1、成都七中高 2018 届二诊模拟考试数学(理)一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ， ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】 或 ， ， 或，故选 D.2. 已知复数为纯虚数，且 ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 是纯虚数， 可设 ，可得 ， ，故选 B.3. 若向量 ， ，则 的面积为( )A. B. C. 1 D. 【答案】A【解析】 ， 与 夹角余弦为 ， ，故选 A.4. 为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为 100
2、的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各 50 人；男性 60 人，女性 40 人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示)，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是( )A. 是否倾向选择生育二胎与户籍有关B. 是否倾向选择生育二胎与性别无关C. 倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D. 倾向选择生育二的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数【答案】C【解析】试题分析：从题设中所提供人数比的柱状图可以看出：倾向选择生育二胎的人数与户籍有关；是否选择生育二胎与性别无关,其中倾向选择不生育二胎的人员中,农村户籍的人数少于城镇户籍的人
3、数.所以提供的四个选择支中 A，B，D 都是正确的，其中 C 是错误的,故应选 C.考点：柱状图的识读和理解5. 一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三视图可知，该三棱锥 是长方体的一部分，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，该棱锥外接球的直径等于长方体的对角线长，所以球的半径 ，则外接球的体积 ，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长
4、对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.6. 按照如图所示的程序框图，若输入的为 2018， 为 8，则输出的结果为( )A. 2473 B. 3742 C. 4106 D. 6014【答案】B【解析】执行程序框图，输入 ，第一次循环 除以 可得，商 ，余数 ，将排在最右边，即循环结束后，全部余数从右到左排列，得到的数个位数字为 ，只有选项 符合题意，故选 B.7. 若实数满足 ，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据对数函数的性质，由
5、 ，可得 ，由 ，得 ，综上 ， 的取值范围是 ，故选 C.8. 在 中，角 为 ， 边上的高恰为 边长的一半，则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】作 延长线上一点 为等腰直角三角形，设 ，则 ，由勾股定理得 ，由余弦定理得 ，故选 A.9. 的展开式中 的系数是( )A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A【解析】 展开式通项为 ，令 ，得 ， 展开式中 系数为 ，令，得 ， 的展开式中 的系数是 ， 的展开式中 的系数是，故选 A.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，
6、主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数） （2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.10. 等差数列 各项都为正数，且其前 项之和为 45，设 ，其中 ，若 中的最小项为 ，则 的公差不能为( )A. 1 B. C. D. 【答案】D【解析】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，由前 项之和为 45，可得， ， ，要使最小，则 ， ， ，可验证 ， 时，都有成立，而当 时， 不是最小值， 的公差不能是 ，故选 D.11. 已知圆 ，考虑下列命题：圆 上的点到 的距离的最小值为 ；圆 上存在点 到点 的距离与到直线
7、 的距离相等；已知点 ，在圆 上存在一点 ，使得以 为直径的圆与直线 相切，其中真命题的个数为( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】对于，圆心 到 的距离减去半径的值为 ，即圆 上点到 的距离的最小值为 ，错；对于 ，到点 与到直线 的距离相等的点的轨迹是抛物线， 当 时，圆 方程 ，可得圆与抛物线有两个交点，故正确；对于，当 时，圆 上存在点 ，使得以 为直径的圆与直线 相切，故正确，正确命题个数为 ，故选 C.【 方法点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查圆的几何性质、抛物线的定义与方程， 属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因
8、为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，判断存在性结论时，也可以考虑特值法处理，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.12. 已知函数 ，过点 作曲线 的两条切线 ， ，切点分别为 ， ，设，若对任意的正整数 ，在区间 内存在 个数 ， ， 使得不等式成立，则 的最大值为( )A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】B【解析】设 ，因 ，故 ，由题意 过点 可得；同理可得 ，因此 是方程 的两个根，则，故 。由于 在 上单调递增，且 ，所以 ，因此问题转化为对一切正整数 恒成立。又 ，故 ，
