4

24、txtytz则 tyxFdszyFT 22, 注：积分下限必小于上限曲线段的长度： ， ； 1 LlsTlds曲线段的质量： ， ； 2 mdszyx,曲线的重心坐标： ， ， ； 3 dsxLsLdskL转动惯量：平面： ； 空间： 4 yIx,2dszyxyIx,2对坐标的曲线积分计算： 起点 ， 终点 ， 1 :Lxyabx则 ；dxyQypQdpb ,， ： 起 ， 终点 ， 2 tx:tytt则 ；tyxxdL ,： 起点 ，终点 ， 3 r: 则 ； drQrrpQypxL sincosin,co空间曲线 ，起点 ，终点 ， 4 :Ttztytx, tt:则 RzypxRdzy ,

25、两种曲线积分之间的关系：， ， ， 曲线切向量的方向余弦sQpdpxLL cos dscdsyco，rzy， ，dscodsycszrc格林公式：设函数 在域 及其边界 上具有一阶连续偏导数，xQp,DL则 ， 取正向yPyPxDL 平面曲线积分与路径无关的等价命题(单连通域)（1） 在 内与路径无关；Ld（2） ， 为 内任一分段光滑闭曲线；0QdyPxLLD（3） ；（4）存在 ，使 ，且yxu, QdyPxdudyxQdyxPxuy00 ,注：如果 ， 包围同一瑕点，则：21L、 12L空间曲线积分： 与路径无关 RdzyxT， ， 注：力 沿 作功：QyPzPRkQjiFLRdzQyP

26、xW对面积的曲面积分： ； 1 yx,： dxyzyxzfdszyxf xDxy 21,： ； 2 z,:ff zxxz 2, ： 3 yx,:dyzyfdsyf zyDyz 21,（4）应用：曲面的质量： ； 1 sxm,曲面的重心坐标： ， 为 2 dszyk,k,xyz曲面的转动惯量： ， = 3 szyxyIx ,2yI2,xzyzds对坐标的曲面积分计算：，投影域 ，则 ； 1 yxz,: xyDxyzyxRdxyzRyD,，投影域 ，则 ； 2 :,yz dPPyz,，投影域 ，则 3 zxy,: xzDxzxQdxzyQzD,注：1、 与法向量与相应坐标轴的夹角有关：锐角 ，钝角

27、 负 2、负侧 正侧 法向量的指向两种曲面积分之间的关系：， dsrRQPRdxyQzPdy cosco其中 为曲面的法向量的方向余弦rcoscs、 高斯公式： 设 在空间闭域 上具有一阶连续偏导数，则 zyxzzyx,、 ，其中 是 的边界曲面外侧PQRPdyzQxRddv :注： 一阶连续偏导； 外侧； 闭曲面 1 2 3.斯托克斯定理：设函数 在包含曲面 的空间域 内具有一阶连续偏导zyxzzy,、数，设 为曲面 的边界曲线，则 RQPzyxddRzQdyPx流体流过曲面的流量： dxyd梯度、散度、旋度：设 ，则梯度： ；zyxu, kzujyixgradu， 则散度： ，RkQjPi

28、ARQPiA旋度： RPzyxjirotCH10 级数（810）收敛，则称 绝对收敛； 1 nunu收敛， 发散，则称 条件收敛 2 nu性质：（1）若 收敛，其和为 为常数，则 也收敛，且其和为 nu,sk1nk ks（2）若级数 分别收敛于 和 ，则 也收敛，且收敛于nV、 STnuvST注： 如一发散，一收敛，则其代数和发散； 如两发散，则结论不一定 1 2（3）在级数前面增加、减少或改变有限项，并不影响其敛散性，但级数收敛时，仅可能改变其和（4）收敛级数的各项按原次序分组加括号所得新级数仍收敛，且其和不变（5）若级数 收敛，则1nu0limnu注：若 ，则 发散lim0n定理及审敛法（

29、1）正项级数 收敛 部分和数列 有界；nunS（2）比较审敛法：设 都是正项级数： 1 nv、若从某项起，有 且 收敛，则 也收敛；A0,kNnKVun nVnu、若从某项起，有 且 发散，则 也发散Bu设 是两个正项级数，且 ，则 同敛散 2 nu、 lVn0,limnVu、注：对于正项级数可利用等价无穷小代换，只能用在(正项或负项)级数（3）比值审敛法：设有正项级数 ，若 ，则：1nu1linp当 时，级数 收敛； 时，级数 发散 1 01pn 2 pnu注：含 或 的乘积形式!n（4）根值审敛法：设有正项级数 ，若 ，则：1nulimnp时，级数 收敛； 时，级数 发散 10pnu 2

