1、- 1 -递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也 求递推数列通项公式的常用方法往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为中学中所研究的等差或等比数列，下面就求递推数列通向公式的常用方法举例一二，供参考：一 公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有，等差数列或等比数列的通项公式。1nnaS(2)例一 已知无穷数列 的前 项和为 ，并且 ，求 的通nanS*1()naSNna项公式？【解析】： ， ， ，又 ，1nn
2、S11nnn12nn12.2na反思：利用相关数列 与 的关系： , 与提设条件，naS1aS1nn(2)建立递推关系，是本题求解的关键.跟踪训练 1.已知数列 的前 项和 ，满足关系 .试证数列nn1lgnS(,)是等比数列.na二 归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.例二 已知数列 中， ， ，求数列 的通项公式.na112()nana【解析】： ， ， ，1()213217猜测 ，再用数学归纳法证明.（略）2na*()N反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性.跟踪训练
3、2.设 是正数组成的数列，其前 项和为 ，并且对于所有自然数 ，n nnSn与 1 的等差中项等于 与 1 的等比中项，求数列 的通项公式.naSa三 累加法：利用 求通项公式的方法称为累加法。累加21()()nnaa- 2 -法是求型如 的递推数列通项公式的基本方法（ 可求前 项和）.1()naf ()fn例三 已知无穷数列 的的通项公式是 ，若数列 满足 ，na12nanb1，求数列 的通项公式.(1)nnb【解析】： , , =1+ +112nn(1)1211()()nnbb2+= .12n1n反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为 .1()naf跟踪训练 3.已知 , ,求数
4、列 通项公式.12a12nna*()Nn四 累乘法:利用恒等式 求通项公式的方法称为累乘法,3121(0,2)nn累乘法是求型如: 的递推数列通项公式的基本方法(数列 可求前 项积).1)nnag ()gn例四 已知 , ,求数列 通项公式.1)a*)Nna【解析】： , ,又有1(nna1=3211(0,2)nna1 = ,当 时 ，满足 ， .-1anna反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为 .1()g跟踪训练 4.已知数列 满足 , .则n11231(2)n n的通项公式是.na五 构造新数列: 将递推公式 （ 为常数， ， ）通过n+1aqd,0qd与原递推公式恒等变成
5、的方法叫构造新1()()nnaxq1()1nna- 3 -数列.例五 已知数列 中, , ,求 的通项公式.na112()nana【解析】:利用 ,求得 , 是首项为()()xx1n1,公比为 2 的等比数列,即 ,1a 2n反思:.构造新数列的实质是通过 来构造一个我们所熟知的等差或1()()nnaxq等比数列.跟踪训练 5.已知数列 中, , 求数列 的通项公式.11n-3n(2)na六 倒数变换：将递推数列 ,取倒数变成 的1ncad0,1nndc形式的方法叫倒数变换.例六 已知数列 中, , ,求数列 的通项公式.na*()N1a12nnana【解析】:将 取倒数得 : , , 是以1
6、2nn1nn12n1n为首项,公差为 2 的等差数列. , .1a2()naa反思:倒数变换有两个要点需要注意:一是取倒数.二是一定要注意新数列的首项,公差或公比变化了.跟踪训练 6.已知数列 中, , ,求数列 的通项公式.na12nnana小结:求递推数列的通项公式的方法很多,以上只是提供了几种常见的方法,如果我们想在求递推数列中游刃有余,需要在平时的练习中多观察,多思考,还要不断的总结经验甚至教训.参考答案:1. 证明：由已知可得： ，当 时 ， 时，n10S2n1190nnnaS满足上式. 的通项公式 , 时 为常数,所以19aSna190nn21na为等比数列.n2. 解:由已知可求 , , ,猜测 .(用数学归纳法证明).1a235a2n- 4 -3. 由已知 , =12nna121321()()()naaa 2.213n4. 时, ,n1231()n naaa121()naa 作差得: , , , , ,1nn13241n, , , .2345na2a!n()!2na5. 6. 1n1n
