1、2018 届广东省高三第一次模拟考试数学（理）试题一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 2|1,|1AxBx，则 AB（ ）A |x B |0 C |1x D |02x2.设复数 4zaiR，且 2iz为纯虚数，则 a （ ）A-1 B 1 C 2 D-23. 下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为 1，靶中各图的半径依次加 1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7 环到 9 环）的概率是（ ）A 320 B 325 C 325 D 204. 已知函数 fx满足 3fx，则函数 fx的图象在
2、1处的切线斜率为（ ）A0 B 9 C. 18 D275. 已知 F是双曲线 2:10,xyCab的一个焦点，点 F到 C的一条渐近线的距离为 2a，则双曲线 的离心率为（ ）A 2 B 3 C. 5 D26. 51xx的展开式中， 3x的系数为（ ）A 120 B160 C. 100 D807. 如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A 48 B 968 C. 961 D 48168.已知曲线 :sin23Cyx，则下列结论正确的是 （ ）A把 向左平移 51个单位长度，得到的曲线关于原点对称 B把 向右平移 6个单位长度，得到的曲线关
3、于 y轴对称C. 把 C向左平移 3个单位长度，得到的曲线关于原点对称D把 向右平移 12个单位长度，得到的曲线关于 y轴对称9. 大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以 2，奇数项是序号平方减 1 再除以2，其前 10 项依次是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前 100 项而设计的，那么在两个“ :”中，可以先后填入（ ）A n是偶
4、数， 10 B n是奇数， 10 C. 是偶数， D 是奇数， 10.在 BC中，角 ,A所对的边分别为 ,abc，若 3A，且 2sini3bBcCba，则的面积的最大值为（ ）A 32 B 32 C. 34 D 411.已知抛物线 2:,CyxM为 轴负半轴上的动点， ,MAB为抛物线的切线， ,AB分别为切点，则MAB的最小值为 （ ）A 16 B 18 C. 14 D 1212.设函数 2,230xf，若互不相等的实数 ,abcd满足 fafbfcfd，则 2abcd的取值范围是 （ ）A 64,1 B 98,146 C. 642, D 98,26二、填空题（每题 5 分，满分 20
5、分，将答案填在答题纸上）13.已知单位向量 12,e的夹角为 30，则 123e 14.设 ,xy满足约束条件6453xy，则 zxy的最大值为 15.已知 000sin1cos2s1m，则 m 16.如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 6c，该纸片上的正方形 ABCD的中心为 ,OEFGH为圆O上的点， ,ABECFDGAH分别是以 ,为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 ,为折痕折起 ,GHBECF，使得 ,重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍时，该四棱锥的外接球的体积为 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题
6、，每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17.已知公差不为零的等差数列 na满足 15，且 361,a成等比数列.（1）求数列 na的通项公式；（2）设 13b:，求数列 nb的前 项和 nS.18.“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现.现随机选取朋友圈中的 50 人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：步数/步 03:3016:018:01:10000 以上男生人数/人 1 2 7 15 5女
7、性人数/人 0 3 7 9 1规定：人一天行走的步数超过 8000 步时被系统评定为“积极性” ，否则为“懈怠性”.（1）以这 50 人这一天行走的步数的频率代替 1 人一天行走的步数发生的概率，记 X表示随机抽取 3 人中被系统评为“积极性”的人数，求 2PX和 的数学期望.（2）为调查评定系统的合理性，拟从这 50 人中先抽取 10 人（男性 6 人，女性 4 人）.其中男性中被系统评定为“积极性”的有 4 人， “懈怠性”的有 2 人，从中任意选取 3 人，记选到“积极性”的人数为 x；其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有 2 人，从中任意选取 2 人，记选到“积极性”的人