30、pnu注：含以 为指数的因子n（5）交错级数审敛法：若交错级数 满足： ； ，1()nu 1 1n 2 0limnu则该交错级数收敛，且其和 ，其余项的绝对值1us1nr（6）绝对收敛定理：若 收敛，则 也收敛nn注： 改变绝对收敛级数项的次序所得的新级数仍绝对收敛，且与原级数有相同的和； 1设级数 都绝对收敛，它们的和分别为 和 ，则它们逐项相乘后，依任意方式 2 nvu、 ST排列所得级数仍绝对收敛，且其积为 ST公式：（1） ： 时收敛， 时发散；1pn1p（2） ： 时收敛， 时发散； 1naa（3） ： 时收敛， 时发散；1lnp11p函数项级数定理公式：（1）阿贝尔引理：若幂级数

31、：当 时收敛，则对 的 ， ；当nax00xnax绝 对 收 敛发散，则对 的 ， 发散0x0xn注：收敛点是连成一片的（2）设 是幂级数 的收敛半径，且 ：Rna1limnap当 时， ； 时， ； 时， 1 0p1p 2 0R 3 0R（3）幂级数的分析运算性质：设幂级数 ，其收敛半径为 ，则： 和函数0naxS 1在 内连续；Sx,R和函数 在 内可导，且 ； 2 ,0nSxa和函数 在 内任何区间上可积，且 3 Sx,RdtadxSnnx00注：逐项求导，逐项积分并不改变收敛半径，但可改变端点的敛散性（4）几个重要的麦克劳林展开式：； !21nxxex；3521sin!n ；242co

32、1!nxx ； n132ln； nxxx!1!12（5）泰勒定理：设 在点 的某个邻域内具有任意阶导数，则 在 处的泰勒级数在该()f0 ()fx0邻域内收敛于 的充要条件是：当 时， 在点 的泰勒级数余项()fxn()fx0Rn注： 在点 的幂级数展开式f0 00!nnf x付立叶级数：是周期为 的周期函数：则 ， 1 ()fx2nxdfancos1 nxdfbnsi1在 上以 为周期： ， 2 ,ll lxl ll在 上： ， 3 fxababfabn2cosxabxfabn2si2（4）付立叶级数：以付立叶系数 构成的三角级数n、付立叶级数01cosin2naxb（4）正弦级数、余弦级数

33、（奇偶延拓）只含正弦项的级数 正弦级数； 只含余弦项的级数 余弦级数注：奇延拓 正弦 即：奇函数 正弦 偶延拓 余弦 偶函数 余弦定理如 在 上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点；（2）至多有有限个极值点,则fx，的付立叶级数 在 上收敛，Sx,ab且： 为 的连续点， 1xf xfs为 的间断点， 2 2x为 的端点， , 3xf babfafs微分方程（812）1、如果 、 是二阶线性齐次方程： 的两个解，1y2 0)( yxQpy则 也是它的解，其中 是任意常数；c21c、2、如果 是 的两个线性无关的解，12y、 0pxyQ则 就是该方程的通解；c3、如果 是二阶非齐次线性方程：

34、 的一个特解，而 是它对应的齐次方程y xfyQxpy)( Y的通解，则 是该非齐次方程的通解；Y4、如果 是 的解， 是 的解，1y)( 1xfyQxp2y)( 2xfyxp则 的解2)( f是CH1 行列式(46)性质： 行与列互换，其值不变； 行列式的两行或两列互换，行列式改变符号； 行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的外面，若以一个数乘行列式等于用该数乘行列式的任意一行（列） ； 行列式中若有两行（列）成比例，则该行列式为零； 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两行列式之和： nniii nnniii nnnn iiiiii n aaaaaaaaaa 2111

35、22111221 1121 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变几个公式：（1） 范得蒙行列式：122112()nijjnnnaaAa 213231 21()()()()()aaa 特点： 从第一行至第 行按升幂排列； 项 积；jix ,ijx（2）设 为 阶矩阵， 为 阶矩阵， 为 阶矩阵，AnBmCn则： ， ， ；ijnijjiAa1110,nksik10,niskaAs ； ；CcB0* BCmn)(*0 ；nnaaa 21210 ； ；121)(1120nnnn aa AKn ， ，但 ；ACTABA ， ， 为元素 的代数余子式；1

