1、上饶市 2018 届第一次高考模拟考试高三数学(理科)试题卷第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的值可以是( )A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】 即 ，则 ,故选 D.点睛: 集合的三要素是：确定性、互异性和无序性 .研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与
2、集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.2. 已知复数满足 ，则 ( )A. 1 B. C. D. 【答案】A【解析】 ,则 ,故选 A.3. 如图，在边长为 1 的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】设正方形的面积为 ,正方形内阴影部分以外的面积为 ,则所求概率为 1-= ,故选 C.点睛: (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有
3、时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率4. 在等差数列 中，若 ，则 ( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 1【答案】A【解析】设等差数列公差为 d, =12,即 =4, 则 = ,故选 A.5. 将函数 的图像上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2 倍长度，再向右平移 个单位长度，所得到的图像解析式是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数 的图像上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2 倍长度，得 , 再向
4、右平移 个单位长度，所得到的图像解析式是 ，故选 B.点睛: 图象变换的两种方法的区别 :由 的图象，利用图象变换作函数的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿 x 轴的伸缩量的区别先平移变换再周期变换(伸缩变换 )，平移的量是| |个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是 个单位6. 某三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为( )A. 10 B. 20 C. 30 D. 60【答案】A【解析】由三视图可知对应的几何体 P-ABC 如图所示, ,故选 A.点睛: 三视图问题的常见类型及解题策略:(1)由几何体的直观图求三视图注意正视图、侧视图和俯视图的
5、观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合(3)由几何体的三视图还原几何体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图7. 已知 为不等式组 所确定平面区域上的动点，若点 ， ，则 的最大值为( )A. 1 B. 2 C. 10 D. 11【答案】D【解析】不等式组所表示的可行域如图所示,目标函数 =2x+y 即 y=-2x+z 是斜率为
6、-2 的平行直线系,由图可知当直线经过点 A(4,3)时纵截距 z 最大,代入可得 ,故选 D.点睛: 应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值 .8. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】C【解析】由 S=0,n=1,第一次循环:S=0+ ,n=2;第二次循环 :S= + = ,n=3;第三次循环:S= += ,n=4;
7、 第四次循环:S= + = ,n=5; 第五次循环 :S= + = , n=6;第六次循环:S=+ = ,n=7; 第七次循环:S= + = ,n=8;符合题意输出 n=8,故选 C.9. 函数 的大致图像为 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数 是由函数 向左平移一个单位得到, 是奇函数,排除 A,C 选项,又时,y0, 排除 C,故选 D.10. 中国明代数学家程大位的著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后
8、到达目的地.”则该人第四天比第六天多走了( )A. 24 里 B. 18 里 C. 12 里 D. 6 里【答案】B【解析】根据题意,设此人每天所走的路程为 ,其首项为 ,即此人第一天走的路程为 ,又从第二天起每天走的路程为前一天的一半，则 是以 为首项, 为公比的等比数列,又 ,解得 ,则,故选 B.11. 正方体 中，若 外接圆半径为 ，则该正方体外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】设正方体 棱长为，内切球的半径为 ,则 ，故选： D.【点睛】本题主要考查正方体的内切球、球的表面积公式等知识，涉及数形结合思想和转化与化归思想，并考查空间想象能力、运算求解能力和逻
9、辑推理能力，属于中档题型.解决本题的关键是分析题目中内切球与正方体的关系求得 ，从而求得正确答案为 C.12. 已知点 是抛物线 上的一点，若以其焦点 为圆心，以 为半径的圆交抛物线的准线于 、两点，若 且满足 ，当 的面积为 时，则实数 的值为( )A. 4 B. C. D. 【答案】B【解析】由 ,移项得 - ,化简为 ,即,可得 , ,又由图知 ,则在中, ,设 A 到 BC 的距离为 d,则 , ,解得 p= ,故选 B.点睛:本题考查圆锥曲线和三角函数的综合问题 ,属于中难档题目.首先根据题中给出角的等式,利用二倍角公式和诱导公式,结合因式分解求出角的值,再根据三角形的面积公式,结合
