1、基于非线性扩散方程的图像 平滑与锐化,Dai Fang , Zheng Nanning , Xue Jianru,概要 研究背景 图像平滑与锐化模型 3.1 模型描述 3.2 与其他模型之间的关系 3.3 阀值函数的求解 3.4 模型的实现 实验结果与分析 结论,概要为了使图像平滑并且锐化其边缘特征，本论文提出了一种非线性扩散的模型来进行图像的平滑和锐化的问题。该模型包含两个个关键之处：一个是平滑并保留边缘，另一个则是锐化。平滑并保持边缘的目的是为了平滑图像的灰度平坦的区域而并不平滑图像的边缘。锐化则是为了增强图像的边缘。,研究背景 非线性扩散方程是一个图像处理技术中非常有用的工具 Peron
2、a和Malik首次将各向异性扩散方程用于图像平滑并提出了著名的P-M模型。 P-M模型可以平滑图像并良好地保持边缘特性，但是对于孤立噪声的去除效果却不太令人满意 Catte改进了P-M模型并由此提出了选择性平滑模型，但他没有给出对他的模型的清楚的几何上的解释 Luo et al. 通过两个各向异性扩散方程展示了一种图像选择性的平滑模型 Gilboa et al.使用了复扩散方程来滤波图像，当一个扩散系数来近似真实的坐标，虚部可以作为一个边缘探测器 等曲率移动（Mean Curvature Motion)方程也可以被用于图像平滑处理，但个模型在消除噪声方面存在这硬伤，例如会导致边缘扭曲,图像平滑
3、和锐化模型模型描述u(x,y,t)描述了在t时刻的图像，t是一个人为设定的时间参数。 即指原始图像。非线性扩散模型即如下所示：curv是曲率， 函数g和h被称为扩散系数，它们分别用于控制平滑和锐化的程度。T(u)是图像动态阀值函数，由一个偏微分方程所决定。,图像平滑和锐化模型模型描述该模型以由2个部分组成：第一个部分是曲率流项，该项的系数是变化的；另外一个是带有变化系数的负拉普拉斯项。曲率流项的主要作用是平滑图像，和中值滤波器的作用相似。负拉普拉斯项则是用于增强图像，它可以把图像的边缘突出出来。因此该模型可以实现对图像的平滑和锐化。模型中扩散系数g和h的选择：g为一个对第一个变量单调递减，而对
4、第二个变量单调递增的函数。相反地，h则选择一个对第一个变量单调递增，而对第二个变量单调递减的函数式中c,a,k,p,q是大于零的常量,图像平滑和锐化模型模型描述当 时(x,y)是图像中灰度变化剧烈的位置，这时 减小而 增大，带来的就是图像的平滑被弱化了，锐化被强化了。这样我们我们就可以在梯度较小的区域进行平滑，在梯度较大的区域进行锐化。,与其他模型之间的关系MCM模型该模型可以通过提高t的值来对图像滤波，随着t的增大，图像的细节将会变得越来越少并且边缘会被良好地保留下来。 MCM方程和中值滤波器有一个很相近的关系，令Med指的是取中值， 是一个圆盘区域， 是中心，h是半径，参考文献7，有显然，
5、在 和穿过 的等高线的曲率之间存在很强的关联。 在模型（1）中，我们保持了MCM方程（2），并加入了一个扩散系数g来控制对图像滤波的强度。这就意味着对于梯度较小的区域的滤波较强，而对于梯度较大的区域的滤波较弱。这样使用模型（1）就可以做到对平坦区域进行平滑并对图像边缘进行保留。,与其他模型之间的关系模型(1)与逆热扩散方程逆热传导扩散方程可以描述如下：该方程可以被用于图像的锐化。逆热传导方程通过滤波来增强 图像边缘并恢复模糊的边缘。我们借鉴了上述方程的优点并将其融入 到模型（1）中来达到对图像锐化的目的。图像锐化的程度则是由h来 进行控制的。,与其他模型之间的关系模型(1)和退化扩散模型退化扩
6、散模型可以描述如下：是以 为参数的高斯滤波器，并且 是平滑的非递减函数。模型(1)和退化型扩散模型(4)之间的区别在于模型(1)中使用不同的扩散系数函数g和h。而且，g和h是同时依赖于梯度和图像动态阀值函数的，这一重要的性质使得模型(1)平滑与锐化效果兼备。,阀值函数的求解u(x,y)是所给的图像，G(x,y)是规一化的u(x,y)的梯度模函数集合c=(x,y)|u(x,y)=T(x,y)，L(x,y)是标记图像,阀值函数的求解F(T)是一个一阶的泛函，如果(x,y) c，F(T)=-G(x,y)，那么T(x,y)就满足以下的珀松方程这里的 是一个参数,过度松弛迭代法来解方程（5），进而得到阀
7、值表面T（u）,模型的实现模型（1）可以被离散化为如下公式：也即，,模型的实现上式中 使用了参考文献中9的介绍的差分形式来描述如下：然后，通过参考文献9的差分的方法来获得稳定的数值解。,实验结果和分析,图1,实验结果和分析图1中(a)到(f)对应的实验结果。(a)是原始图像，(b)是使用通过5次迭代解出的MCM方程进行平滑后的图像，(c)是使用经5次迭代解出的逆热传导方程进行锐化后的图像。令g=1，h=1，并进行5次迭代，我们可以看到如(d)处理结果。 (e)是原始图像的另一个处理结果。该处理结果是通过令并进行5次迭代而得到的结果。在(f)中，令其中T(u)是自适应阀值函数，也是进行了5次迭代
