1、第 14 章 稳恒电流的磁场14.1 充满 r = 2.1 电介质的平行板电容器，由于电介质漏电，在 3min 内漏失一半电量，求电介质的电阻率解：设电容器的面积为 S，两板间的距离为 l，则电介质的电阻为 设 t 时刻电容lRS器带电量为 q，则电荷面密度为 = q/S，两板间的场强为 E = / =q/r0S，电势差为 U = El =ql/r0S，介质中的电流强度为，负号表示电容器上的电荷减少0d1rUtR微分方程可变为 ，积分得 ，0drqt0lnrtqC设 t = 0 时，q = q m，则得 C = lnqm，因此电介质的电阻率的公式为ln(/)rt当 t = 180s 时，q =
2、 q m/2，电阻率为 =1.41013(m)128.40.ln14.2 有一导线电阻 R = 6，其中通有电流，在下列两种情况下，通过总电量都是 30C，求导线所产生的热量（1）在 24s 内有稳恒电流通过导线；（2）在 24s 内电流均匀地减少到零解：（1）稳恒电流为 I = q/t = 1.25(A)，导线产生的热量为 Q = I2Rt = 225(J)（2）电流变化的方程为 ，12.5()4it由于在相等的时间内通过的电量是相等的，在 i-t 图中，在 024秒内，变化电流和稳恒电流直线下的面积是相等的在 dt 时间内导线产生的热量元为 dQ = i2Rdt，在 24s 内导线产生的热
3、量为=300(J)24242001.5()QiRtt 24301.564()t14.3 已知铜的相对原子质量 A = 63.75，质量密度 = 8.9103kgm-3（1）技术上为了安全，铜线内电流密度不能超过 6Amm-2，求此时铜线内电子的漂移速度为多少？（2）求 T = 300K 时，铜内电子热运动平均速度，它是漂移速度的多少倍？解：（1）原子质量单位为 u = 1.6610-27(kg)，一个铜原子的质量为 m = Au = 1.05810-25(kg)，铜的原子数密度为 n = /m = 8.411028(个m -3)，如果一个铜原子有一个自由电子，n 也是自由电子数密度，因此自由电
4、子的电荷密度为 e = ne = 1.341010(Cm-3)铜线内电流密度为 = 6106(Am-2)，根据公式 = ev，得电子的漂移速度为 v = e/ = 4.4610-4(ms-1)（2）将导体中的电子当气体分子，称为“电子气” ，电子做热运动的平均速度为，8ekTvm其中 k 为玻尔兹曼常数 k = 1.3810-23JK-1，m e 是电子的质量 me = 9.1110-31kg，可得 rSq -qlI24ot/si/A1.252.5= 1.076105(ms-1)，对漂移速度的倍数为 /v = 2.437108，v可见：电子的漂移速率远小于热运动的速度，其定向运动可认为是附加在
5、热运动基础上的运动14.4 通有电流 I 的导线形状如图所示，图中 ACDO 是边长为 b 的正方形求圆心 O 处的磁感应强度 B = ？解：电流在 O 点的产生的磁场的方向都是垂直纸面向里的根据毕- 萨定律： ，圆弧上的电流元与到 O 点的矢径垂直，在 O02d4IrlB点产生的磁场大小为 ，由于 dl = ad，积分得124IladLB3/0038IOA 和 OD 方向的直线在 O 点产生的磁场为零在 AC 段，电流元在 O 点产生的磁场为，022sin4Ilr由于 l = bcot( - ) = -bcot，所以 dl = bd/sin2；又由于 r = b/sin( - ) = b/s
6、in，可得 ，积分得0sin4IB3/4022dsinLIB3/40/2(co)8Ib同理可得 CD 段在 O 点产生的磁场 B3 = B2O 点总磁感应强度为 001284IIa14.5 如图所示的载流导线，图中半圆的的半径为 R，直线部分伸向无限远处求圆心 O 处的磁感应强度 B = ？解：在直线磁场公式 中，令 1 = 0、 2 = 012(cos)4IBR/2，或者 1 = /2、 2 = ，就得半无限长导线在端点半径为 R 的圆周上产生的磁感应强度 0I两无限长半直线在 O 点产生的磁场方向都向着 -Z 方向，大小为 Bz = 0I/2R半圆在 O 处产生的磁场方向沿着 -X 方向，
7、大小为 Bx = 0I/4RO 点的磁感应强度为 042xzIBikik场强大小为 ，与 X 轴的夹角为2204xzIBRarctnarctzx14.6 如图所示的正方形线圈 ABCD，每边长为 a，通有电流 I求正方形中心 O 处的磁感应强度 B = ？解：正方形每一边到 O 点的距离都是 a/2，在 O 点产生的磁场大小相等、方向相同以 AD 边为例，利用 直线电流的磁场公式：，012(cos)4IBRI CObaDA图 14.4lrIdlIdl CObaDAXYRIZo图 14.5IODB CA图 14.6令 1 = /4、 2 = 3/4、R = a/2，AD 在 O 产生的场强为 ，