10、抛物线的定义以及圆的定义,将三角形的底和高都用抛物线方程中的 p 和角来表示,列出三角形 ABC 的面积,求出 p 的值.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量， 的夹角为 ， ， ，则 _.【答案】2【解析】 ,故填 2.14. 若 的展开式中的常数项为 ，则 的最小值为_.【答案】4【解析】二项式 的通项公式为 , r=3 时, 常数项为 ,解得 ab=2, 则 ,即 的最小值为 4,当且仅当 a=b= 或 a=b=- 取等号,故填 4.15. 已知 、 是双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线 上， 轴，则双曲线 的离心率为_.【答案】【解析】点 在双
11、曲线 上， 轴，设 ,又在 中, , ,则 ,即,等式两边同除以 ac 得, ,解得 或 (舍),故填 .16. 设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】函数 存在唯一的整数 ，使得 ，设与 ,即存在唯一的整数 ，使得 在直线下方, ,当 时 ,当 时 ,在 上单调递减,在 上单调递增,所以当 时, 取到最小值 ,且g(0)=1;直线 恒过点(1,0),斜率为 ,由图知当 时不合题意,故 ,若要存在唯一的整数 ，使得 在直线 下方, 则 ,即 ,代入得,解得 ,故填 . . . . . . .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出
12、文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，内角 所对的边分别是 ，已知 ， .(1)求 的值；(2)若 的面积为 3，求的值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析: （1）由 和余弦定理得出边 a,b,c 的关系,结合 ,得出 a,b 都用 c 表示,代入 ,可求出角 C,进而得出 sinC;(2)根据三角形的面积公式 求 c,又得出答案 .试题解析:（1） ， 由余弦定理可得： ，又 ，可得 .，可得 .， .2） ，解得 ，.18. 2013 年秋天中国国家主席习近平提出“一带一路”战略构想的重大倡议，时隔四年，2017 年秋天中国共产党第十九次全国代表大会通过了中国共产
13、党章程(修正案)的决议，将推进“一带一路”建设写入党章，这充分体现了在中国共产党领导下，中国高度重视“一带一路”建设、坚定推进“一带一路”国际合作的决心和信心.某市为了了解人们对这一复兴中国梦的伟大战略举措的认识程度，对不同年龄的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分 100 分，现将所有参赛者按分数分成 5 组(第一组： ，第二组：，第三组： ，第四组： ，第五组： )，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求实数 的值，并求所有参赛者分数的中位数；(2)若从分数在 ， 的参赛者中按分层抽样选取 6 人.求选取的 6 人中，分数分别在 ， 上的人数；再从选取的 6 人中随机挑选 2 人到省里培
14、训，记选中的 2 人中得分在 的人数为 ，求随机变量的分布列及数学期望.【答案】 （1） ，中位数为 86；（2）见解析.【解析】试题分析: （1）由频率分布直方图求出 m 值, 设中位数 ,令面积和为 ,求出 x 值;(2) 根据频率分布直方图和统计表可知道按分层抽样选取 人, 的人数为 4 人, 的人数为 2 人;根据超几何分布求出概率,列出分布列求出期望.试题解析:（1）由直方图知： ,设中位数 ,则 ，故 （2）根据频率分布直方图和统计表可知道按分层抽样选取 人的人数为 4 人， 的人数为 2 人， 的所有可能取值为 0、1、2的分布列为19. 如图，底面 是边长为 3 的正方形， 平
15、面 ， ， ， 与平面 所成的角为 .(1)求证：平面 平面 ；(2)求二面角 的余弦值.【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】试题分析: （1） 平面 ， 平面 , ,又 证出线面垂直平面 ,再根据面面垂直的判定定理证出结论;(2) 以 为坐标原点， 所在直线分别为轴建立如图空间直角坐标系 ，根据线面角大小求出侧棱长,写出各点坐标,进而求出平面 和平面 的法向量,由二面角公式代入求值即可.试题解析:（1） 平面 ， 平面 .又 底面 是正方形，平面 ,又 平面 , 平面 平面 ；（2）以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图空间直角坐标系 ，与平面 所成的角为 ，, . 设平面 的一
16、个法向量为 则 令，则 .又 平面 ， 为平面 的一个法向量.二面角 为锐角， 二面角 的余弦值为 .20. 已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上.(1)求椭圆 的方程；(2)经过椭圆 的右焦点 的直线与椭圆 交于 、 两点， 、 分别为椭圆 的左、右顶点，记 与的面积分别为 和 ，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2 ） .【解析】试题分析: （1）由离心率的值以及点 P 坐标求出椭圆方程;(2) 当直线无斜率时,直线方程为 ,不合题意; 当直线斜率存在（显然 ）时,设直线方程为 ,设 ,联立直线和椭圆方程,消去 y 得出关于 x 的一元二次方程,将韦达定理代入 ,再根据基本不等式求出最值.试题解析:（1）因为 ，过点 , 所以 . 所以椭圆方程为（2）当直线无斜率时,直线方程为 ,此时 , 面积相等， 当直线斜率存在（显然 ）时,设直线方程为 ,设和椭圆方程联立得到 ,消掉 得显然 ，方程有根，且
