1、习题 2222-1计算下列物体具有 动能时的物质波波长， （1）电子；（2）质子。MeV10解：（1）具有 动能的电子，可以试算一下它的速度：，所以要考虑相对论效应。2kmvE79312.609k cm光 速设电子的静能量为 ，总能量可写为： ，用相对论公式：0c20kEm，可得：224cp240pckE220kkhEc348719127196.(1.)0()10.6 ；3.m（2）对于具有 动能的质子，可以试算一下它的速度：MeV0，所以不需要考虑相对论效应。719727.64./kEv ms利用德布罗意波的计算公式即可得出：。3152719.0.021.6h mpm22-2计算在彩色电视显
2、像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为， （1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。kV0.5解：（1）用非相对论公式：；34 12311936.07.609. 25hpeU （2）用相对论公式：设电子的静能为 ，动能为： ，20mckEeU由 ，有： 。2024Emc 12220.()hme22-3求出实物粒子德布罗意波长与粒子动能 EK 和静止质量 m0 的关系，并得出： EK m0c2 时， c解：由 20mEK20220)/(1/cv解出： )(cK, 根据德布罗意波： )/(22020cccKv)/(vhp把上面 m，v 代入得： ,202cmEhK当 时，上式分母中，
3、 ， 可略去20cEK2K得 20/chK0/hK当 时，上式分母中， ， 可略去 20mK2cE20cK得 /22-4一中子束通过晶体发生衍射。已知晶面间距 ，中子的动能27.31dnm，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角。4.20kEeV解：衍射是波的特征，中子束通过晶体发生衍射，可见中子束具有波动属性，由布拉格公式 ，一级极大时取 ，有： ，sind1ksin2波长 可利用德布罗意波的计算公式得出：，34 127196.0.402.6h mpmE ， 。1.40sin.9573darcsin52922-5以速度 运动的电子射入场强为 的匀强电场中加速，为6/vs /EV使电
4、子波长 ，电子在此场中应该飞行多长的距离？A1解：利用能量守恒，有： ，考虑到 ，21EmveU2hpm有： 22()()hhUve3431321931106.(9.0(6)2.60. ，1972(488)5.3. V太 小 ， 舍 去利用匀强电场公式 有： 。UEd60.31m22-6用电子显微镜来分辨大小为 1 的物体，试估算所需要电子动能的最小值。 （以n为单位）eV解：由于需要分辨大小为 1 的物体，所以电子束的徳布罗意波长至少为 1 ，mnm由 ，有电子的动量为： ；hp342596.06.10/pkgs试算一下它的速度： ，2531078/.vmc光 速所以不考虑相对论效应，则利用
5、 ，有电子动能的最小值：20kpEm。251931(6.0).49kEJ.5eV22-7设电子的位置不确定度为 ，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为A.0，计算电子能量的不确定度。eV1解：由不确定关系： ，有2xp，342410.5./2p kgms:由 ，可推出： 。hcE15.60EcpJ22-8氢原子的吸收谱线 的谱线宽度为 ，计算原子处在被激发态上的A5.430A2平均寿命。解：能量 ，由于激发能级有一定的宽度 ，造成谱线也有一定宽度 ，两hcE者之间的关系为： ，由不确定关系， ，平均寿命 ，则：2E/2tt。24thc 10182(43.5)5s22-9若红宝石发出中心波长
6、 的短脉冲信号，时距为 ，计算该m10.67 9(0)n信号的波长宽度 。解：光波列长度与原子发光寿命的关系为： ，xct由不确定关系： ，有：2xp24p 。72 389(6.310).10nct22-10设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系可以表示为 ，式中 为粒子hLL角动量的不确定度， 为粒子角位置的不确定度。证明：当粒子做圆周运动时，设半径为 ，角动量为： ，rrmvp则其不确定度 ，而做圆周运动时： ，PrLx利用： 代入，可得到： 。xhhL22-11计算一维无限深势阱中基态粒子处在 到 区间的几率。设粒子的势能03/L分布函数为： ()0Uxx， 和解：根据一维无限深势阱的态函
