1、2018 届甘肃省兰州市高三第二次实战考试理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 2|40Ax，则 RCA（ ） A |x或 B |2x或 x C |2x D |2x 2. 已知在复平面内，复数 z对应的点是 (1,)Z ，则复数 z的共轭复数 z（ ）A 2i B i C 1i D i 3. 等比数列 na中各项均为正数， nS是其前 项和，满足 212483,6Sa，则 4S （ ）A 9 B 15 C 8 D 30 4. 在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，
2、若曲线 C的方程为 20(,)xyxy，则落入阴影部分的点的个数的估计为（ ）A 50 B 67 C 50 D 78545. 已知非零单位 ,ab向量满足 ba，则 与 ba的夹角为（ ）A 6 B 3 C 4 D 36. 已知点 (1,0),为双曲线21(0,)xyab的左右焦点，点 M在双曲线上， AB为等腰三角形，且顶角为 02 ，则该双曲线的方程为（ ）A214yxB 1xy C213yxD21yx7.在平面直角坐标系 O中，抛物线 26的焦点为 F，准线为 ,lP为抛物线上一点， ,PAl为垂足，若直线 F的斜率 3k，则线段 P的长为 （ ）A 4 B 5 C 6 D 7 8. 秦
3、九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的九章算术中提出多项式求值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，依次输入 a的的值为 2,5，则输出的x（ ）A 7 B 12 C 7 D 34 9. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A 23 B 4 C 23 D 4 10. 设 nN ，则 221nn （ ）A 3n B 13 C 13n D 23n11.已知函数 sicoxf，如果 0时，函数 fx的图象恒过在直线 ykx的下方，则 k的取值范围是 （ ）A 13, B 1,) C 3,) D 3,12. 已知 fx是定义在 R上的可导函数，若在
4、R上 fxf有恒成立，且 31(fe为自然对数的底数） ，则下列结论正确的是（ ）A 01f B 01f C 62fe D 62fe 第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知变量 ,xy具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若 y关于 x的回归方程为 1.3yx，则 m 14.若变量 ,满足约束条件243xy，则目标函数 2zyx的最大值是 15. 261()x的展开式中，常数项的值为 （用数字作答）16.已知数列 na满足 12,3a，若 11123(2,)nnnaaN，则数列 na的通项n三、解答题 （本大题共 6 小题，共 7
5、0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （一）必做题17. 已知向量 (sin,3cos),(s,co)axbx，函数 32fxab.（1）求函数 yf的图象对称轴的方程；（2）求函数 x在 0,2上的最大值和最小值.18. 如图所示，四边形 ABCD是边长为 a的菱形， 06,BADE平面 ,ABCDF平面 ABC，3EBFa.（1）求证： （2）求直线 与平面 ABF所成角的正弦值.19.某智能共享单车备有 ,AB两种车型，采用分段计费的方式营用 A型单车每 30分钟收费 .5元（不足30分钟的部分按 30分钟计算） ， 型单车每 30分钟收费 1元（不足 分钟的部分按 分钟计
6、算） ，现有甲乙丙三人，分别相互独立第到租车点租车骑行（各租一车一次） ，设甲乙丙不超过 30分钟还车的概率分别为 321,4，并且三个人每人租车都不会超过 60分钟，甲乙均租用 A型单车，丙租用 B型单车.（1）求甲乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；（2）设甲乙丙三人所付费用之和为随机变量 ，求 的分布列和数学期望.20. 已知 12,F为椭圆2:1(0)xyEab的左右焦点，点 3(1,)2P在椭圆上，且 124PF.（1）求椭圆 的方程；（2）过 1的直线 12,l分别交椭圆 于 ,AC和 ,BD，且 12l，问是否存在常数 ，使得,ACBD等差数列？若存在，求出的值，若不存在
