1、甘肃省西北师范大学附属中学 2017 届高三下学期第四次校内诊断考试数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 （ ）12xA082xBBAA B C D0x44x2x2. 若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则复数 的模为（ ）z1ii zA B C D222243. 下列 4 个命题中正确的个数是（ ）（1）对于命题 ，使得 ，则 都有Rxp0: 012xRxp:012（2）已知 X2,.5NP（3）已知回归直线的斜率的估计值是 2，样本点的中心为 ，则回归直线
2、方程为5,432xy（4） “ ”是“ ”的充分不必要条件1x1xA1 B2 C3 D4 4.已知函数 ，直线 是它的一条对称轴，且 是离该轴最近sin0,f6x 0,23的一个对称中心，则 （ ）A B C. D432435.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 （ ）A14 B15 C.16 D176.某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则三棱锥的体积为 （ ）A32 B C. D7327647167. 设 满足约束条件 若 ，则 仅在点 处取得最大值的概率为（ yx,01xy9,2ayaxz34,7）A B C. D191716158. 已知 为 的三个角 所对的边，
3、若 （ ）cba,AC,BCACBcCbsin:,os31os3A B C. D3:23:4:2:9.已知 是实数，若圆 与直线 相切，则 的取值范围是 （ ,1122yx0yxaba）A B 2,2,22,C. D,10. 过椭圆 的左焦点 作斜率为 1 的直线交椭圆于 两点，若向量 与向量012bayxFBA,OAB共线，则该椭圆的离心率为（ ）3,1aA B C. D36433211. 中国诗词大会 （第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若将进酒 山居秋暝 望岳 送杜少府之任蜀州和另确定的两首词排在后六场，且将进酒排在望
4、岳的前面， 山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ）A144 种 B288 种 C.360 种 D720 种12.若函数 在其定义域的一个子区间 内不是单调函数，则实数 的取值范围是 xxfln21,kk（ ）A B C. D23k21k231k23k第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.设 ，则二项式 的展开式中含 项的系数为 0sincodxa 61xa2x14.观察下列式子 ， ， ， ，3,1yf793,22yf 1375,3yf 23817,44yxxf根据以上事实，由归纳推理可得，当 时， Nnxfn,
5、15.垂直于直线 并且与曲线 相切的直线方程是 0162yx 532y16.若函数 对定义域内的任意 ，当 时，总有 ，则称函数 为单调函数，例f 21,x21xff 21xxf如函数 是单纯函数，但函数 不是单纯函数，下列命题：xff函数 是单纯函数；2log,1f当 时，函数 在 是单纯函数；axaf12,0若函数 为其定义域内的单纯函数， ，则xf 21x21xff若函数 是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在 使其导数 ，其中正f 0x0xf确的命题为 （填上所有正确的命题序号）三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 1
6、7.已知数列 是公差为 2 的等差数列，数列 满足 ，若 时， . nanb21,1bNnnnbba1（1）求 的通项公式；b（2）设 ，求 的前 项和 .1nacncnS18.如图：直三棱柱 中， ， 为 中点. 1CBA90DBCA,21A（1）求证： 平面 ；1BC DA1（2）求二面角 的正切值.19.拖延症总是表现在各种小事上，但日积月累，特别影响个人发展，某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生进行“是否有明显拖延症”的调查中，随机发放了 110 份问卷.对收回的 100 份有效问卷进行统计，得到如下 列联表： 2有明显拖延症 无明显拖延症 合计男 352560女 0104合计 6
7、31（1）按女生是否有明显拖延症进行分层，已经从 40 份女生问卷中抽取了 8 份问卷，现从这 8 份问卷中再随机抽取 3 份，并记其中无明显拖延症的问卷的份数为 ，试求随机变量 的分布列和数学期望；XX（2）若在犯错误的概率不超过 的前提下认为无明显拖延症与性别有关，那么根据临界值表，最精确的P的值应为多少？请说明理由.P附：独立性检验统计量 ，dbcabnk22 dcban02kP5.15.010.05.025.32.172.76.841.34.20.已知椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆 过点 ，直线 交 轴于0:2bayxC12F、 C2,P1PFy点 ，且 , 为坐标原点. QOPF2（