7、数的计算，当粒子被限定在 之间运动时，其定态x归一化的波函数为： ，2()sin00nxxLl， 和概率密度为： 2()sinPl，粒子处在 到 区间的几率： ，0x3/L23012()sinsin3lnPxxl如果是基态， ，则 。13201()si 0.95.%lnxl22-12一个质子放在一维无限深阱中，阱宽 。m4L（1）质子的零点能量有多大？（2）由 态跃迁到 态时，质子放出多大能量的光子？n解：（1）由一维无限深势阱粒子的能级表达式：28nhE时为零点能量：234131 2712(6.0).9081(hE JmL。（2）由 态跃迁到 态时，质子放出光子的能量为：nn2311)9.7
8、EJ(。22-13对应于氢原子中电子轨道运动，试计算 时氢原子可能具有的轨道角动量。n解：当 ， 的可能取值为：0，1，2。3l而轨道角动量 ，所以 的取值为：0， ， 。()LL2622-14氢原子处于 的激发态时，原子的轨道角动量在空间有哪些可能取向？nl，并计算各种可能取向的角动量与 轴的夹角？z解：（1） ，所以轨道角动量： ，l (1)l（2） 的本征值可取： ，由磁量子数取值范围： 知zLzLm1mll， ， ， 有三个取向。夹角分别为：0m， z； ； 。2，z 4， 34z，22-15氢原子处于 2p 态，当它在外磁场 中，考虑到轨道磁矩与外磁场的相互作用，讨B论该状态的能级分
9、裂情况，并计算跃迁发出光子的频率。答案：2p 能级分裂为三个能级；hE2mehW4 meBhW4解：氢原子处在外磁场中，由于空间量子化，电子轨道角动量相对外磁场方向有各种可能的取向，电子轨道磁矩也有相应的不同取向，导致氢原子与外磁场之间不同的相互作用势能，使氢原子电子轨道磁矩02LmeM电子磁矩与外磁场相互作用能BmeLBWlz2的可能取值有 个，磁矩与外磁场相互作用能也出现 个可能值。l 12l 1对应于氢原子 2p 态与外磁场的相互作用能有三个不同值，分别为 ； ，l0lm， ， 。1s 能级不变化，2p 能级分裂为三个能级，相邻之间能0lmBe2级的能量差为 。WE原先由 2p 跃迁至
10、1s 的一条谱线分裂成为三条谱线，如图所示。其频率分别为：原频率 hE2meBhW4 meBhW4思考题 2222-1证明玻尔理论中氢原于中的电子轨道是电子德布罗意波长的整数倍。证明：设电子轨道的半径为 ，则电子轨道的周长为 ，需要证明 。nr2nr2nr玻尔理论中，氢原子中的电子轨道为： 00nhrme而电子的德布罗意波长： （ ）22hemE20481nE可见电子轨道： ，是德布罗意波长的整数倍。0022n hrn22-2为什么说电子既不是经典意义的波，也不是经典意义的粒子？答：因为假如电子是经典意义的波的话，那么波包随着时间在空间的扩展，电子就会“发胖” ，但现实并非如此，所以它不是经典
11、意义的波；而电子的波动性也并非是电子间相互作用的结果，而是单个电子的行为，所以电子也不是经典意义的粒子。22-3图中所示为电子波干涉实验示意图， 为电子束发射源，发射出沿不同方向运动的S电子， 为极细的带强正电的金属丝，电子被吸引后改变运动方向，下方的电子折向上方，F上方的电子折向下方，在前方交叉区放一电子感光板 ， 、 分别为上、下方电子束的A1S2虚电子源， ，底板 离源 S 的距离A为 ，设 ，电子的动量为 ，试求：Dap（1）电子几率密度最大的位置；（2）相邻暗条纹的距离（近似计算） 。答：（1）电子的德布罗意波长： ，类似于波的干涉现象，在两边的第一级明纹之h间分布的电子最多，所以其
12、几率最大的位置应该在 之间；2Dhdap（2）相邻暗条纹的距离： 。2Dhxdap22-4在一维势箱中运动的粒子，它的一个定态波函数如图 所示，对应的总能量为 ，aeV4若它处于另一个波函数（如图 所示）的态上时，它的总能量是多少？粒子的零点能是多b少？答：由一维无限深势阱粒子的能级表达式：。在 a 图中， ，20nE2n知 ，4eV所以粒子的零点能 ；01若它处于另一个波函数（图 所示， ）的态上时，b3它的总能量是： 。2309nEeV22-5图中所示为一有限深势阱，宽为 ，高为 。aU（1）写出各区域的定态薛定谔方程和边界条件；（2）比较具有相同宽度的有限深势阱和无限深势阱中粒子的最低能
13、量值的大小。答：（1）第 I 区域定态薛定谔方程：， （ ） ，122()()0dxmEx2x第 II 区域定态薛定谔方程：， （ 和 ） ；22()()Udxa2边界条件： ， 。1a)1()()（2）无限深势阱中粒子的能量表述式为 ，最低能量值 ，显然2nEma21Ema与 的平方成反比，粒子的自由范围越大，最低能量值越低，应该说粒子在相同宽度的有a限深势阱比在无限深势阱中的自由范围大一些，所以粒子在有限深势阱中的最低能量值低一些。22-6在钠光谱中，主线系的第一条谱线（钠黄线）是由 之间的电子跃迁产生的，3sp它由两条谱线组成，波长分别为 和 。试用电子自旋来1589.63A2589.30A解释产生双线的原因。答：Na 光谱双线产生的原因是比电相互作用小的磁相互作用的结果，是自旋轨道相互作用能，是一个小量。即电子轨道运动产生的磁场和电子自旋磁矩的作用，使原子的能级发生改变，其中电子自旋磁矩 ，在 Z 方向投影有两条，所以 Na 光谱产生了双线。Smes