9、则，由于 是正整数，所以 ，即 的最大值为 ，应选答案 B。二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若实数 满足 ，则 的最大值为_.【答案】【解析】画出条件 表示的可行域，为如图所示的开放区域，由 可得 ，由图知， 的最大值是点 的纵坐标 ，故答案为 . . . . .14. 若双曲线 的渐近线与圆 相切，则 _.【答案】【解析】由 得渐近线方程为 ，即 圆心 到渐近线的距离等于半径，故答案为 .15. 设函数 ，已知常数 且满足 ， ，则关于的不等式 的解集为_.【答案】16. 祖暅是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容
10、易.”这里的“幂”指水平截面的面积.“势”指高，这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等。于是可把半径相等的半球(底面在下)和圆柱(圆柱高等于半径)放在同一水平面上，圆柱里再放一个半径和高都与圆柱相等的圆锥(锥尖朝下)，考察圆柱里被圆锥截剩的立体，这样在同一高度用平行平面截得的半球截面和圆柱中剩余立体截得的截面面积相等，因此半球的体积等于圆柱中剩余立体的体积.设由椭圆 所围成的平面图形绕 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(如图，称为“椭球体”)，请类比以上所介绍的应用祖暅原理求球体体积的做法求这个椭球体的体积.其体积等于_.【答案】【解析】椭圆
11、的长半轴为，短半轴为 ，现构造一个个底面半径为 ，高为的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得半椭球的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，所以椭球的体积为 ，故答案为 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等比数列 满足 ，其中 ， 为 的前 项和， .(1)求 ；(2)设 ，若 ， 恒成立，求 的最小值.【答案】 （1）1；（2）【解析】试题分析：（1）由 ，可得 两式相减得 .于是公比 ，所以 ，解得 ；（2）根据等比数列的定义求出数列 的通项公式，根据等比数列的求和公式可得
12、 ，于是得 ，即 的最小值为 .试题解析：(1) ，可得 两式相减得 .于是公比 ，所以 ， .(2) ， ， ， ，所以 的最小值为 .18. 随着互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生，某市场研究人员为了了解共享单车运营公司 的经营状况，对该公司最近六个月的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图：（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率 与月份代码 之间的关系，求 关于 的线性回归方程，并预测 公司 2017 年 4 月的市场占有率；（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车，现有采购成本分别为 元/辆和 1200 元/辆的 、 两款车型可供选择，按规定每辆
13、单车最多使用 4 年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致单车使用寿命各不相同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对这两款车型的单车各 100 辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命的频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以带来收入 500 元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考公式：回归直线方程为 ，其中 ， .【答案】 （1） ， ；（2）应该采购 款车【解析】 【试题分析】 （1）依据题设条件运用回归方程恒过定点的事实进行求解；
14、（2）依据题设条件借助数学期望的计算公式进行分析求解：（1）由折线图中所给的数据计算可得 ， 月度市场占有率 与月份序号 之间的线性回归方程为 当 时， 故 公司 2017 年 4 月份的市场占有率预计为 23%（2）由频率估计概率，每辆 款车可使用 1 年、2 年、3 年和 4 年的概率分别为0.2、0.35、0.35 和 0.1，每辆 款车可产生的利润期望值为（元） 由频率估计概率，每辆 款车可使用 1 年、2 年、3 年和 4 年的概率分别为 0.1、0.3、0.4 和0.2，每辆 款车可产生的利润期望值为：（元） ， ，应该采购 款单车19. 如图，四棱锥 中，侧棱 垂直于底面 ， ， ， 为 的中点，平行于 ， 平行于面 ， .(1)求 的长；(2)求二面角 的余弦值.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）取 的中点 ，连接 、 ，由三角形中位线定理，以及线面平行的判定定理可得 平行于 ， 平行于 ，于是可得 为平行四边形，所以 ，；（2）取 中点 ，则 垂直于 ，以 点为原点， 为 轴， 为 轴， 为轴建立坐标系，平面 法向量为 ，利用向量垂直数量积为零，列方程组求得平面 法向量为 ，平面 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果 .试题解析：(1)取 的中点 ，连接 、 ，因为 平行于 ， 平行于 ，所以 平行于 ，
