1、2017 届福建省厦门第一中学高三高考考前模拟考试数学（理）试题第卷一、选择题：本题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）|Axa2|30BxABaA B C D1a1a2a2.已知 为实数， 为虚数单位，若复数 ，则“ ”是“复数 在复平面上对应的点在第mi 1mizz四象限”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件3.运行如图所示的程序框图，则输出结果为（ ）A. 2017 B. 2016 C. 1009 D10084. 的展开式中 的奇数次幂项的系数之
2、和为 32，则 的值为（ ）4()1axxaA.-3 B3 C.-5 D55.某校开设 类选修课 3 门和 类选修课 4 门，一位同学从中任选 3 门，则两类课程都有选的概率为（ A）A B C. D675737176.不等式组 的解集记为 ，命题 ， ，命题 ，34yxD:(,)pxy25y:(,)qxyD，则下列命题为真命题的是（ ）2xyA. B C. D.pq()pq()pq7.我国古代数学家祖暅提出的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异” （“幂”是截面积， “势”是几何体的高） ，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知某不规则几何体与三视图（如图所示
3、）所表示的几何体满足“幂势既同” ，则该不规则几何体的体积为（ ）A B C D828424838.函数 的图象大致是（ ）1()cosxefA B C. D9.在底面为正方向的四棱锥 中， ，异面直线 与 所成的角为 ，SACDSBCSADSC60，则四棱锥 的外接球的表面积为（ ）2BA. B C. D68121610.双曲线 的右焦点为 ， 为其左支上一点，线段 与双曲线的一条渐近线21(0,)xyabFBBF相交于 ，且 ， （ 为坐标原点） ，则双曲线的离心率为（ ）A)OFA2OA B2 C. D35711.将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，若函数 在区间 和()co
4、sfx6()gx()gx0,3a上均为单调递增，则实数 的取值范围是（ ）72,6aaA. B C. D3,2,33,4812.若曲线 与曲线 存在公共切线，则 的取值范围为（ ）21:(0)Cyax2:xCyeaA B C. D2(0,8e,42,)82,)4e第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答.第（22） 、 （23）题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知向量 ， 满足 ， ， ，则向量 在向量 方向上的投影是 ab|1|2b|2abba14.已知 ， ，则 = 7cos25
5、(,)sinco15.已知等腰梯形 的顶点都在抛物线 上，且 ， ， ，ABCD2(0)ypx/ABCD24，则点 到抛物线的焦点的距离是 6016.已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，abc2sin()siniaAbB，则 = .abc三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知 为数列 的前 项和，且满足 .nSna24nSa（1）证明 为等比数列；（2）设数列 的前 项和 ，比较 与 的大小.nTn2518.如图，四边形 为菱形，四边形 为平行四边形，设 与 相交于点 ，ABCDACFEBDACG， ， .（1）证明：平面 平面 ；（2）若 与AB3EB
6、FEAE平面 所成角为 ，求二面角 的余弦值.60D19.某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过 300）空气质量指数 (0,5(0,1(50,1(50,2(0,25(0,3空气质量等级 1 级优 2 级良 3 级轻度污 4 级中度污 5 级重度污 6 级严重污染 染 染 染该社团将该校区在 2016 年 100 天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，吧该直方图所得频率估计为概率.（1）请估算 2017 年（以 365 天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算） ；（2）该校
7、2017 年 6 月 7、8、9 日将作为高考考场，若这三天中某天出现 5 级重度污染，则当天需要净化空气费用 10000 元，出现 6 级严重污染，则当天需要净化空气费用 20000 元，记这三天净化空气总费用元，求 的分布列及数学期望.X20. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为椭圆 的右顶点， ， 分:E21(0)xyab1F2AEBC别为椭圆 的上、下顶点.线段 的延长线与线段 交于点 ，与椭圆 交于点 .（1）若椭圆的离2CFABMP心率为 ， 的面积为 12，求椭圆 的方程；（2）设 ，求实数 的最小值.21PE21CFCFS21. 函数 ， .（1）讨论 的极值点的个数；（
