1、1黑体普朗克公式推导1 空腔内的光波模式数在一个由边界限制的空间 V 内，只能存在一系列独立的具有特定波矢 的平面单色驻k波。这种驻波称为电磁波的模式或光波模式，以 为标志。k设空腔为立方体，如下图xyz yxz图 1 立方体空腔沿三个坐标轴方向传播的波分别应满足的驻波条件是(1)22qznymx式中 m、n、q 为正整数。将 代入(1)式中，有xk2xmk则在 x 方向上，相邻两个光波矢量的间隔为：xx)1(同理，相邻两光波矢在三个方向的间隔为：2(2)zkyxk因此每个波矢在波矢空间所占的体积元为(3)Vzyxkzyx 33kxk ykz图 2 波矢空间在波矢空间中，处于 和 之间的波矢
2、对应的点都在以原点为圆心、 为半径、kdkk为厚度的薄球壳内，这个球壳的体积为kd(4)kkkd43423式中 、 。kd根据(1)式的驻波条件， 的三个分量只能取正值，因此 和 之间的、可以存在k于 V 中的光波模式在波矢空间所占的体积只是上述球壳的第一卦限，所以(5)2d842kVk由(3)式已知每个光波矢的体积元，则在该体积内的光波模式数为3(6)VkMk23d/2式中乘以 2 是因为每个光波矢量 都有两个可能的偏振方向，因此光波模式数是光波矢量数的 2 倍。由于 ， ，上式可以用波长形式表示，即在体积为 V 的空腔内，kd2k波长 间隔的光波模式数为：d(7)d84VM2 黑体辐射公式
3、黑体辐射是黑体温度 T 和辐射场波长 的函数。可用单色能量密度 来描述，其定义为：在单位体积内，波长 附近的单位波长间隔中的电磁辐射能量，量纲为 Jm-4。根据量子化假设和玻色-爱因斯坦统计规律，在温度 T 的热平衡情况下，黑体辐射分配到腔内每个模式上的平均能量为(8)1/TKhceE因此单色能量密度为(9)8d/5TKhcVM即如在空腔上有一单位面积的开口，则在单位时间，半球空间辐射到此单位面积的能量为 附录 1。4c按照(9)式，从黑体腔上的开口向半球空间辐射出的单色能量为(10)124/5TKhcecP这就是温度 T 的黑体的光谱辐出度公式。附录 1对于作用在如图 1 的空腔表面的驻波，
4、设垂直于面积 A，且立体角为 d的方向上，光通量（单位时间通过的波的能量）为 I 和-I ，如图 3。4AI - IdP图 3 设光速为 c，光运动单位距离的时间为 1/c，则在立体角内的光能密度（单位体积的光能量）P 为(1)cAIP2在谐振腔内，光辐射强度是各向同性的，因此对与面积 A 法线夹角为的入射光，光通量仍为 I，而该方向的通量为(2)cosII因此在整个 2半球空间，一个小面积上通过的光通量如图 4drsin图 4 作用在一个小面积上的所有方向的光辐射则在面积 A 上的总光通量为5IIM20/ dsinco将(1)代入有(3)PcAI2因为腔内各方向的辐射是均匀分布的，所以任意方向立体角 d的能量密度 P 与腔内的总能量密度的关系为(4)2代入(3)得(5)4cAM即如在空腔上有一开口，则在单位时间，单位面积辐射到半球空间的能量为 。4c
