1、 第六章 平面直角坐标系6l 平面直角坐标系学法导引“平面直角坐标系”一书是在数轴的基础上，为了实际问题的需要而建立起来的有关直角坐标系的概念比较多，学习时，要运用数形结合思想，紧密结合图形，理解这些概念，注重同学间的合作与交流，探讨学习方法要点精讲重点：本节的重点是有序数对、平面直角坐标系及其有关概念，根据坐标确定点和由点求坐标我们把有顺序的两个数 a 与 b 组成的数对，叫做有序数对（ordered pair） ，记作（a，b） 利用有序数对，可以准确地表示出一个位置生活中利用有序数对表示位置的情况是很常见的，如人们常用经纬度来表示地球上的地点等而平面直角坐标系内的点主要是用有序数对来表示
2、的平面内有公共原点的两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，其中水平的数轴为 x 轴或横轴，垂直的数轴叫 y 轴或纵轴，两轴的交点 O 是原点x 轴和 y 轴将坐标平面分成四个象限，如图 611 所示，按逆时针方向编号为第一、二、三、四象限坐标原点坐标轴（x轴、y 轴）上的点不属于任何象限，平面内点的坐标是一对有序数对，即坐标平面内的点和有序数对是一一对应的通常先写点的名称，再接着写坐标。如点 P（x，y）就表示点 P 的坐标是（x，y） ，坐标为（x，y）的点是 P 点但应注意，横、纵坐标的位置不能颠倒，否则就不是该点了，如坐标为（y，x）的点不是点（x，y） 由点求坐标的方法：先由已知点 P
3、 分别向 x 轴和 y 轴作垂线设垂足为 A 和 B，再求出垂足 A 在 x 轴上的坐标 a 和垂足 B 在 y 轴上的坐标 b，最后按顺序写成（a，b）即可由坐标确定点的方法：假设 P 的坐标为（a，b） ，先在 x 轴上找到坐标为 a 的点 A，在 y轴上找到坐标为 b 的点 B；再分别由点 A、点 B 作 x 轴、y 轴的垂线，两垂线的交点就是所要描出的点 P难点：坐标平面内特殊位置的点的坐标的特征由于本节内容是初中数学数形结合的典范，理解这些概念，不能死记硬背，主要是看到一个概念，脑子里反应出相关的图形，即需要我们看到某点所在的位置，就立即反映出该点的坐标的特征，以便迅速解题，这对于初
4、学者比较困难，因此，要熟练掌特殊位置的点的坐标的特征：这对于初学者比较困难，因此，要熟练掌握特殊位置的点的坐标的特征：1各象限内点的坐标有如下特征：如图 612 所示：3第一、三象限角平分线上的点 P（x，y）的横、纵坐标相等，即 xy，第二、四象限角平分线上的点 P（x，y）的横、纵坐标互为相反数，即 xy 或xy04平行于 x 轴的直线上的所有点的纵坐标相同，5关于 x 轴、y 轴对称点的坐标的特征：关于哪个轴对称，哪个轴上的坐标相等，另一个轴上的坐标互为相反数6关于原点对称的两个点的横、纵坐标均为相反数7点（x，y）到 x 轴的距离为y，到了轴的距离为x易错点：由点求坐标时，容易将横、纵
5、坐标位置弄错，忽略坐标符号精典例题:解析重点【例 1】 求图 613 中，A、B、C、D 各点的坐标解析 由点 A 向 x 轴作垂线，得 A 点的横坐标是 2，再由 A 向 y 轴作垂线，得 A 点的纵坐标是 3，合起来点 A 的坐标为（2，3） ，同理可求得 B、C、D 点的坐标答案 A（2，3） ，B（3，2） ，C（2，1） ，D（1，2） 点拨 平面中点的坐标是由有序数对组成，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号分开如图 613 中 A 和 B 是平面内两个不同的点【例 2】 在直角坐标系中，描出下列各点，并指出 A，B，C，D 四点所在的象限A（4，3） ，B（2，3） ，C（
6、4，1） ，D（2，2）解析 点 A 的坐标是（4，3） ， 先在 x 轴上找到坐标是 4 的点 M，在 y 轴上找到坐标是 3 的点 N，然后由点 M 作 x 轴的垂线（y 轴的平行线） ，由点 N 作 y 轴的垂线（x 轴的平行线） ，这两条垂线的交点就是点 A，为了避免直角坐标系内字母混乱，坐标轴上的垂足M、N 可只作标记，不写字母同理可描出 B、C、D 三点答案 点 A、B、C、D 在坐标平面内的位置如图 614 所示，其中 A 点在第一象限，B点在第二象限，C 点在第三象限，D 点在第四象限点拨 平面内的点与有序数对之间是一一对应关系，这就是说，对于坐标平面内任意一点，能且只能用唯一
7、的有序数对来表示；反之，任意一对有序数对，都能且只能确定坐标平面内的一点剖析难点【例 3】 设点 P 的坐标为（x，y） ，根据下列条件判定点 P 在坐标平面内的位置：（1）xy0；（2）xy0；（3）xy0解析 （1）由 xy0 可知，x0，或 y0当 x0 时，点 P 在 y 轴上；当 y0 时，点P 在 x 轴上；当 x、y 同时等于 0 时，点 P 在原点既在 x 轴上，又在 y 轴上，故当 xy0时，点 P 在坐标轴上 （2）由 xy0 可知，x 与 y 同号， 点 P 在第一象限或第三象限 （3）由 xy0 可知，x 与 y 互为相反数， 点 P 在第二、四象限内两坐标轴夹角的平分
8、线上答案 （1）点 P 在坐标轴上；（2）点 P 在第一象限或第三象限；（3）点 P 在第二、四象限内两坐标轴夹角的平分线上点拨 解这类问题，关键是要熟练掌握各种位置上的点的坐标特征【例 4】 已知点 A 与点 B（1，6）关于 y 轴对称，求点 A 关于原点的对称点 C 的坐标解析 由点 A 与点 B（1，6）关于 y 轴对称可知 A 点坐标为（1，6） ，点 A 关于原点对称，点 C 的坐标为（1，6） 答案 点 A 关于原点的对称点 C 的坐标为（1，6） 点拨 本题考查特殊点的坐标的求法，解题时应记住特殊点的坐标的变化规律，或根据平面直角坐标系，自己探索有关对称点的坐标特征，再应用于解题中点击易错点【例 5】 已知 P 到 x 轴的距离是 2，到 y 轴的距离是 1，求 P 点坐标错解 如图 615 P 点到 x 轴距离是 2， 点 P 的纵坐标是 2又 点 P 的横坐标是 1， P 点坐标为（2，1） 错解分析 上述解法中有两个错误，一是忽略横、纵坐标的符号；二是横、纵坐标的位置颠倒了正解 点 P 到 x 轴的距离是 2，
