1、2018 届河北省衡水中学高三第十次模拟考试数学（理）试题（解析版）一、选择题（每小题 5 分，共 60 分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 设集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】A=x|y=log 2（2x）=x|x2，B=x|x23x+20= x|1 x2，则 AB=x|x1，故选：B 2. 在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ，则在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】设 z=x+yi ，在复平面内对应的点位于第四象限故选：D3. 已知 中， ， ，
2、则 的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， 化为 可得：B 为锐角，C 为钝角 =- = = =，当且仅当 tanB= 时取等号tanA 的最大值是故选 A点睛：本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式、基本不等式的性质，属于综合题是三角和不等式的结合.4. 设 ，为 的展开式的第一项（为自然对数的底数） ， ，若任取，则满足 的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意，s= ，m= =e，则 A=（x，y）|0xm， 0y1= （x，y）|0xe ，0y1，画出 A=（x，y）|0xe，0y1表示的平面区域，任取（a，b） A，则满足 ab1 的
3、平面区域为图中阴影部分，如图所示：计算阴影部分的面积为S 阴影 = =（xlnx） =e1lne+ln1=e2所求的概率为 P= ，故选：C 5. 函数 的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数 y= 是偶函数，排除 B当 x=10 时， y=1000，对应点在 x 轴上方，排除 A，当 x0 时，y=x 3lgx，y=3x2lgx+x2lge，可知 x= 是函数的一个极值点，排除 C故选：D6. 已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 ，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】该几何体是一个棱锥与四分之一的圆锥的组合体，其表
4、面积为， ，所以，故选 D7. 已知 ， ， ，则， ，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题易知： ，故选：A点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值 的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小.8. 执行如下程序框图，则输出结果为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得：则输出的 S=.故选：C9. 如图，设椭圆 ： 的右顶点为 ，右焦点为 ， 为椭圆在
5、第二象限上的点，直线 交椭圆 于点 ，若直线 平分线段 于 ，则椭圆 的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图，设 AC 中点为 M，连接 OM，则 OM 为ABC 的中位线，于是OFM AFB，且 ，即 = 可得 e= 故答案为： 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a，b，c 的方程或不等式，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10. 设函数 为定义域为 的奇函数，且 ，当 时， ，则函数在区间 上的所有零点的和为（ ）A
6、. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意，函数 ， ，则 ，可得 ，即函数的周期为 4，且 的图象关于直线 对称 在区间 上的零点，即方程的零点，分别画 与 的函数图象， 两个函数的图象都关于直线 对称， 方程 的零点关于直线 对称，由图象可知交点个数为 6 个，可得所有零点的和为 6，故选 A点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等11. 已知函数 ，其中 为函数 的导数，求 （ ）A. B. C
7、. D. 【答案】A【解析】由题意易得：函数 的图象关于点 中心对称，由 可得 为奇函数， 的导函数为偶函数，即 为偶函数，其图象关于 y 轴对称， 故选：A12. 已知直线： ，若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于 ，则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程： ； ； ； .其中直线的“绝对曲线”的条数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 y=ax+1a=a（x1）+1，可知直线 l 过点 A（1，1）对于，y=2|x1|，图象是顶点为（ 1，0）的倒 V 型，而直线 l 过顶点 A（1，1） 所以直线 l 不会与
8、曲线 y=2|x1|有两个交点，不是直线 l 的“ 绝对曲线” ；对于， （x1）2+（y1）2=1 是以 A 为圆心，半径为 1 的圆，所以直线 l 与圆总有两个交点，且距离为直径 2，所以存在 a=2，使得圆（x 1）2+（y1）2=1与直线 l 有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于 |a|所以圆（x1） 2+（y1）2=1 是直线 l 的“ 绝对曲线”；对于，将 y=ax+1a 代入 x2+3y2=4，得（3a 2+1）x2+6a（1a）x+3（1a）24=0x1+x2= , x1x2= 若直线 l 被椭圆截得的线段长度是|a|，则化简得 令 f（a）= f（1）
9、，f（3） 所以函数 f（a）在（1，3）上存在零点，即方程 有根而直线过椭圆上的定点（1，1） ，当 a（1，3）时满足直线与椭圆相交故曲线 x2+3y2=4 是直线的“ 绝对曲线”对于将 y=ax+1a 代入 .把直线 y=ax+1-a 代入 y2=4x 得 a2x2+（2a-2a2-4）x+（1-a）2=0，x 1+x2= ，x1x2= 若直线 l 被椭圆截得的弦长是 |a|，则 a2=（1+a2）（x1+x2）2-4x1x2=（1+a2）化为 a6-16a2+16a-16=0，令 f（a）=a6-16a2+16a-16，而 f（1）=-150函数 f（a）在区间（1，2）内有零点，即方
10、程 f（a）=0 有实数根，当 a（1， 2）时，直线满足条件，即此函数的图象是“绝对曲线” 综上可知：能满足题意的曲线有故选：C点睛：本题以新定义“绝对曲线”为背景，重点考查了二次曲线弦长的度量问题，本题综合性较强，需要函数的零点存在定理作出判断.二、填空题：（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13. 已知实数 ， 满足 ，且 ，则实数 的取值范围_【答案】【解析】如图，作出可行域：，表示可行域上的动点与定点 连线的斜率，显然最大值为 ，最小值为故答案为：点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可
11、行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14. 双曲线 的左右焦点分别为 、 ， 是双曲线右支上一点，为 的内心， 交 轴于 点，若 ，且 ，则双曲线的离心率的值为 _【答案】【解析】可设|PF 1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，由 I 为 PF 1F2 的内心，可得=2，则|QF 1|= m，若|F 1Q|=|PF2|= m，又 PQ 为F 1PF2 的角平分线，可得 ，则 n=4cm，又 mn=2a，n= m，解得 m=4a，n=2a，=2，即 c= a，
12、则 e= 故答案为： 15. 若平面向量 ， 满足 ，则 在 方向上投影的最大值是_【答案】【解析】由 可得：在 方向上投影为故最大值为：16. 观察下列各式：；若 按上述规律展开后，发现等式右边含有 “ ”这个数，则 的值为_【答案】【解析】由题意可得第 n 个式子的左边是 n3，右边是 n 个连续奇数的和，设第 n 个式子的第一个数为 an，则有 a2a1=31=2，a3a2=73=4，anan1=2（n1），以上（n1）个式子相加可得 ana1= ，故 an=n2n+1，可得 a45=1981，a46=2071，故可知 2017 在第 45 个式子，故答案为：45三、解答题：（本大题共
13、6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721 为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答） 17. 已知等差数列 中，公差 ， ，且 ， ， 成等比数列.（1）求数列 的通项公式；（2）若 为数列 的前 项和，且存在 ，使得 成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）由题意可得 解得 即可求得通项公式；(2),裂项相消求和 ，因为存在 ，使得 成立，所以存在 ，使得 成立，即存在 ，使得 成立.求出 的最大值即可解得的取值范围.试题解析：（1）由题意可得 即又因为 ，所以 所以 .（2）因为 ，所以
