1、2017 届湖南省长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学高三第二次联考数学（理）试题一、选择题1 若复数 满足 ，则复数 在复平面对应的点位于（ ）z12izA. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】试题分析：由题意可知， ，所以1212iiz，故选 B.11322zii2 函数 （ 为自然对数的底数）的零点所在区间是（ ）lnxfeA. B. C. D. 10,e,1,e【答案】A【解析】由于在区间 ， 是增函数， 接近 时， 0,lnxfx0所以， ，又ln,1xe lnfe，由函数零点存在定理可知，函数 的零l0ef lxf点所在的区间是 ，故选 .1,
2、A【考点】指数函数、对数函数的性质，函数零点存在定理.3 设 ， 是两个不同的平面， 是直线且 ，则“ ”是 ll/“ ”的（ ）/lA. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由两平面平行的性质定理可知充分性满足，但必要性不满足.4 设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则X24,N()0.3PXm（ ）(8)PmA. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 与 的值有关【答案】C【解析】试题分析：因为随机变量 服从正态分布 ，所以曲线关于 对X24,N4x称，所以 ，所以 ，故选 C.()(8)0.3PXm(8)0
3、.7PXm5 中心在坐标原点的双曲线 的两条渐进线与圆 相切，则双C23xy曲线的离心率为（ ）A. 2 B. C. D. 2 或33【答案】D【解析】试题分析：由题意可知，双曲线的焦点可以在 轴上，也可以在 轴上，故xy选 D.6 已知函数 与直线 相交，若在 轴右侧的交2sincos2yxx12y点自左向右依次记为 ， ， ，则 等于（ ）1M31MA. B. C. D. 1367【答案】A【解析】试题分析：由题意可知， ，所以与直线 相交可得2sincos2cosin2yxxxx 12y，由此可知123511,MM .121126点睛：本题一方面要注意应用诱导公式来化简；另一方面就是结合
4、图像 、 之间1M相差了五个周期即 ，而 ,故 . 512123126537 曲线 与 围成封闭区域（含边界）为 ，直线xyx与区域 有公共点，则 的最小值为（ ）3ybbA. 1 B. C. D. 71【答案】D【解析】试题分析：由 可得 ，xy1,0,(1,0)xyyx画出封闭区域 ，可知当直线 过 的交点 时， 3b2567.min1b8某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 的值是（ ）SA. 3024 B. 1007 C. 2015 D. 2016【答案】A【解析】试题分析： ，开始循环， ，判断是， 1,0kS10,1aS， ，判断是， ， 2k 3k，判断是， ， 301,2aS
5、 4，判断是，根据三角函数的周期性，4 104周期为 ，所以每 项加起来的值为 . 时还要循环一次就退出程序，故一共46215k有 项相加， 所以和为 .201625*304【考点】算法与程序框图.9 如图，正方形 中， 、 分别是 、 的中点，若ABCDMNBCD，则 （ ）ACMNA. 2 B. C. D. 83658【答案】D【解析】试题分析：取向量 作为一组基底，则有,ABC，所以1122AMBNBCA12C BC 又 ，所以 ，即 .ACB1,12628,5510 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥各个侧面中，最大的侧面面积为（ ）
6、A. 2 B. C. 3 D. 45【答案】C【解析】试题分析：根据三视图可知，给几何体可以有棱长为 2 的正方体切割而来即四棱锥 OABCD,A、 D 为棱的中点,所以最大的侧面面积为 ,故选 B.5OADS点睛：根据三视图的特点，把几何体镶嵌到正方体、长方体中，是是一种常见的方法.11 已知抛物线 ： 和动直线 ： （ ， 是参变C2(0)ypxlykxb量，且 ， ）相交于 ， 两点，直角坐标系原点为0kb1,Ay2,B，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，若 恒成立，则OAOBOk3OABk当 变化时直线 恒经过的定点为（ ）lA. B. C. D. 3,0p23,0p3,0p2,0p【答
7、案】D【解析】试题分析：由 可得 ，则2yxkb22pkbx， ，所以122pbxk21bxk，又 即2212111pbyxkxbxk3OAB，所以代入整理可得 ，直线方程可化为121230yx23pbk，故选 D.kp点睛：本题主要考查了直线和抛物线的位置关系，其中特别要注意的是对斜率乘积的转化和根与系数关系的应用.12已知函数 ，点 是函数 图像上不同 两点，则219,0()xfe,AB()fx（ 为坐标原点）的取值范围是（ ）AOBA B C D(0,)4(0,4(0,)3(0,3【答案】A【解析】试题分析：当 x0 时，由 得 ， （x0） ，此时对应219yx21y的曲线为双曲线，双
8、曲线的渐近线为 y=-3x，此时渐近线的斜率 =-3，k当 x0 时， ，当过原点的直线和 f（x）相切时，设切点为1xfe，1,ae函数的导数 ， 11xxxfee则切线斜率 ， 12ak则对应的切线方程为 ，1ayeex即 ，11aayex当 x=0，y=0 时， ，110aae即 ，21aee即 ，得 a=1，此时切线斜率 ，2k则切线和 y=-3x 的夹角为 ，则 ，则 ，32tan14故AOB（O 为坐标原点）的取值范围是 (0,)【考点】分段函数的应用二、填空题13 的展开式中， 的系数是_512x2x【答案】120【解析】试题分析：在 的展开式中能产生 的项为512x2x,所以在