8、02ADIBaO 点的磁感应强度为 ，方向垂直纸面向里024ADIB14.7 两个共轴圆线圈，每个线圈中的电流强度都是 I，半径为 R，两个圆心间距离 O1O2 = R，试证：O 1、O 2 中点 O 处附近为均匀磁场证：方法一：用二阶导数一个半径为 R 的环电流在离圆心为 x 的轴线上产生的磁感应强度大小为：203/()IBx设两线圈相距为 2a，以 O 点为原点建立坐标，两线圈在 x 点产生的场强分别为， 013/()IR2023/()IRBa方向相同，总场强为 B = B1 + B2一个线圈产生的磁场的曲线是凸状，两边各有一个拐点两个线圈的磁场叠加之后，如果它们相距太近，其曲线就是更高的
9、凸状；如果它们相距太远，其曲线的中间部分就会下凹，与两边的峰之间各有一个拐点当它们由远而近到最适当的位置时，两个拐点就会在中间重合，这时的磁场最均匀，而拐点处的二阶导数为零设 k = 0IR2/2，则 223/223/11()()BkRaxRax对 x 求一阶导数得，225/d3()Bax225/()求二阶导数得 ，2227/4()kxRx227/4()axR在 x = 0 处 d2B/dx2 = 0，得 R2 = 4a2，所以 2a = Rx = 0 处的场强为 3/()038165Ik方法二：用二项式展开将 B1 展开得20123/2IRax2023/ 23/()1()/()IRaxRa设
10、 ，则 同理， 03/()Ik/1xk23/21xBk当 x 很小时，二项式展开公式为 ()().nx将 B1 和 B2 按二项式展开，保留二次项，令 R2 - 4a2 = 0，即 a = R/2，得，可知：O 点附近为均强磁场003/285()IRIka14.8 将半径为 R 的无限长导体圆柱面，沿轴向割去一宽为 h(h R2)（2）在圆柱和圆筒之间离轴线 r 处作一径向的长为 l = 1、宽为 dr 的矩形，其面积为 dS = ldr = dr，方向与磁力线的方向一致，通过矩形的磁通量为 d = BdS = Bdr，总磁通量为 210021dlnRIIr14.19 在 XOY 平面内有一载
11、流线圈 abcda，通有电流 I = 20A，bc 半径 R = 20cm，电流方向如图所示线圈处于磁感应强度 B = 8.010-2T 的均强磁场中，B 沿着 X 轴正方向求：直线段 ab 和 cd 以及圆弧段 bc 和 da 在外磁场中所受安培力的大小和方向解：根据右手螺旋法则，bc 弧和 cd 边受力方向垂直纸面向外，da 弧和 ab 边受力方向垂直纸面向里由于对称的关系，ab 边和 cd 边所受安培力的大小是相同的，bc 弧和 da 弧所受安培力的大小也是相同的ab 边与磁场方向的夹角是 = 45，长度为 l = R/sin，所受安培力为Fab = |IlB| = IlBsin= IR
12、B = 0.32(N) = Fcd在圆弧上取一电流元 Idl，其矢径 R 与 X 轴方向的夹角为 ，所受力的大小为dFbc = |IdlB| = IdlBsin，由于线元为 dl = Rd，所以 dFbc = IRBsind，因此安培力为= IRB = 0.32(N) = Fda/20/20sin(cos)bc 14.20 载有电流 I1 的无限长直导线旁有一正三角形线圈，边长为 a，载有电流 I2，一边与直导线平等且与直导线相距为 b，直导线与线圈共面，如图所示，求 I1 作用在这三角形线圈上的力解：电流 I1 在右边产生磁场方向垂直纸面向里，在 AB 边处产生的磁感应强度大小为 B = 0
13、I1/2b，作用力大小为 FAB = I2aB = 0I1I2a/2b，方向向左三角形的三个内角 = 60，在 AC 边上的电流元 I2dl 所受磁场力为 dF = I2dlB，两个分量分别为 dFx = dFcos，dF y = dFsin，与 BC 边相比，两个 x 分量大小相等，方向相同；两个 y 分量大小相等，方向相反由于 dl = dr/sin，所以 dFx = I2drBcot，积分得sin012cot1baxIFr01cotsinlba0123/ln6Iba作用在三角形线圈上的力的大小为F = FAB 2Fx ，方向向左0123/(l)Iabb14.21 载有电流 I1 的无限长
