1、Shannon-Gabor 小波的快速计算及其在图像处理中的应用1 插值小波基函数插值小波基函数应是具有插值特性的紧支撑或指数衰减函数，如插值样条小波、Daubechies 小波的自相关函数等。但插值样条小波不具备正交性，而 Daubechies 小波没有解析表达式，Haar 小波同时具有紧支撑性和正交性，但不连续，Faber-Schauder 小波具有插值特性和紧支撑性，但不光滑，而 Shannon 小波不具备紧支撑性，因此选择具有近似紧支撑性和插值特性的 Shannon-Gabor 小波函数。Shannon-Gabor 尺度函数定义如下：=(/)/ (222) (1)其中 是离散点间距，
2、（ 是任意参数）是窗口大小参数。 =为取 Shannon-Gabor 尺度函数作为基函数，按多尺度分析理论对函数 在定义域a,b 内()进行均匀离散，取离散点个数为 2j+1,( )，则变量 x 的离散点定义为： =+2 .则基函数为()=2()2() (2222()2)(2)令1=21， ,则若取具有插值特性的 Shannon-Gabor 小波作为试函数，即=1()=1()=(1)1(1)1(12(11)2) （3）将 、 代入式(3)，可得出=1 =2(21)=(21)1(21)1(12(211 )2) (4)其中， ， ，即 ，1=21 2=22 1=+. 1 2=+. 2=+.212.
3、1公式（4）可被简化为(21)=(.212)(.212) (12(.212 )2) (5)下面分别对 Shannon-Gabor 小波函数求一阶、二阶导数： Shannon-Gabor 小波函数的一阶导数()=exp 122(11)2(1)11 1(1)2(1)1 (1)12.1 (6)将 代入公式，可得=2(2)=exp 122(.212)2(.212)(.212).1(.212).1.(.212)2(.212)2.1 (7)当 时，.212=0 (2)=0 Shannon-Gabor 小波函数的二阶导数( )=exp122(11)2(1)1 .( 12.1.(1)+(1)4.(1)3 1.
4、(1)+ 21.(1)3)( 22.(1)2+ 2(1)2)(1)1 (8)将 代入公式，可得=2(2)=exp(.212)222 (.212).(1)2 ( 1(.212)2+.2124 2.212+2(.212)3)2(.212)(1)2 (12+ 1(.212)2)(9)令 ,则 .212=(2)=exp222 .(1)2(1.2+42 +23)2(1)2(12+12) (10)当 时，.212=0(2)= 23(1)2 1(1)2.22 二维偏微分方程插值小波的快速计算方法采用插值小波变换理论计算小波系数、构造插值算子，在提高精度的同时，也带来了计算量的问题。下面对二维偏微分方程的插值
5、小波算法中的参数进行优化，以实现算法的快速计算。二维偏微分方程的求解首先对所求解区域进行空间离散，形成关于时间的常微分方程组，然后再对常微分方程组的数值进行求解，对空间离散的方法主要包括小波有限元法和小波配置法 99-102。小波配置法要求基函数具有插值特性，在相同计算精度下，计算速度比有限元方法快；且具有自适应性，在方程解的奇异点位置自动加密配点，在解平滑处配置点稀疏，可同时满足计算效率、精度。1996 年 S.Bertoluzza99选择 Daubechies 小波的自相关函数为基函数构造了一种单层小波配置法，该方法虽然对边界条件具有较强的适应性，但在整个求解区间上配置点是均匀选取的，计算
6、量较大。OlegV.Vasilyev 100构造的多层小波配置法则避免了上述算法的缺陷，但多层小波配置法中插值基函数的构造复杂，计算量大。文献41利用插值小波理论构造了一种求解偏微分方程的自适应 quasi-Shannon 小波配置法，该方法充分利用了 quasi-Shannon 小波的插值特性，相对于文献99的方法，多层插值函数的构造简单且计算量小，但只适用于一维的偏微分方程求解。下面通过构造二维多层自适应插值小波算子、插值小波基函数的选取、插值小波快速计算方法等将自适应小波配置法推广至二维偏微分方程的求解。4.1.1 构造二维多层自适应插值小波算子考虑二维图像函数 ，二维小波函数对其进行逼
7、近，配置点选取如图 4-1 所示。(,)由图 4-1 可看出，不同层上的配点关系如下： j 层每行包含 ( )个元素。2+1 在第 j 层下标为 k 的元素是第 k+1 个配点，所在的行、列坐标为 ，k /(2+1)mod ( +1)。2 j 层下标为 k 的配点，对应到第 J 层配点的下标为 ，则=2().(2+1).( 2+1)+ (2+1)根据张量积的定义，可得出二维小波函数 和二维尺度函数1,1,2、 2,1,2、 3,1,2。,1,2,1,2=,1(),2() (4-1) 1,1,2=+1,21+1,22(,) 2,1,2=+1,21,22+1(,) 3,1,2=+1,21+1,22