9、这几项的展开式中 的系数和为413552,2Cx 2.1305452812014 设 表示不大于 的最大整数，集合 ， xx2|3Ax，则 _BAB【答案】 3,4【解析】试题分析：由 可得， ， ，所以2|3x3x1，又 ，所以/-10Ax或 /8/xB.3,4B15已知 是函数 在 内的两个零点，则12,x2sincosfxxm0,212sin.【答案】 5【解析】试题分析：因为 ，其中（2sincos5sin(2)fxxmxm） ，由函数 在 内的两个零点，知方程21cos,in5()f0,在 内有两个根，即函数 与 的i()0xm,2y5sin(2)x图象在 内有两个交点，且 关于直线
10、 对称，所以,212,x42x ，所以 .12x12 5sin()sin()cos【考点】1、三角函数的图象与性质；2、辅助角公式.【方法点睛】函数图象的应用常与函数零点有关，一般为讨论函数 f(x)零点的个数或由零点(根)的个数求参数取值（范围） ， ，此时题中涉及的函数 f(x)的图象一般不易直接画出，但可将其转化为与 有一定关系的函数 和 的图象问题，且()fx()gxh和 的图象易得.()gxh16 已知在 中， ，则角 的最大值为_ ABC230BCA【答案】 6【解析】试题分析：如图所示，由题意可知 ,DE作 ，令 ，则 ，设F21Fx则 ， ，所以3tanBAxtanCAx 23
11、1tanta 23tt 1BACFx当且仅当 时， 取得最大值 .3xA6三、解答题17 已知数列 的前 项和为 ，且 nanS2na（）证明：数列 是等比数列，求数列 的通项公式；1（）记 ，求数列 的前 项和 11nnbanbnT【答案】 （） ;（） 212nnT【解析】试题分析：（）可利用 来消去 化简条件式，得aSnS到 ，从而再构造数列即可；（）列项相消法是数列求和的常用方1na法.试题解析：（）由 ，得 ，112aS1a当 时， ，即 ，2nnnnn12na所以 ，又因为 ，1a1所以数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，n所以 ， na（）由（）知， ，1111122n
12、nn nnnaba 则 11372n nnnT18 为了普及环保知识，增强环保意识，某校从理科甲班抽取 60 人，从文科乙班抽取 50 人参加环保知识测试优秀人数 非优秀人数 总计甲班乙班 30总计 60（）根据题目完成 列联表，并据此判断是否有 的把握认为环保知识29%成绩优秀与学生的文理分类有关（）现已知 ， ， 三人获得优秀的概率分别为 ， ， ，设随机ABC123变量 表示 ， ， 三人中获得优秀的人数，求 的分布列及期X X望 E附： ， 22nadbcKdnabcd20()Pk0.100 0.050 0.025 0.010 0.00502.706 3.841 5.024 6.635
13、 7.879【答案】 （）详见解析；（）【解析】试题分析：(1)古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；（2)当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合；求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（3）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（4)求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的
14、找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.试题解析：（）22 列联表如下优秀 非优秀 总计甲班 40 20 60乙班 20 30 50总计 60 50 110由 算得，22nadbcKd，22104307.86353所以有 99%的把握认为学生的环保知识成绩与文理分科有关 5 分（）设 成绩优秀分别记为事件 ，则,ABC,MNR11,23PNPR随机变量 的取值为 0，1，2，3 6 分X,09PxMNR1211413329 52 8x10 分13238PNR所以随机变量 的分布列为：XX 0 1 2 3PE(X) =0+1+2+3 =
15、 12 分【考点】22 列联表，概率，分布列及期望.19 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱 和一个正四棱锥ADEBCF组合而成， ， PABCDAF2（）证明：平面 平面 ；PADBFE（）求正四棱锥 的高 ，使得二面角 的余弦值ChCAFP是 23【答案】 （）见解析;（） 1【解析】试题分析：（）要证面面垂直只需证线面垂直，而要证线面垂直，又往往需要利用线面垂直的性质定理；（）利用（）建系后求法向量，要注意两个法向量夹角和二面角平面角关系，不要弄错符号. 试题解析：（）证明：正三棱柱 中， 平面 ，ADEBCFADE所以 ，又 ， ，ABDF所以 平面 ， 平面 ，EP所以平面 平面 PB（）由（）知 平面 ，以 为原点， ， ， 方向A为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 ，设正四棱锥 的高为xyzAxyzPBC， ，则 ， ， ， ， h2AED0,2,0F2,1,h， ， ,0FC1Ph设平面 的一个法向量 ，1,mxyz则 取 ，则 ，所以 12,0mAxyz111,m设平面 的一个法向量 ，则FP2,nxyz20,nAFxyPhz取 ，则 ， ，所以 21x2y21zh1,二面角 的余弦值是 ，CAFP3所以 ，21cos,mnh解得 1h