14、直导线，在它上面放置一个半径为 R 电流为 I2 的圆形电流线圈，长直导线沿其直径方向，且相互绝缘，如图所示求 I2 在电流 I1 的磁场中所受到的力解：电流 I1 在右边产生磁场方向垂直纸面向里，右上 1/4 弧受力向右上方，右下 1/4 弧受力向右下方；电流 I1 在左边产生磁场方向垂直纸面向外，左上 1/4 弧受力向右下方，左下 1/4 弧受力向右上方因此，合力方向向右，大小是右上 1/4 弧所受的向右的力的四倍电流元所受的力的大小为 dF = I2dlB，其中 dl = Rd，B = 0I1/2r，而 r = Rcos，CI2ybAxao1BI1图 14.20rI1oRI2图 14.2
15、1所以向右的分别为 dFx = dFcos = 0I1I2d/2，积分得，/2014I电流 I2 所受的合力大小为 F = 4Fx = 0I1I2，方向向右14.22 如图所示，斜面上放有一木制圆柱，质量 m = 0.5kg，半径为 R，长为 l = 0.10m，圆柱上绕有 10 匝导线，圆柱体的轴线位导线回路平面内斜面倾角为 ，处于均匀磁场 B = 0.5T 中，B 的方向竖直向上如果线圈平面与斜面平行，求通过回路的电流 I 至少要多大时，圆柱才不致沿斜面向下滚动？解：线圈面积为 S = 2Rl，磁矩大小为 pm = NIS，方向与 B 成 角，所以磁力矩大小为 Mm = |pmB| = p
16、mBsin = NI2RlBsin，方向垂直纸面向外重力大小为 G = mg，力臂为 L = Rsin，重力矩为 Mg = GL = mgRsin，方向垂直纸面向里圆柱不滚动时，两力矩平衡，即 NI2RlBsin = mgRsin，解得电流强度为 I = mg/2NlB = 5(A)14.23 均匀带电细直线 AB，电荷线密度为 ，可绕垂直于直线的轴 O 以 角速度均速转动，设直线长为 b，其 A 端距转轴 O 距离为 a，求：（1）O 点的磁感应强度 B；（2）磁矩 pm；（3）若 ab，求 B0 与 pm解：（1）直线转动的周期为 T = 2/，在直线上距 O 为 r 处取一径向线元 dr
17、，所带的电量为 dq = dr，形成的圆电流元为 dI = dq/T = dr/2，在圆心 O 点产生的磁感应强度为 dB = 0dI/2r = 0dr/4r，整个直线在 O 点产生磁感应强度为，如果 0，B 的方向垂直纸面向外001ln44ababBr（2）圆电流元包含的面积为 S = r2，形成的磁矩为 dpm = SdI = r2dr/2，积分得23d()6abmp如果 0，p m 的方向垂直纸面向外（3）当 ab 时，因为， 所以 0ln(1)(.)44bBa04bBa336mp3 223()614.24 一圆线圈直径为 8cm，共 12 匝，通有电流 5A，将此线圈置于磁感应强度为
18、0.6T 的均强磁场中，求：（1）作用在线圈上的电大磁力矩为多少？（2）线圈平面在什么位置时磁力矩为最大磁力矩的一半解：（1）线圈半径为 R = 0.04m，面积为 S = R2，磁矩为 pm = NIS = R2NI，磁力矩为 M = pmBsin当 = /2 时，磁力矩最大Mm = pmB = R2NIB = 0.18(Nm)BoG图 14.22BAboa图 15.23（2）由于 M = Mmsin，当 M = Mm/2 时，可得 sin = 0.5， = 30或 15014.26 一个电子在 B = 2010-4T 的磁场中，沿半径 R = 2cm 的螺旋线运动，螺距 h = 5cm，如
19、图所示，求：（1）电子的速度为多少？（2）B 的方向如何？解：电子带负电，设速度 v 的方向与磁力线的负方向成 角，则沿着磁力线方向的速度为 v1 = vcos，垂直速度为 v2 = vsin由 R = mv2/eB，得 v2 = eBR/m由 h = v1T，得 v1 = h/T = heB/2m，因此速度为 = 7.75106(ms-1)；222()eBhRm由 = 2.51，得 = 68.3 = 681821tanv14.27 一银质条带，z 1 = 2cm，y 1 = 1mm银条置于 Y 方向的均匀磁场中 B = 1.5T，如图所示设电流强度 I = 200A，自由电子数 n = 7.41028 个m -3，试求：（1）电子的漂移速度；（2）霍尔电压为多少？解：（1）电流密度为 = v，其中电荷的体密度为 = ne.电流通过的横截面为 S = y1z1，电流强度为 I =S = neSv，得电子的漂移速度为=8.4510-4(ms-1)2897.410.60.2IvneS（2）霍尔系数为= 8.4410-11(m3C-1)，2819HR霍尔电压为= 2.5310-5(V)10.5.4IBUyYXy1oBIZz1图 15.27Rh图 15.26