36、nA121212nnnA ijAija ， (注意符号) 余子式：1A nnjnjn ijijiii njjjij aaaa 1121 11112 1)( ijMijjiijMA1ijij ijACH2 矩阵(812)常用公式：（1） ；（2） ， ；TTBA）（ T)(TA)(（3） ； （4） ， ；）（ 11）（）（ 1）（5） ， ， ；11K）（ A）（ Kn）（6） A分块矩阵：（1）已知 为分块对角矩阵， ， 为可逆方阵，tAA21 i则 ；1121tAA（2）若 ，则 ；0CBA01C（3）若 且 ，则 ；D11DCBA（4）若 A= ， ，则CB00A1110、 为同阶方阵，

37、则 ；AB）（若 为可逆矩阵，则 ，A11）（）（ AE初等变换不改变矩阵的秩：，)()(Brr )(,min)()( BrABrnr)(TArCH3 向量(610)基本定理：（1）向量组 线性相关的充要条件是：其中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示；)2(,21m 1m（2）如向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则 可由 线性表示，且, 12,m 2,表示法唯一；（3）若向量组 线性相关，则 也相关；12,m 121,s （4）向量组 线性相关 ， ()mr向量组 线性无关 ；12,m 1,（5）若向量组线性无关，则将其每个向量添加分量后所组成的向量组也线性无关；（6）设向量组 线性无

38、关且可由向量组 线性表示，则 。12,r 12,s rs任意两个线性无关的等价向量组所含向量个数相等。正交向量组，必线性无关。（7）向量组的秩与该向量组所构成的矩阵的秩相等；（8）矩阵的行秩与列秩相等，都等于矩阵的秩；（9） ；)(,min)()( BrABrnrA（10） ；,i（11）如果 、 为可逆矩阵，则 ；PQ)()( ArQrP）（12） ；（13）)()(BrAr1)(01)(nrA注： 个 维向量必线性相关；()mn 个 维向量线性无关 CH4 方程组（ 68）1、齐次线性方程组有非 解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件：0（1） 有非零 解 （ 为未知数的个数） ；0

39、AX()rAn(2) 有解 b(),b2、齐次线性方程组的基础解系、通解、解空间：若 为 的解，则 为 的解12,x120X3、非齐次线性方程组解的结构：非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次的一个特解CH5 特征值和特征向量 (1012)主要定理：（1） 阶方阵 有 个特征值，它们的和等于 的主对角线元素之和，它们的乘积等于 的行列nAnAA式 ；（2） 如果 是方阵 的特征值， 是与之对应的特征向量，则 互m、 21 mp、 21 m、 21不相等时， 线性无关；p、（3） 如果 阶方阵 与 相似，则 与 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，有相同的nABAB迹；（4） 如果 阶方阵 与

40、对角阵 相似，则 的主对角线元素就是 的 个特征值；An（5） 可相似对角化的充要条件是 有 个线性无关的特征向量；An（6） 如果 阶方阵 的 个特征值互不相等，则 与对角阵相似，即 可相似对角化；（7） 实对称矩阵的特征值全为实数；（8） 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交；（9） 对 阶实对称矩陈 ，必存在正交阵 ，使 ，其中 为以 的 个特征值为主对角nAP1 n线元素的对角阵；（10）如 为 的特征值，则 为 的特征值()ff注： 相似矩阵有相同的特征值； 迹同； ； 相似，合同，等价矩阵的秩相等An1CH6 二次型 (48)惯性定理：设二次型 的秩为 ，两个可逆变换 ， 都化二次型为标准型xfrxpycz221nfyy， ； 的正负个数相等2kzkz 12,n 12,nk正定及其判别法：设二次型 ，如果对任意非 向量 都有 ，Axf0x0Axf如果 为正交阵，则 称为正交变换 合同矩阵有相同的规范型pyp（1） 的正惯性指数等于 ； （2）存在 阶实可逆矩阵 ，使 ；nnCT（3） 的顺序主子式全部大于 ； （4） 的特征值全为正数；0A（5） ； （6）对任意非零向量 ，AEx0TCH1