8、1）求椭圆 的方程；（2）设 是椭圆 的上顶点，过点 分别作直线 交椭圆 于 两点，设这两条直线的斜率分MCMBA,CBA,别为 ，且 ，证明：直线 过定点.21,k21kB21.设函数 .Raxxfln（1）讨论函数 的单调性 .f（2）若 有两个极值点 ，记过点 的直线斜率为 ，问：是否存在 ，使得xf 21,x21,xfBxfAka？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.aka请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.设函数 .21xxf（1）求不等式 的解集；f（2） ，使 ，求实数 的取值范围.Rxtxf21t23.若以直角坐标系 的 为极点
9、， 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线 的极坐标Oyx C方程是 .2sinco6（1）若曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；C（2）若直线 的参数方程为 （ 为参数）当直线 与曲线 相交于 两点，求 .ltyx32lCBA,试卷答案一、选择题1-5:CADBC 6-10:DBCBB 11、12：AD二、填空题13. 12 14. 15. 16.123nyn 063yx三、解答题17.解（） ，nnbba1当 时， .1n12 ，1,b ，13a又 是公差为 2 的等比数列，n ，1a则 ，nbn2化简，得 ，即 ，121n所以数列 是以 1 为首项，以 为公
10、比的等比数列，所以nb12nb（）由（）知， ，所以 ，2na 3213121 nnaCn所以 7531321ccSn32.96n18.（）证明：连接 交 于 点，连接 ，则 为 的中点，1ACODO1AC 为 中点， ，DBDB又 平面 平面 ，O1,1 平面 .1C A1（）解：以 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，xCBy1z直三棱柱 中， 为 中点.1CBA DBCA,2,901 A.12,AB设二面角 的大小为 ，则D1平面 的法向量是C0,1n ， .2,0,13costan2二面角 的正切值是 .ACD119.解：（1）从 40 份女生问卷中抽取了 8 份问卷，有明
11、显拖延症 6 人.无明显拖延症 2 人.则随机变量 ； ,210X3684015CP28153CXP8316CXP分布列为X 0 1 2P 15428583.3281540E（2） 90.4603k由表可知 ；.9.7. 01P20.解：（1）椭圆 过点 ， ，C21,P21ab , ，则 ，2PFQO21Fc ，1ab由得 ，2,椭圆 的方程为 .C12yx（2）当直线 的斜率不存在时，设 ，则 ，由 得 ，AB0,yxA0,yxB21k2100xy得 .10x当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ， ， ，B1mkxy1,yxA2,yB.024212kmxmkxy得 ， ，2214221.1
12、2ykx2112xxmkkx即 .211mk4由 ， ，1m11mkk即 ，xxyxy故直线 过定点 .AB1,21.解：（） 定义域为 ，xf,0，221 axf令 ，4,xg当 时， ， ，故 在 上单调递增，2a0xfxf,0当 时， ， 的两根都小于零，在 上， ，g,0xf故 在 上单调递增，xf,0当 时， ， 的两根为 ，2a0xg 24,2421 axax当 时， ；当 时， ；当 时， ；10xf120f0xf故 分别在 上单调递增，在 上单调递减. f,02x21,x（）由（）知， ，a因为 .21212121 lnxaxxfxf 所以 ,12 2121lffk又由（1）知
13、， ，于是 ，12x21lnxak若存在 ，使得 ，则 ，即 ，aakln21x 2121lx亦即 （ ）0ln22xx再由（）知，函数 在 上单调递增，tthln,0而 ，所以 ，这与（ ）式矛盾，12x 12l21xx 故不存在 ，使得 .aak22.解：（1） 2,31,xxf当 ， 2x2,5x当 ， ， 131,x12x当 ， ，x,综上所述 .51x或（2）由（1）得 ，若 恒成立，min2ftxfR21,则只需 ，in51tfx5051tt综上所述 .2t23.解：（1） ， ，26cosinp2sin6cos曲线 的直角坐标系方程为 ，曲线为以 为焦点，开口向右的抛物线.Cxy0,23（2）直线 的参数方程可化为 ，代入 得 .lty231xy60124t解得 .6,21tt .8AB