8、+1(,)(4-2)显见，第 j 层的小波函数等于第 j+1 层的尺度函数，第 j 层配置点对应的第 J 层的三个小波点分别为 、 、 。多层小波配置法需要同时考虑不同离+1 +2+1+1 +2+1+1+1散栅格大小下的插值算子，根据插值小波变换理论，函数 的逼近表达式为(,)(,)=201=0202=00,1,20,1,2+=021=022=0 1,1,2 1,1,2+ 2,1,2 2,1,2+ 3,1,2 3,1,2(4-3) 其中，0,1,2=(001,002)图 4-1 不同层（ j=0,j=1）上的配点关系31021473 58206由插值小波变换理论可写出插值小波系数 ，小波系数表
9、示经过插1,1,2、 2,1,2、 3,1,2值得到的配点函数值与真实值之间的逼近误差。 1,1,2=(+1,21+1,+1,22)(+1,21+1,+1,22) 2,1,2=(+1,21,+1,22+1)(+1,21,+1,22+1) 3,1,2=(+1,21+1, +1,22+1)(+1,21+1,+1,22+1)(4-4)其中的插值算子定义如下：(+1,21+1,+1,22)= 21=0 22=0(,1,2).,1,2(+1,21+1,+1,22)(+1,21,+1,22+1)= 21=0 22=0(,1,2).,1,2(+1,21,+1,22+1)(+1,21+1,+1,22+1)=
10、21=0 22=0(,1,2).,1,2(+1,21+1,+1,22+1)(4-5)为了得到统一的多层插值小波算子，需要将插值小波系数 、 、 表达成 J1,1,2 2,1,2 3,1,2层上所有配置点的权重和，因此定义限制算子为： ,1, 2 ,1 ,2 =1, 1=1且 2=20, 其他 (4-6)限制算子表示了多层间对应值相等的配点。利用限制算子，将公式（4-4）中的映射到第 J 层上。(+121+1,+122)、 (+121,+122+1)和 (+121+1,+122+1) (+121+1,+122)= 21=022=0 +1,+1,21+1,22,1,2(1,2)(+121,+122
11、+1)= 21=022=0 +1,+1,21,22+1,1,2(1,2)(+121+1,+122+1)= 21=022=0 +1,+1,21+1,22+1,1,2(1,2)(4-7)因此由公式（4-4）得出小波系数表达式： 1,1,2= (+1,21+1,+1,22)(+1,21+1,+1,22)=(+121+1,+122) 2001=02002=0(001,002) 001,02+11=021111=021112=0( 11,11,12 11,11,12+ 21,11,12 21,11,12+ 31,11,12 31,11,12)(4-8)其中， =0,0+1,1将公式（4-7）代入到（4-
12、8） ，用保留的已知点坐标值直接求小波系数，可得以下公式： 1,1,2= 21=022=0+1,+1,21+1,22,1,2(1,2) 21=022=02001=02002=00,0,01,02,1,2(1,2) 001,02(+121+1， +122)+11=021111=021112=021=022=0(11,1,11,12,1,2 1+1211+1,212(1,2)+2 1,1,11,12,1,2 1+1211,212+1(1,2)+3 1,1,11,12,1,2 1+1211+1,212+1(1,2)= 21=022=01 1,1,1,2,1,2(1,2)(4-9)公式（4-9）中 表
13、示第 J 层的离散点， 为一常量矩阵。(1,2) 1 ,1,2,1,2所以，当 时，101 1,1,1,2,1,2=+1,+1,21+1,22,1,2 2001=02002=00,0,01,02,1,2 001,02(+121+1， +122) 11=021111=021112=01 1,1,11,12,1,2 1+1211+1,212(+121+1， +122)(4-10) +2 1,1,11,12,1,2 1+1211,212+1+3 1,1,11,12,1,2 1+1211+1,212+1其中， 且 =0，1，2，2 j-1 =0+1,0+2,1 1,2, 1,2 1,2 显然，当 时，
