1、2018 届山西省高三第一次模拟考试数学（理）试题（word 版）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知单元素集合 2|10Axax，则 a（ ）A 0 B -4 C -4 或 1 D-4 或 02. 某天的值日工作由 4 名同学负责，且其中 1 人负责清理讲台，另 1 人负责扫地，其余 2 人负责拖地，则不同的分工共有（ ）A6 种 B 12 种 C18 种 D24 种3. 已知函数 sinfx，若 23,log6afbfcf，则 ,abc的大小关系是（ ）A abc B cb C a D 4.在平行四边
2、形 D中，点 E为 的中点， BE与 A的交点为 F，设 ,ABDb，则向量BF（ ）A 123ab B 123ab C. 123ab D 123a5.已知抛物线 2:Cyx，过点 ,0P的直线与 C相交于 ,AB两点， O为坐标原点，若 0AOB:，则的取值范围是 （ ）A ,0 B ,1 C. 1, D 16.九章算术中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵 1ABC中，15,3,4ACB，则阳马 1
3、1CAB的外接球的表面积是 （ ）A 25 B 50 C. 10 D 207. 若 ,xy满足约束条件 403yx，则 1y的取值范围是（ ）A 5,13 B 1,5 C. ,5 D 15,38. 执行如图所示的程序框图，如果输入的 n是 10，则与输出结果 S的值最接近的是（ ）A 28e B 36e C. 45e D 5e9.在 C中，点 D为边 A上一点，若 3,32,sinBCAABC，则的面积是（ ）A 92 B 152 C. 62 D 1210.某市 1 路公交车每日清晨 6：30 于始发站 A 站发出首班车，随后每隔 10 分钟发出下一班车.甲、乙二人某日早晨均需从 A 站搭乘该
4、公交车上班，甲在 6：35-6：55 内随机到达 A 站候车，乙在 6：50-7：05 内随机到达 A 站候车，则他们能搭乘同一班公交车的概率是 （ ）A 16 B 14 C. 13 D 5211.如图， RtC中， ,6,ABC，若其顶点 A在 x轴上运动，顶点 B在 y轴的非负半轴上运动.设顶点 的横坐标非负，纵坐标为 y，且直线 B的倾斜角为 ，则函数 f的图象大致是 （ ）A B C. D12. 定义在 R上的函数 fx满足 fxf，且当 0x时， 21,0xfx，若对任意的 ,1xm，不等式 1ffm恒成立，则实数 的最大值是（ ）A -1 B 2 C. 3 D 13二、填空题：本大
5、题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上13.在复平面内，复数 28zi对应的点位于第三象限，则实数 m的取值范围是 14.已知 tan24，则 1sinco 15.过双曲线 2:0,xyEab的右焦点，且斜率为 2 的直线与 E的右支有两个不同的公共点，则双曲线离心率的取值范围是 16.一个正方体的三视图如图所示，若俯视图中正六边形的边长为 1，则该正方体的体积是 三、解答题 ：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分. 17.
6、已知等比数列 na中， *1120,64nnnaNa.（1）求 n的通项公式；（2）设 21lognba:，求数列 nb的前 项和 2nT.18.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过 1kg的包裹收费 10 元；重量超过 1kg的包裹，除1kg收费 10 元之外，超过 k的部分，每超出 （不足 ，按 1kg计算）需再收 5 元.该公司将最近承揽的 100 件包裹的重量统计如下：包裹重量（单位： g） 1 2 3 4 5包裹件数 43 30 15 8 4公司对近 60 天，每天揽件数量统计如下表：包裹件数范围 01:20130:4015:包裹件数（近似处理） 50 150 250 350
7、450天数 6 6 30 12 6以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.（1）计算该公司未来 3 天内恰有 2 天揽件数在 104:之间的概率；（2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员 3 人，每人每天揽件不超过 150 件，工资 100 元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减 1 人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？19.如图，在多面体 ABCDEF中，四边形 ABCD为菱形， /,FEAD，且平面 BE平面ABC.（1）求证： ；（2）若 016
8、,2，求二面角 的余弦值.20.已知椭圆 2:10xyEab过点 21,，且两个焦点的坐标分别为 1,0.（1）求 的方程；（2）若 ,ABP为 上的三个不同的点， O为坐标原点，且 POAB，求证：四边形 OAPB的面积为定值.21. 已知函数 21lnfxmxR.（1）当 1m时，若函数 1lgfax恰有一个零点，求 a的取值范围；（2）当 x时， 2fx恒成立，求 的取值范围.（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 【选修 4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系 xOy中，曲线 1C的参数方程为： cosinxy（