8、2）若2()lnfxxa()R23(xge()fx对于 ，总有 .（i）求实数 的取值范围；（ ii）求证：对于 ，不等式0()fga0成立.2(12xeex22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点 的极坐标为Ox M，圆 的参数方程为 （ 为参数） ， （1 ）直线 过 且与圆 相切，求直线(32,)4C12cos,inylC的极坐标方程；（2）过点 且斜率为 的直线 与圆 交于 ， 两点，若 ，l (0,)Pm3lCAB|6PAB求实数 的值.m23. 选修 4-5：不等式选讲.已知函数 .（1）当 时，函数 的最小值
9、为 4，求实数 的值；()2|1|fxxa()R2a()fxa（2）若对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.,43fx2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题1-5:CBDAA 6-10:CBCBC 11、12：AD二、填空题13.-1 14. 15. 16.2157312三、解答题17.解：（1）注意到 时， ， 时原式转化为：1n4Sn，即 ，所以 ，12()4nS12n 12()2nnSS所以 为首项为 4，公比为 2 等比数列.（2）由（1）知： ，所以 ，1nnS1n于是 ，231()nnT (2)n.41)38所以 ，25nT3225nn1()8
10、n因为 ，所以 即 ，当且仅当 时取等号.120n2nT118.解：（1）证明：连接 ， 四边形 为菱形，EGABCD， ， ，在 和 中，ADBACE， ， ，,， ，E, 平面 ，ACGBAFE平面 ， 平面 平面 .BDCBD（2 ）过 作 垂线，垂足为 ，连接 ，GEFM,BGD易得 为 与面 所成的角， ，ACBD60EAC， 平面 ，,为二面角 的平面角，DMBEF可求得 ， ，在 中由余弦定理可得： ，32G132BMB5cos13BMD二面角 的余弦值为 .519.解：（1）由直方图可估算 2017 年（以 365 天计算）全年空气质量优良的天数为（天）.(0.2)3650.1
11、9.0（2 ）由题可知： 的所有可能取值为： 0，10000，20000，30000，40000，50000，60000 .X则： ， ，34()(2P1234()()51PC，01233)(1050C870，321(30)(0PXC3214950，34)327()， .2(5)(1 316)(0PX的分布列为，X0 10000 20000 30000 40000 50000 60000P64125271549027103018EX03（元）734006=920.解：（1）同法一可知所以 是等腰直角三角形，由勾股定理知，12FC解得，2221|PFCP2|(|)aP2211|(3|)FaPF，
12、 ， ，15a|32| 4|3则 ，即 ， .14PFCS21829b所以椭圆 的方程为 .E9xy（2）设 ，因为直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，(,)yABbyxaPCbyxa所以联立方程解得 .2(,)acbM因为 ，所以 ，所以 ，11CFCPFS|CPM所以 ，所以 ， ，2(,)(,)acbxyb2()acx()bacy代入椭圆 的方程，得 ，E22241()()caac即 ，224()ca所以 ，1()e22(1)1ee=2因为 所以 ，所以当且仅当 即 时，0e1取到最小值 .221. 解：由题意得 ，令 ，1()fxa21(0)x24a（1）当 ，即 时， 对 恒成立，2
13、40a2x即 对 恒成立，此时 没有极值点；1()xfx()f（2）当 ，即 或 ，240a2a 时，设方程 两个不同实根为 ，不妨设 ，21x12,x12x则 ， ，故 ，12x2210x或 时， ；在 时 ，2x()0f()fx故 是函数 的两个极值点.12,x 时，设方程 两个不同实根为 ，a21xa12,x则 ， ，故 ， ，120x202x0时， ；故函数 没有极值点.()fx()f综上，当 时，函数 有两个极值点；a当 时，函数 没有极值点.2()fx22.解：（1） 的直角坐标为 ，圆 的直角坐标方程为 ，M(3,)C2(1)4xy设直线 ，即 ，:3()lykx:30lkxy因
14、为直线 与圆 相切，所以 ，解得 ，lC2|1512k此时直线 的方程为 ，l50xy若直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，l3x所以直线 的极坐标方程为 或 .lcos12in0cos3（2）将直线 的参数方程 （ 时参数）代入圆 的方程 ，l,32xtymC2(1)4xy得： ， ，22(31)30tmt2(31)4(3)m2310m设 ， ，则 ，因为 ，所以 ，PA2B21t|6PAB 21|6t所以 ，解得 ，26由 知，所求 的值为-3.023. 解：（1）将函数分段为：因为 所以当且仅当 时，42,(),1axfax12ax.由题意得 ，即 .min()2fxa24a2a（2）当 时 恒成立 恒成立，1,4()3fx|x若 ，不等式恒成立，此时 ；xR若 ， 或 ，|2|2aa2()ax即 或 在 恒成立，所以 或 ，ax3x,4410综上知，所求实数 的取值范围是 .(10,)
