1、2018 届安徽省芜湖市高三上学期期末考试（一模）文科数学试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ,所以 ,选 B.2. 复数 （为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】 ,对应点为 , 位于第二象限,选 B.3. 有 5 支彩笔（除颜色外无差别） ，颜色分别为红，黄，蓝，绿，紫.从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含
2、有红色彩笔的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 【答案】 选取两支彩笔的方法有 种，含有红色彩笔的选法为 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为 .本题选择 C 选项.【考点】古典概型【名师点睛】对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.4. 设 为非零向量，则“存在负数，使得 ”是“ 的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要必要条件 D. 既不充分也不必要条件【
3、答案】A【解析】 ， 是非零向量， ，存在负数 使得 ，则向量 ， 共线且方向相反，可得 反之不成立，非零向量 ， 夹角为钝角，满足 ，而 不成立 ， 为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“ ”的充分不必要条件故选：A5. 下图是一个算法的程序框图，当输入值 为 10 时，则其输出的结果是（ ）A. B. 2 C. D. 4【答案】D6. 若 ，则双曲线 的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,选 C.7. 若直线 过点 ，则 的最小值为（ ）A. 6 B. 8 C. 9 D. 10【答案】C【解析】因为直线 过点 ,所以 ,因此 ,当且仅当 时取等号,所以选
4、 C.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】几何体为半个圆柱与一个圆柱的组合体,体积为 ,选 D.点睛：1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图2三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽” ，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据9.
5、已知定义在 上的函数 为偶函数.记 ， ， ，则 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为函数 为偶函数,所以 ,则 在 上单调递增,因为 ，所以 ，选 B.10. 古代数学著作九章算术有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天共织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于 30 尺，则至少需要（ ）A. 6 天 B. 7 天 C. 8 天 D. 9 天【答案】C【解析】这是一个等比数列问题：已知等比数列 的公比 求 最小正整数 .,选
6、C.11. 如图，在边长为 2 的正方形 中， 分别为 的中点， 为 的中点，沿 将正方形折起，使 重合于点 ，在构成的四面体 中，下列结论中错误的是（ ）A. 平面B. 直线 与平面 所成角的正切值为C. 四面体 的外接球表面积为D. 异面直线 和 所成角为【答案】D【解析】因为 ，所以 平面 ；直线 与平面 所成角 所以四面体 的外接球直径为以 为长宽高长方体对角线长,即 外接球表面积为 取 AF 中点 M,则异面直线 和 所成角为 ，所以错误的是 D，选 D.12. 已知函数 ，若方程 恰有四个不同的实数根， 则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ，作
7、图，由 与 相切 得，由 与 相切得设切点， 如图可得实数 的取值范围是 ，选 B.点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 函数 的最小正周期是_【答案】【解析】 ，所以最小正周期 .考点：三角恒等变形、三角函数的性质.14. 若 满足 ，则 的最大值为_【答案】9【解析】作可行域，则直线 过点 A(3,3)时
8、取最大值 9.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15. 椭圆 的左 、右焦点分别为 ，顶点 到 的距离为 4，直线 上存在点 ，使得 为底角是 的等腰三角形，则此椭圆方程为_【答案】【解析】因为顶点 到 的距离为 4，所以 因为 为底角是 的等腰三角形， 所以椭圆方程为 .16. 已知数列 ，令 ，则称 为 的“伴随数列” ，若数列 的“伴随数列” 的通项公式为 ，记数列 的前 项和为
9、 ，若 对任意的正整数 恒成立，则实数 取值范围为_ 【答案】【解析】由题意得 ,所以 , 相减得- ，所以 , 也满足. 因此数列 的前 项和为 ,点睛：给出 与 的递推关系求 ，常用思路是：一是利用 转化为 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 的递推关系，先求出 与 之间的关系，再求 . 应用关系式 时，一定要注意分 两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知 分别为 三个内角 的对边，向量 ， 且 .（1）求角 的大小 ；（2）若 ，且 面积为 ，求边的长.【答案】(1
10、) ；(2) .【解析】试题分析：（1）先根据向量数量积得角的关系式，再根据诱导公式得 ，解得角 ， （2）先根据正弦定理得 ，再根据三角形面积公式得 ，最后利用余弦定理求边的长.试题解析：（1）因为 在三角形 中有：从而有 ，即 ，则 ；（2）由 ，结合正弦定理知：又 知：根据余弦定理可知： 解得：18. 某城市随机抽取一年（365 天）内 100 天的空气质量指数 的监测数据，结果统计如下：记某企业每天由空气污染造成的经济损失 （单位：元） ，空气质量指数 为 .当 时，企业没有造成经济损失；当 对企业造成经济损失成直线模型（当 时造成的经济损失为 ，当时，造成的经济损失 ；当 时造成的经
11、济损失为 2000 元；（1）试写出 的表达式：（2）在本年内随机抽取一天，试估计该天经济损失超过 350 元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季，其中有 12 天为重度污染，完成下面 列联表， 并判断能否有 的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关 ？【答案】(1) ；(2)0.38；(3)答案见解析.【解析】试题分析：（1）先根据待定系数法求当 解析式，再用分段函数形式写 ， （2）根据得 ，得频数，再根据频率等于频数除以总数求概率；（3）先将数据对应填表，根据卡方公式求 参考数据比较作判断.试题解析：（1） （2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失 大于超过 35
12、0 元”为事件 ，由（1）知： ，频数为38，则 .（3）根据以上数据得到如下 列联表：则计算可得所以有 的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关 .19. 如图，四边形 和 均是边长为 2 的正方形，它们所在的平面互相垂直， 分别为 的中点，点 为线段 的中点.（1）求证：直线 平面 ；（2）求点 到平面 的距离 .【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）取 的中点 ，根据三角形中位线性质得 ，根据正方形性质得 ，再根据线面平行判定定理以及面面平行判定定理得平面 平面 ，即得结论， （2）利用等体积法求点到平面 的距离. 以及锥体体积公式可得点 到平面 的距离试题解析：（
13、1）取 的中点 ，连接 和 ，则易知 ，又因为 ， ，所以 为的中位线 ，所以 ，且 ， ，所以平面 平面 ，又 平面 ，所以 平面 ；（2）设点 到平面 的距离为 ，由题可知， 面 ，所以 ，由勾股定理可知， ，所以 的面积 ，经过计算，有： 由 ，和所以20. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为， 在抛物线 上任取一点 ，过 做的垂线， 垂足为 .（1）若 ，求 的值；（2）除 外， 的平分线与抛物线 是否有其他的公共点，并说明理由.【答案】(1) ； (2)答案见解析 .【解析】试题分析：（1）根据抛物线定义求 A 点坐标，得 E 点坐标，再根据向量数量积求 的值；（2）设 ，根据 得 的平分线所在直线就是 边 上的高所在的直线.根据点斜式得的平分线所在的直线方程，再与抛物线联立，解方程组可得只有一解.试题解析：（1） ， ，即 由抛物线的对称性，不防取 ， ， ， （2）设 ， ， ， .由 知 的平分线所在直线就是 边 上的高所在的直线. 的平分线所在的直线方程为 .由 ，消 得 . ，方程化为 ，即即 的平分线与 只有一个公共点，除 以外没有其他公共点.21. 已知函数 .（1）讨论函数 的单调性；（2）若函数 在区间 上存在两个不同零点， 求实数的取值范围 .
