1、2018 届广西梧州市高三 3 月适应性测试（二模）数学理试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 中元素的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】由题意得： ，又 中元素的个数为 3 个故选：C2. 设复数满足 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， ，则 ，故选 A.3. 若 6 名男生和 9 名女生身高（单位： ）的茎叶图如图，则男生的平均身高与女生身高的中位数分别为（ ）A. 181 166 B. 181 168C. 180
2、166 D. 180 168【答案】B【解析】6 名男生的平均身高为 ，9 名女生身高依高低排列为：162,163,166,167,168,170,176,184,185故中位数为 168.故选：B4. 设等差数列 的前 10 项和为 20，且 ，则 的公差为 （ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】等差数列 的前 10 项和为 ， ，又 ， ，公差，故选 B.5. 已知双曲线 的右顶点为 ，离心率为 ，过点 与点 的直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 ， 得 ，所以双曲线的渐近线方程为 ，由 得 ，所以双曲线
3、的方程为 ，故选 C.6. 将函数 的图像向右平移 个单位后，得到 的图像，则函数 的单调增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】A7. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为 1，则输出 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】执行程序：， ，判断符合；，判断符合；，判断符合；，判断符合；，判断不符合；输出故选：D8. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体为组合体，上方为圆锥，下方为正方体，所以表面积为： 故选：D点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图注意正视图、侧视图和俯视
4、图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合(3)由几何体的三视图还原几何体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图9. 在 中， ， ， ，若向量 满足 ，则 的最大值与最小值的和为（ ）A. 7 B. 8 C. 9 D. 10【答案】D【解析】由 ， ， 得 ，即 为直角，以 点为原点， 为 轴， 为 轴建立直角坐标系，则 ，
5、， ，设 的终点坐标为 ， ， ，故 的最大值与最小值分别为圆 上的点到原点距离的最大值和最小值，故最大值为，最小值为 ，即之和为 10，故选 D.点睛：本题主要考查了坐标法在向量中的应用，向量的几何意义，建立适当的坐标系可将题意转化为圆上的动点到圆外一定点距离的最大值和最小值，最大值为点到圆心的距离加上半径，最小值为点到圆心的距离减去半径.10. 设抛物线 的焦点为 ，准线为，过点 的直线与抛物线交于点 ，与 轴交于点 ，与交于点 ，点 在线段 上，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D11. 设函数 ，当 时， 的值域为 ，则 的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解
6、析】 则 ,则 在 上是减函数， 时， ，当 时，时， ， 时， ， 在 上是增函数，在 上是减函数，当 时，矛盾，当 时， ，即 ， 故选：C点睛：点睛：求函数在闭区间上的最值，可先求导函数，利用导函数确定极值点，当然作为填空题或选择题可不需要确定是极大值还是极小值，因此最值一定在极值点或区间的端点处取得，只要求得相应的函数值比较即得12. 已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， 平面 ， 是边长为 2 的等边三角形，若球 的体积为 ，则直线 与平面 所成角的正切值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由球体积 知球半径为 ，设 的外心为 ，由正弦定理 得 ，由 得 ，设 的中
7、点为 ，则 平面 ，连接 ，则 为直线与平面所成的角， ， ，故选 A.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中 ， 的系数为_ （用数字作答） 【答案】-70【解析】 的展开式的通项公式为 ，令 得 ，令 得 ，的展开式中， 的系数为 ,故答案为 .14. 已知 ，则 _【答案】【解析】 ， ，则 ，故答案为 .15. 已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 _【答案】【解析】由 ，得 ， ， ， ， ， 是首项为 4，公比为 2 的等比数列， ， ，当 时， ，故答案为 .16. 已知函数 是偶函数，且 时， ，若函数 有且只有 1 个零点，则实数
