1、2018 届上海市长宁区、嘉定区高三上学期质量调研（一模）数学试题一填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1 已知集合 ， ，则 _.4,321A5,2BBA2 不等式 的解集为 _.0x3 已知 ，则 _.5sin2cos4 _.1limn5 已知球的表面积为 ，则该球的体积为_.66. 已知函数 ， 是函数 的反函数，若 的图xxfalog)()(1xfy)(xfy)(1xfy像过点 ，则 的值为_.4,27 若数列 为等比数列，且 ，则 _.na35a8372a8 在 中，角 、 、 所对的
2、边分别为 、 、 ，若 ，ABCCbcacbca)(则 _.9 若 的二项展开式中的所有二项式系数之和等于 ，则该展开式中常数项的nx12 256值为_.10 已知函数 是定义在 上且周期为 的偶函数当 时，)(fR44,x，则 的值为_.23log)(4xf 1f11 已知数列 的前 项和为 ，且 , （ ） ，若 ,nanS1a12naS*N12)(nnab则数列 的前 项和 _.nbnT12 若不等式 对满足 的任意实数 ， 恒成立，则实数 的)(2xycx0yxyc最大值为_.二选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，
3、将代表正确选项的小方格涂黑13 设角 的始边为 轴正半轴，则“ 的终边在第一、二象限 ”是“ ”的（ ） x0sin（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C ）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件14 若直线 和 是异面直线， 在平面 内， 在平面 内， 是平面 与平面 的交线，1l21l2ll则下列命题一定正确的是（ ） （A） 与 、 都不相交 （B） 与 、 都相交l12l l12l（C ） 至多与 、 中的一条相交 （D） 至少与 、 中的一条相交15 对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 ，其中 为 和 的夹cos|角若两个非零的平面向量 和 满足： ； 和 的夹角 ；ab
4、|ba4,0 和 的值都在集合 中则 的值为（ ） baNnx,2（A） （B ） （C） （D）252312116 已知函数 且 ， ，,12,0)(xxf )(xff)(1xffnn则满足方程 的根的个数为（ ） ,321nfn)(（A） 个 （B） 个 （C ） 个 （D） 个2n2)12(n三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）如图，设长方体 中， ， 1DCBA3B41A（1 ）求四棱锥 的体积；1（2 ）求异面直线 与 所成角的大小（结果用反三
5、角函数值表示） 118 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）已知复数 满足 ， 的虚部为 2z2z（1 ）求复数 ；（2 ）设 在复平面上的对应点分别为 ， ， ，求 的面积2,zzABCA19 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）一根长为 的铁棒 欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽 LAB 2BDACmA BCDA1 B1C1D1（1 ）设 ，试将 表示为 的函数；BODL（2 ）求 的最小值，并说明此最小值的实际意义L20 （本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满
6、分 7 分）已知函数 xf2)(（1 ）求证：函数 是偶函数；f（2 ）设 ，求关于 的函数 在 时的值域 的表达式；Rax)(22xafyx),0)(ag（3 ）若关于 的不等式 在 时恒成立，求实数 的取值范围1)(mfx, m21 （本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）已知数列 满足： ， ， na112nna*N（1 ）求数列 的通项公式；n（2 ）设数列 的前 项和为 ，且满足 ，试确定 的值，使得数列nbnS3816221naSn 1b为等差数列；nbO ACB DE（3 ）将数列 中的部分项按原来顺序构成新数列 ，且
7、，求证：存在无数个满足条件的21nanc51无穷等比数列 c2017-2018 学年长宁、嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷参考答案与评分标准一填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1 2 34,20,1(54 5 63347 8 98 12010 11 或 1221)1(n为 偶 数 ，为 奇 数n, 42二选择题(本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分)每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13 A 14D 15B 16C三、解答题（本大题