14、1=01 0,0,01,02,1,2=0+1,0+1,21+1,22,1,2 2001=02002=00,0,01,02,1,2 001,02(0+1201+1， 0+1202)2 0,0,01,02,1,2=0+1,0+1,21,22+1,1,2 2001=02002=00,0,01,02,1,2 001,02(0+1201， 0+1202+1)3 0,0,01,02,1,2= 0+1,0+1,201+1,202+1,1,2 2001=02002=00,0,01,02,1,2 001,02(0+1201+1， 0+1202+1)(4-11)由（4-10）和（4-11）可递归分别求出 。2,1
15、,2, 3,1,2分析可得小波系数通过 直接计算的时间复杂度为 O(n4.log2n)。1、 2、 3公式（4-6）中的第 1 项201=0202=00,1,20,1,2可以记作：2001=02002=0(001,002) 001,02利用限制算子将 映射到 J 层上的所有点处(001,002)(001,002)= 21=022=0 0,0,01,02,1,2(1,2) (4-12)公式（4-3）中的第 1 项可记作：2001=02002=0(001,002) 001,02= 21=022=02001=02002=00,0,01,02,1,2(1,2) (4-13)将公式（4-9）代入(4-3
16、)中的第 2 项，第 2 项可写为：21=022=011=0211=0212=0c1 1,1,2+c2 2,1,2+c3 3,1,2(1,2) (4-14)因此，由公式（4-13）和（4-14）可将公式（4-3）写为：(,)= 21=022=0 2001=02002=00,0,01,02,1,2 001,02+11=021=022=0c1 1,1,2+c2 2,1,2+c3 3,1,2(1,2)= 21=022=01,2(,) (1,2)（4-15）因此插值算子 可记作：1,2(,)1,2(,)= 2001=02002=00,0,01,02,1,2 001,02(,)+11=021=022=0
17、c1 1,1,2+c2 2,1,2+c3 3,1,2(4-16)由于在不同时刻配置点的数量和位置均不相同，所以自适应算法中，在不同的时间段，必须重新构造插值算子,因此插值算子的构造速度对整个算法的计算效率有极其重要的影响。本文构造出的插值算子具有显式表达式且在形式上将单层插值小波算子和多层插值小波算子统一起来，同传统方法相比，具有较小的计算量。-快速计算方法-1.Shannon-Gabor 小波函数的快速计算在小波自适应插值算法中，经常需要大量计算公式（4-16）中的 Shannon-Gabor 小波函数 ，当用 j1 层上的 k 点计算 j2 层上的配点 n 时，公式如下： 1,1,2、 2
18、,1,2、 3,1,2(21)=(21)1(21)1( 122(21)2(2)2 ) (4-27)其中, 。为了计算方便，将 ， 映射到第 J 层上，对应 J 层中的编号为 ，1=21 1 2 ，则得出以下公式：= =21=22 (4-28)其中， =2由公式（4-27） 、 （4-28）可得：(21)=(21)1(21)1( 122(21)2(2)2 )=()21121(2221) 122()2(1)2 =(212)(212) 122(212)2(4-29)公式(4-29) 中的(212)(212)是周期函数，根据函数的周期性和奇偶性，对公式进行简化，得出对应的递推公式：(212)(212)
19、 =(212)212 ， 为 偶数(212)212 ， 为 奇数 (4-30)根据正弦函数的周期性，只需要计算 在0,1/2范围内的值即可，应该说 越大，这212 1种方法效率越高。公式(4-29) 中的 122(212)2= 122(41222121+2)= 122(4122)12212(222)(4-31)对公式（4-31）进行递推计算，只需要筛选计算有限个必要点，其他配点可以映射过来，减少了数据的存储量，提高了配点查找速度。3 图像处理结果0 50 10 150 20 250 30050101502025030Denoised image Amount of the wavelet collocation points is 23488(a) t = 0.00050 50 10 150 20 250 30050101502025030Denoised image Amount of the wavelet collocation points is 19413 (b) t = 0.001