8、的取值范围是_【答案】【解析】显然 是 的一个零点， 时， ，得 ，令，则 ， 在 上为增函数， ，函数 在 上没有零点时， ；当 时， 时， ，过点 的切线的斜率为 2，由题意得 ，由偶函数知 时， ， ， ，故答案为 .三、解答题 （共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，角 的对边分别为 ，且 . （1）求角 的大小 ；（2）若 的面积为 ， 是钝角，求 的最小值.【答案】 （1） 或 . （2） . 【解析】试题分析：（1）由正弦定理将边化为角，结合两角和的正弦公式可得 ，故而可求出结果；（2）由三角形面积公式可得 ，将余弦定理和基本不等式相结合可得最
9、后结果.试题解析：（1）由已知得 ，由正弦定理得 ， ，又在 中， ， ， 或 . （2）由 ， 得 ，又 ， ，当且仅当 时取等号， 的最小值为 . 18. 某工厂生产的 10000 件产品的质量评分服从正态分布 . 现从中随机抽取了 50 件产品的评分情况，结果这 50 件产品的评分全部介于 80 分到 140 分之间.现将结果按如下方式分为 6 组，第一组 ，第二组 ， ，第六组 ，得到如下图所示的频率分布直方图. （1）试用样本估计该工厂产品评分的平均分（同一组中的数据用该区间的中间值作代表） ；（2）这 50 件产品中评分在 120 分（含 120 分）以上的产品中任意抽取 3 件，
10、该 3 件在全部产品中评分为前 13 名的件数记为 ，求 的分布列. 附：若 ，则 ， ， .【答案】 （1）107. （2）见解析.【解析】试题分析：（1）由所有条形面积之和为 1 可得 的频率，将每组的组中值和对应频率相乘，再相加即可得平均数；（2）根据正态分布的性质得前 13 名的成绩全部在 130 分以上，根据频率分布直方图可得 120 分以上 10 人，其中 130 分以上 4 人，根据超几何分布可得分布列.试题解析：（1）由频率分布直方图可知 的频率为. 所以估计该工厂产品的评分的平均分为. （2）由于 ，根据正态分布，因为 ，所以，即 ，所以前 13 名的成绩全部在 130 分以
11、上. 根据频率分布直方图这 50 件产品评分的分数在 130 分以上（包括 130 分）的有 件，而在 的产品共有 ，所以 的取值为 . 所以 ， ， . 所以 的分布列为点睛：本题主要考查了通过频率分布直方图求数字特征以及离散型随机变量的分布列，属于常规题；频率分布直方图的几何意义即每个条形的面积即为该组对应的频率，其平均数为每组的组中值和对应频率之积再相加，理解透彻超几何分布和二项分布的区别是解题的关键.19. 如图，三棱柱 中， 平面 ， ，点 是 中点. （1）求证： ；（2）若 ， ， ，求二面角 的余弦值.【答案】 （1）见解析. （2） . 【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形
12、易得 ，由线面垂直可得 ，由线面垂直判定定理可得 平面 ，故而可得结论；（2）以 ， 为 轴建立如图所示空间直角坐标系，分别求出面 的一个法向量 ，面 的一个法向量 ，求出向量夹角即可得结论.试题解析：（1）证明： ， 是 中点， ， 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，又 平面 ， ， ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， . （2）解：取 中点 ，连 ，以 ， 为 轴建立如图所示空间直角坐标系 ，由 ， ， ，知 ， ， ， ，又 ， ， ， ， ， ，设平面 的一个法向量为 ，则 ，取 得 ，同理，得平面 的一个法向量 ， ，二面角 的余弦值为 . 点睛：本题主要考查了线线垂直的判定以及空间
13、向量在立体几何中的应用之面面角的求法，属于基础题；主要通过线线垂直 线面垂直 线线垂直，平面法向量所成的角与二面角之间相等或互补，解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误.20. 已知 ， ，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，且 . （1）求点 的轨迹 的方程；（2）设 ， ，连接 并延长，与轨迹 交于另一点 ，点 是 中点， 是坐标原点，记 与的面积之和为 ，求 的最大值.【答案】 （1） . （2） . 【解析】试题分析：（1）设 ，利用 求得点 的轨迹 的方程；（2）由 ， 分别为 ， ， 的中点，故 ，故 与 同底等高，故 ， ，对斜率分类讨论，联立方程巧用维
14、达表示面积即可.试题解析：（1）设 ， ， ， ， ，又 ， ， ，轨迹 的方程为 （注： 或 ，如不注明扣一分）. （2）由 ， 分别为 ， ， 的中点，故 ，故 与 同底等高，故 ， ，当直线 的斜率不存在时，其方程为 ，此时 ；当直线 的斜率存在时，设其方程为： ，设 ， ，显然直线 不与 轴重合，即 ；联立 ，解得 ，故 ，故 ，点 到直线 的距离 ，令 ，故 ，故 的最大值为 . 点睛：点睛：在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.