7、，请说明理由.21.已知函数 lnmxf，曲线 yfx在点 2(,)ef处的切线与直线 20xy垂直（其中 e为自然对数的底数）（1）求 fx的解析式及单调递减区间；（2）若存在 ,)e，使函数 21lnlnaegxaexxfa成立，求实数 a的取值范围.22.已知直线 l的极坐标方程是 si()03，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线 C的参数方程是 2cos(inxy为参数）.（1）求直线 l被曲线 截得的弦长；（2）从极点作曲线 的弦，求各位中点轨迹的极坐标方程.23.设函数 21fxxa.（1）当 a时，求 yf的图象与直线 3y围成的区域的面
8、积；（2）若 fx的最小值为 ，求 的值.试卷答案一、选择题1-5: ADBDD 6-10: BCCAA 11、B 12：C二、填空题13. 3.1 14. 14 15. 15 16. 12n三、解答题17.解：（1）由已知 2333sincossi(1cos2)fxxxx3sin2coi(2)3x，对称轴的方程为 k，即 5,21kxZ.（2）因为 0,2x，则 2,3x，所以 3sin(2),12x，所以 maxmin1,ff.18.（1）证明：连接 BD，交 AC于 M，由菱形性质，有 ACBD，又 E平面 ,平面 ，所以 E；所以 AC平面 FE，而 平面 BF，所以 F.（2）以 M
9、为原点， 为 x轴， 为 y轴，过 且垂直于平面 ，方向向上的直线为 z轴，建立空间直角坐标系，则 333(,0)(,)(,0)(,3),(0,)2222aaaABCEF，(,)(,)AF，则 (,)nxyz，则3100232axynBaz，令 1x的平面 ABF的一个法向量 (1,32)n，设直线 CE与平面 AF所成的角为 ，因为 3(,)2a，所以 36sinco,8nCE.19.解：（1）由题意，甲乙丙在 30分钟以上且不超过 60分钟还车的概率分别为 1,432，设“甲乙两人所付费用之和等于丙所付费用”为事件 A,则 3217()424PA；（2）随机变量 所有可能取值有 ,.53,
10、，则 1215()()343P，217,.42424P，()所以甲乙丙三人所付费用之和的分别为所以 15751672.3.44242E 20.解：（1）因为 1PF，所以 a，椭圆的方程为214xyb，将 3(,)2代入可得 23b，所以椭圆的方程为214xyb；（2）若 AC的斜率为零或不存在，易知 1732ACBD,存在满足条件的 724，使 ,成等差数列；若 AC的斜率为 (0)k，设 AC的方程为 (1)ykx，代入方程214xyb，化简得 22(348410xk，设 12,),)yB，则有221218,3434kkxx，于是2222111()()ACk k，同理，由于直线 BD的斜率
11、为 k，2(43kBD，同理，由于直线 的斜率为 1，2(1)k，所以2213437()()kACBD，总之，存在满足条件 712，使得 1,ACBD成等差数列.21.解：（1）因为 ln0,x，所以 2(ln1)(0,),mxxf，所以 2124mfe，所以 2lnf，此时 2(l)fx，由 0fx得 1x或 e，所以函数 的单调递减区间为 0,1和 ,；（2） 2 21lnlnln()agxaexxfaexaex，若存在 ,)，使函数 2()g成立，只需 ,)时，minx，因为2()()()aexaexaegx，若 ，则 0在 ,时恒成立，所以 g在 ,)上单调递增， 22min1()eg
12、xeae，所以2ea，又 a，则 x在 ,)上单调递减，在 (,)上单调递增，所以 g在 ,e上的最小值为 mingxa，又 2a，而 ae，所以一定满足条件，综上，实数 的取值范围是2,).22.解：（1）由题意可知，直线 l的直角坐标方程是 3yx，曲线 C的普通方程是 22()4xy，其圆心到直线 l的距离是 13d，所求的弦长是 213.（2）从极点作曲线 的弦，弦的中点的轨迹 C的参数方程为 cos(inxy为参数）且 30,)(,2)，其普通方程为 22(1)(0)xy，极坐标方程 2sin0，化简得 sin.23.解：（1）当 1a时3,1212,xfxx，yfx的图象与直线 3y围成区域的面积为 13()22；（2）当 12a，即 时，min3,11, ()122xfaafxfa，所以 32a，当 12a，即 时，min3,11()3122,xaf fxfax，所以 12a，所以 32a或 1.