8、数为 y；求 x的概率.19.如图，在直角梯形 ABCD中， /,BAC，且 4,BADEF分别为线段 ,ABDC的中点，沿 EF把 折起，使 EF，得到如下的立体图形.（1）证明：平面 平面 ；（2）若 ，求二面角 的余弦值.20.已知椭圆 2:10xyCab的离心率为 32，且 C过点 31,2.（1）求椭圆 的方程；（2）若直线 l与椭圆 交于 ,PQ两点（点 ,均在第一象限） ， l与 x轴， y轴分别交于 ,MN两点，且满足22PMOQNOPSS:（其中 为坐标原点）.证明：直线 l的斜率为定值.21. 已知函数 ln1xfxea.（1）讨论 的导函数 f零点的个数；（2）若函数 f
9、x的最小值为 e，求 的取值范围.（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系 xOy中，圆 221:40Cxy，以坐标原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 2:3R.（1）求 1的极坐标方程和 2的平面直角坐标系方程；（2）若直线 3C的极坐标方程为 6，设 2C与 1的交点为 OM、 ， 3C与 1的交点为 ON、 ，求 OMN的面积.23.【选修 4-5：不等式选讲】已知函数 31,412fxaxgx.（1）求不等式 6g的解集；（2）若存在 13,xR，使得 1f
10、x和 2互为相反数，求 a的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BDACC 6-10: ABDDC 11、12：AB二、填空题13. 1 14. 2 15. 3 16. 50327三、解答题17.解：（1）设等差数列 na的公差为 d，因为 361,a成等比数列，所以 2631a，即 211150，化简得 50d，又 1，所以 2，从而 23na.（2）因为 13nb:，所以 021579nS ，所以 133 3n ，以上两个等式相减得 1252nnnS，化简得 13nS.18.解：（1）被系统评为“积极性”的概率为 303,55XB:.故 3982512PX，的数学期望 E；（2） “xy”
11、包含“ 3,xy”， “ 3,1xy”， “ 3,0xy”， “ 2,1xy”， “ ,0”， “ 10”，3246,yCPx， 31426, 5CPxy， 304261,1CPxy， 210436,xyC， 210436,0xyC，12436,00P，所以 1535xy.19.（1）证明：由题可得 /EFAD，则 EF，又 AEC，且 ，所以 平面 BC.因为 AE平面 FD，所以平面 AEF平面 BC；（2）解：过点 D作 /GAE交 F于点 ，连结 BG，则 D平面 EBCF， DG，又 ,BCD，所以 EC平面 ,，易证 :，则 ，得 2，以 E为坐标原点， B的方向为 x轴的正方向，
12、建立如图所示的空间直角坐标系 Exyz， ，则0,3,2,2,40A,0FDCB.故 142,BFCD，设 ,nxyz是平面 B的法向量，则 20nxyzF:，令 1，得 3,21，设 ,mabc是平面 CD的法向量，则 4220mBCbDac:，令 1，则 ,01，因为 42cos, 38n:，所以二面角 FB的余弦值为 3.20.解：（1）由题意可得 2134cab，解得 21ab，故椭圆 C的方程为214xy；（2）由题意可知直线 l的斜率存在且不为 0，故可设直线 l的方程为 ykxm，点 ,PQ的坐标分别为 12,xy，由 121, ,2PMOQMONOQNOSSySS，化简得212
13、1yx， 22211112,yxx，即 21ykx，由 214ykxm，消去 y得 22148410kxm，则 22266kkk，且 2121248,mkxxk，故 21212121yxmxmx，因此 1212kk，即 2804k，又 0，所以 24，又结合图象可知， 1，所以直线 l的斜率为定值.21.解：（1） 10xx eafxea，令 0,0xgeag，故 g在 ,上单调递增，则 x，因此，当 或 e时， fx只有一个零点；当 0a或 时， 有两个零点；（2）当 时， 0xea，则函数 fx在 1处取得最小值 1fe，当 时，则函数 y在 ,上单调递增，则必存在正数 0x，使得 0xe
14、，若 a，则 01，函数 fx在 0,1与 0,x上单调递增，在 01,x上单调递减，又 fe，故不符合题意.若 ，则 0,xf，函数 fx在 ,上单调递增，又 1fe，故不符合题意.若 a，则 01x，设正数 10,eab，则 2lnlneb efeababae，与函数 fx的最小值为 矛盾，综上所述， 0a，即 ,0.22.解：（1）因为圆 1C的普通方程为 2480xy，把 cos,inxy代入方程得 cosin，所以 1的极坐标方程为 4cos8in，2C的平面直角坐标系方程为 3yx；（2）分别将 ,36代入 csi，得 1243,3，则 OMN的面积为 12432in8536.23.解：（1）由题意可得 ,15243,xgx，当 2x时， 36x，得 1，无解；当 14时， 5，得 75x，即 14x；当 x时， ，得 34，综上， 6g的解集为 7|5x.（2）因为存在 12,xR，使得 12fgx成立，所以 | |y,yf R，又 3331fxaxaxa，由（1）可知 9,4g，则 9,4g，所以 3a，解得 1352a.故 的取值范围为 ,.
