1、二次根式的运算竞赛讲座Page 1 of 7第七讲 二次根式的运算式子 ( 0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础。a(1) ( 0)； (2) ( )；cbc)ab 0,(3) ( )； (4) ( 0)。ab0,2)(同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念。二次根式的运算是在有理式(整式、分式) 运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等。例题求解【例 1】 已知 ，则 = 。 (重庆市竞赛题)25452xxy
2、2y思路点拨：因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手。注：二次根式有如下重要性质：(1) ，说明了 与 、 一样都是非负数；0aan2(2) ( 0)，解二次根式问题的途径通过平方，去掉根号有理化；2)(3) ，揭示了与绝对值的内在一致性。a著名数学教育家玻利亚曾说， “回到定义中去” ，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题。【例 2】 化简 ，所得的结果为（ ）22)1(nA、 B、 C、 D、 (武汉市选拔赛试题)1n1n1n思路点拔：待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式。注：特殊与一般是能相互转化的，
3、而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实和规律。【例 3】计算：（1） ； （2） ；)3)(6(4215410（3） ； （4） 。9797551 132586103思路点拨：若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口。【例 4】 (1)化简 ； (北京市竞赛题)324二次根式的运算竞赛讲座Page 2 of 7(2)计算 (“希望杯”邀请赛试题)23810(3) 计算 (湖北省孝感市“英才杯”竞赛题)1aa思路点拨：（1）把 4+2 万与 42 分别化成一
4、个平方数化简，此外，由于 4+2 与 4233 3是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数，我们还可以运用这一特点求解；(3)通过配方，3可以简化一重根号，解题的关键是就 a 的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题。【例 5】 已知 ，求 的值。 (山东省竞赛题)52132412cbba cba思路点拨：已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试。二次根式的运算竞赛讲座Page 3 of 7二次根式的运算学历训练1、如果 ，那么 = 。 (四川省竞赛题)232xxy yx22、已知 ，那么 的值为 。 (成都市中考题)y
5、3、计算 = 。(天津市选拔赛试题)201)3(2)13(2)1( 1900 4、若 ab0，则等式 飞成立的条件是 。(淄博市中考题)abb355、如果式子 化简的结果为 ，则 x 的取值范围是( )2)1(x32A、x1 B、x2 C、1x2 D、x 0 (徐州市中考题)6、如果式子 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）a)(A、 B、 C、 D、a111aa17、已知 ，则 的值为( ) )0,(2yxyx yx435A、 B、 C、 D、31218、已知 ，那么 的值等于（ ）2aaa211A、 B、 C、 D、3 )31(9、计算：(1) ； 12020（2） ； (北京市数7
6、215624130297653 学竞赛题)（3） ；426751（4） (“希望杯”)1920()19720()19)(179()0197)(19( 邀请赛试题)二次根式的运算竞赛讲座Page 4 of 710、(1)已知 与 的小数部分分别是 a 和 b，求 ab3a+4b+8 的值；139(2)设 ， ，n 为自然数，如果 成立，求 n。nx1y1 19321972yx11、如图，某货船以 20 海里时的速度将一批重要物资由 A 处运往正西方向的 B 处，经 16 小时的航行到达，到达后必须立即卸货此时，接到气象部门通知，一台风中心正以 40 海里时的速度由 A 向北偏西 60方向移动，距
7、台风中心 200 海里的圆形区域(包括边界) 均会受到影响 （1）问：B 处是否会受到台风的影响 ?请说明理由；(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物? (供选用数据： ， ) (贵阳市中考题)4.127.312、已知 ， ，那么 = 。(T1 杯全国初中数学联赛题)23x23y2yx13、若有理数 x、y、z 满足 ，则 = 。 (北京市竞赛题)(1zzx2)(yzx14、设 ，其中 a 为正整数，b 在 0，1 之间，则 = 。a2107 ba15、正数 m、n 满足 ，则 = 。(北京市竞赛题)3424nmn 208nm16、化简 等于( )1723A、54 B、4 一
8、1 C、5 D、1 (全国初中数学联赛题)17、若 ，则 等于( ) A、 B、 C、1 D、1x12)xx(2004 年武汉市选拔赛试题 )18、若 都是有理数，那么 和 面( ) (第 13 届“希望杯”邀请赛试题)baba、, abA、都是有理数 B、一个是有理数，另一个是无理数C、都是无理数 D、有理数还是无理数不能确定 19、下列三个命题：若 ， 是互不相等的无理数，则 + 是无理数；若 ， 是互不相等的无理数，则 是无理数； 若 ， 是互不相等的无理数，则 是无理数。3其中正确命题的个数是( ) A、0 B、1 C、2 D、3 (全国初中数学联赛试题)二次根式的运算竞赛讲座Page
9、 5 of 720、计算：（1） （ “希望杯”竞赛题） （2） （山东省竞赛题）3426305 2356108（3） （四川省选拔赛题）109103212(4) (5) (新加坡中学生数学竞赛题)15236( 2315221、(1)求证 1)1(22abab(2)计算 （“祖冲之杯”邀请赛试题）20191222、(1)定义 ，求 的值。323232 11)( xxxf )9()12()3(fkff(2)设 x、y 都是正整数，且使 ，求 y 的最大值。 (上海市竞赛题 )x10623、试将实数 改写成三个正整数的算术根之和。 (2001 年第 2 届全澳门校际初中)71(521数学竞赛题)24、求比 大的最小整数。(西安交通大学少年班入学试题)65(二次根式的运算竞赛讲座Page 6 of 7二次根式的运算竞赛讲座Page 7 of 7