8、共有 5 题，满分 76 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤17 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）（1 ）因为 平面 ，所以 就是四棱锥 的高A1BCDA1ABCD1， （3 分）9SABCD，所以 （6 分）41 2493311 SVABCDAB故四棱锥 的体积为 2（2 ）连结 、 ，因为 ，且 ，所以四边11DCB1形 是平行四边形，所以 故 或其补角就是CDBAAA异面直线 与 所成的角 （2 分）1在 中， ， ，521B5211D （4 分）32ADB所以， （7 分）25162cos11DABA所以，异面直线 与 所成
9、角的大小为 （8 分）1Carcos18 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）（1 ）设 （ ） ，则 （3 分）iyxzR,xy解得 或 （5 分）,.1,所以 或 （6 分）iziz（2 ）由（1 ）知， 时， ， ， （1 分）i2zi12z所以， ， ， ， （2 分）),(A),0(B)1,(C （4 分）BCS当 时， ， ， （5 分）i1zi2zi32z所以， ， ， ， （6 分）),(A),0(),1(C （8 分）BCS19 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）（1 ） ， （分）cos2AOsi
10、nBO， （6 分）coi)s(iBL 2,0（2 ）设 ， ，则 ，（2 分）4sin2cosinx ,1(x所以， ，此时 （4 分）1i1)(2xL任取 、 ，且 ， ，1x2,(221x )1(414)( 22211 xxxL因为 、 ，且 ，所以 ， ，1,221 0210(2故 ，即 在 时是减函数，所以 （7 分）0)(xL)(x,(4minL最小值的实际意义是：在拐弯时，铁棒的长度不能超过 ，否则，铁棒无法通过也就说，能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为 （8 分）24m20 （本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 7 分）
11、（1 ）函数 的定义域为 ，)(xfR对任意 ， ，)(2xfx所以，函数 是偶函数 （4 分）)(xf（2 ） ，（1 分）2)(2)()(2 xxxaay令 ，因为 ，所以 ，故 ，tx012t原函数可化为 ， ，2ty),t图像的对称轴为直线 ，)(22 aaty at当 时，函数 在 时是增函数，ty),t值域为 ； （3 分）),42当 时，函数 在 时是减函数，在 时是增函数，值域为a22aty,at),at （5 分）),2综上， .2,)2,4(aag（3 ）由 ，得 ， （1 分）1)mxf 1)(xf当 时， ，所以 ，所以 ，0)(xf 0)(f所以， 恒成立（3 分）x
12、xxxf 2121)(2令 ，则 ， ，xt210t 1)1(222tttxx由 ，得 ，所以 ， （6 分）0tt 3t 01t所以， ，即 的取值范围为 （7 分）31m,21 （本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）（1 ）因为 ，所以 ，21nna12na所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列 （2 分）2n4所以， ，又由题意， ，3)1(42nan 0na所以 （ ） （4 分）3n*N（2 ）由 ，得 ，3816221naSn )1(3)14()4(1 nSnS故 ，即数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，（2 分）3
13、41n Sn1b所以， ，令 ， ，得 ， )1(nbSn 2354121343b若 为等差数列，则 ，解得 （4 分）n2b1当 时， ， ， 为等差数列1bSn3478nn所以，当 时，数列 为等差数列 （6 分）n（3 ） ， ，先证数列 满足题意，即证此数列中的任何一项都是数列342an*N15nnc中的项 （2 分）21n令 ，则只需证 即可 （3 分）3451m*此时， ，故 （6 分）1)51(5432nnnm *Nm所以，此数列 中的第 项是数列 中的第 项（7 分）nc2na1)5(2n（也可以用数学归纳法证明 能被 整除，证明如下）35n4 当 时， ，能被 整除； （4 分）1n8n 假设当 （ ）时结论成立，即 能被 整除，k*N35k4那么当 时， ，12)(351kk因为 与 都能被 整除，所以 也能被 整除，35k24即 时，结论也成立 （6 分）1n由、知，当 时， 能被 整除 （7 分）*N35n4因此，以 为首项， ， ， ， ，为公比的无穷等比数列均满足题意，命题得证52k（8 分）（注：还可由 ，用二项展开式证明能被 整除）3)14(nn 4（一