9、 为参数， 0,） ，将曲线 1C经过伸缩变换： 3y得到曲线 2.（1）以原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求 2C的极坐标方程；（2）若直线 cos:intly（ t为参数）与 12,相交于 ,AB两点，且 21，求 的值.23. 【选修 4-5：不等式选讲】已知函数 1fxaR.（1）若 的最小值不小于 3，求 的最大值；（2）若 2gxfx的最小值为 3，求 a的值.试卷答案一、选择题1-5: DBDCB 6-10: BABCA 11、12：AC二、填空题13. 2,0 14. 12 15. 1,5 16. 364三、解答题17.解：（1）设等比数列 na的公比为 q，则 0
10、，因为 12nna，所以 112nna，因为 0q，解得 ，所以 17*,64nnN；（2） 22 27log1log17nnnnba:，设 7nc，则 c， 2222221234211341n nnTbccc 34342121nnccc 2123421673n n.18.解：（1）样本中包裹件数在 04:之间的天数为 48，频率 48605f，故可估计概率为 5，显然未来 3 天中，包裹件数在 1之间的天数 X服从二项分布，即 4,XB:，故所求概率为234185C；（2）样本中快递费用及包裹件数如下表：包裹重量（单位： kg） 1 2 3 4 5快递费（单位：元） 10 15 20 25
11、30包裹件数 43 30 15 8 4故样本中每件快递收取的费用的平均值为 10352015830415（元） ，故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为 15 元.根据题意及（2），揽件数每增加 1，可使前台工资和公司利润增加 3（元） ，将题目中的天数转化为频率，得包裹件数范围 0:2030:1405:包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450天数 6 6 30 12 6频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1若不裁员，则每天可揽件的上限为 450 件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450实际揽件数 Y50 150 25
12、0 350 450频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1E50.10.25.30.2450.126故公司平均每日利润的期望值为 2631（元） ；若裁员 1 人，则每天可揽件的上限为 300 件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450实际揽件数 Z50 150 250 300 300频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1EY50.10.25.30.20.1235故公司平均每日利润的期望值为 2397（元）因 97510，故公司将前台工作人员裁员 1 人对提高公司利润不利.19.（1）证明：连接 AC，由四边形 BD为菱形可知 ACBD，平
13、面 E平面 ，且交线为 ， 平面 ， E，又 /F， ， ,ACD， AF平面 BCD， 平面 B， ；（2）解：设 O，过点 作 E的平行线 OG，由（1）可知 ,OABG两两互相垂直，则可建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，设 120FDEa，则 3,0,3,02,4AaBFaEa，所以 3,24ABFE，设平面 的法向量为 ,mxyz，则 0AF:，即 0xyz，取 3y，则 1,30为平面 B的一个法向量，同理可得 2n为平面 FE的一个法向量.则 5cos,m，又二面角 AFBE的平面角为钝角，则其余弦值为 15.20.解：（1）由已知得 1,242ca， 2,ab，则 E的方程
14、为 2xy；（2）当直线 AB的斜率不为零时，可设 :ABmyt代入21xy得：220myt，设 12,x，则2121,ttyy，28t，设 ,Pxy，由 OAB，得 1212121224,mt txytmtym，点 在椭圆 E上， 2264t，即 24， 2t，2 221212 216ttAByy tm，原点到直线 xmyt的距离为 21tdm.四边形 OAPB的面积：2 2216641OAB tmtSdt.当 的斜率为零时，四边形 P的面积 2S，四边形 OAPB的面积为定值 62.21.解：（1）函数 gx的定义域为 0,，当 2m时， 2lna，所以2axagx，当 0a时， 2,0gx时无零点，当 时， ，所以 gx在 ,上单调递增，取10axe，则2110aage，因为 ，所以 0x:，此时函数 gx恰有一个零点，当 0a时，令 g，解得 2a，当 2x时， 0x，所以 gx在 0,上单调递减；当 a时， g，所以 在 ,2a上单调递增.要使函数 fx有一个零点，则 ln0g即 2ae，综上所述，若函数 恰有一个零点，则 2ae或 ；（2）令 211lnhxfmxx，根据题意，当 1,x时， 0hx恒成立，又 2，