8、。,实验结果和分析从图1中可以看到： 尽管MCM方程可以平滑图像，并在一定程度上保留图像的边缘，但却无法增强边缘。 逆热传导方程可以锐化图像，但该方程也同时也增强了平坦的区域，这对于检测并提取边缘是不利的。 当我们令模型（1）中的g=1，h=1的时候，对于上述2种方程的缺点都能有所改善，但是这样的改善并无法满足特征提取的要求。 实验结果(e)中，模型(1)中的阀值取单个固定值比起(f)中取动态阀值所获得的处理效果要差。 从实验结果可以看出，模型（1）在增强图像边缘并平滑区域方面是有效的，并且具有上述的所有优点。,实验结果和分析对上述图像进行轮廓提取，得到下面的图像从图中可以看出，用了模型（1）
9、进行平滑锐化后的图像的特征被突出了，这说明了模型（1）适用于特征提取和图像分割。,实验结果和分析对图1的处理结果使用Canny算子进行边缘检测得到如下的实验结果图3,实验结果和分析在图3(b)中，由于使用了MCM方程来进行图像的平滑，图像的一些边缘丢失了。在图3(c-e)中，均出现了一些额外的边缘信息。图3(f)表明了模型(1)不仅可以保留边缘信息，而且可以有效地对比较弱的边缘进行增强。,结论本文提出了一个基于对MCM方程和逆热传导扩散方程进行研究而得出的一个图像平滑锐化处理的模型。该模型不仅可以平滑图像的平坦区域，而且可以对图像的重要特征进行增强。实验结果正好验证了这一优点。在本文所选的模型
10、中，扩散系数的选取对与模型的演变结果具有直接的影响，扩散系数对图像的平滑和锐化的效果有明显的作用。所以，研究扩散系数的性质和选择合适的函数形式是一个重要的话题。,1 P. Perona, J. Malik, Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion, IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell. 12 (7) (1990) 629639. 2 F. Catte, P. Lions, J. Morel, Image selective smoothing and edge detec
11、tion by nonlinear diffusion, SIAM J. Numer. Anal. 29 (1) (1992) 182193. 3 L. Alvarez, P. Lions, J. Morel, Image selective smoothing and edge detection by nonlinear diffusion II, SIAM J. Numer. Anal. 29 (3) (1992) 845866. 4 H. Luo, L. Zhu, H. Ding, Coupled anisotropic diffusion for image selective sm
12、oothing, Signal Processing 86 (7) (2006) 17281736.,参考文献：,5 G. Gilboa, N.A. Sochen, Y.Y. Zeevi, Image enhancement and denoising by complex diffusion processes, IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell. 26 (8) (2004) 10201036. 6 L.C. Evans, J. Spruck, Motion of level sets by mean curvature, J. Diff. G
13、eometry 33 (1991) 535581. 7 V. Caselles, J.M. Morel, C. Sbert, An axiomatic approach to image interpolation, IEEE Trans. Image Process. 7 (3) (1998) 376386. 8 Francis H.Y. Chan, F.K. Lam, Hui Zhu, Adaptive thresholding by variational method, IEEE Trans. Image Process. 7 (3) (1998) 468473. 9 Zhang Dan, Chen Gang, Image processing based on partial differential equation, Higher Education Press, Beijing, 2004 Chapter 6, pp. 87119.,参考文献：,
