1、衡阳市八中 2017 年高考适应考试试题文科数学一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）（1）设全集 1,357U，集合 1,A，则 UCA的子集的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D.4（2）命题 p: x, 0x的否定是（ ）A. 0, 0 B. 2x, 30xC. 2x, 3x D. 0, 0（3）在复平面内，复数 10i对应的点坐标为（ ）A （-1,3） B （3,1） C （1,3） D 31（4）在区间 ,4上随机选取一个数 x，则 1的概率为（ ）A. 15 B. 25 C. 35 D. 2（5）公比为 2 的等比数列 na的各项都是正数，且 3
2、16a，则 5a（ ）A. 1 B . 2 C.4 D.8（6）已知向量 ， 均为单位向量，若它们的夹角为 60，则 等于（ ）b 3bA. B. C. D. 471013（7）函数 的部分图象如图所示，若将 图象上所有的点sin(,0)2fxAwxfx的横坐标缩短为原来的 倍（纵坐标不变） ，得到函数 的图象，则 的解析式为（ ）2gxgA. B. sin1yxsin6yxC. D. i43i4（8）中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算 术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理” ， 若正整数N除以正整数 m后的余数为 n，则记为 (
3、mod)Nn，例如 12(mod3)现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的 n等于（ ）A. 21 B. 22 C. 23 D. 24（9）已知双曲线 ，直线 若直线 平行于双曲线 的一条渐近2:1(0,)xyCab:2lyxlC线且经过 的一个顶点，则双曲线 的焦点到渐近线的距离为（ ）CA. 1 B. 2 C. D. 45（10）函数 (0,)fxab在点 1,f处的切线斜率为 ，则 8的最小值是（ ）A. 10 B. 9 C. 8 D. 32（11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为（ ）A. B. C. D. （12）已知函数 与函数 的图象上恰有两对关
4、于 轴对2fxm1ln3,2gxxx称的点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 5ln2,45ln2,l45l,l4ln,二、填空题（本大题共 4 小题 ,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上. ）（13）某中学高中一年级、二年级、三年级的学生人数比为 ，现要用分层抽样的方法抽取一个容量5:43为 的样本，则所抽取的二年级学生的人数是 ；20（14）若实数 ,xy满足2045则 zyx的最小值为_ ；（15）已知数列 : , , , 1239010 ,na123234若 ，那么数列 的前 项和 为 ；1nnbanbnS（16）已知 是抛物线 上的动点， 在圆 上，
5、 P24yxQ22:31Cxy是 在 轴上的射影，则 的最小值是_RPR三、解答题（本大题共 6 小题 ,共 70 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）(17)（本小题满分 12 分）已知函数 ，其中 ， ， ()fxab(2cos,3in2)x(cos,1)bxR（）求函数 的周期和单调递增区间；y（）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ，ABCac()2fA7a且 ，求 的面积sin2iABC(18)（本小题满分 12 分）某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取 40 件产品作为样本，并称出它们的重量（单位：克） ，重量
6、值落在 495,10内的产品为合格品，否则为不合格品，统计结果如表：（）求甲流水线样本合格的频率；（）从乙流水线上重量值落在 50,1内的产品中任取 2 个产品，求这 2 件产品中恰好只有一件合格的概率(19)（本小题满分 12 分）如图，已知 PD垂直于以 AB为直径的圆 O所在平面，点 D在 线段AB上，点 C为圆 O上一点，且 3,2.PDAC（）求证: 平面 ;（）求点 A到平面 PBC的距离.(20)（本小题满分 12 分）已知椭圆 E的中心在坐标原点 O，焦点在 x轴上，椭圆 E的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆 上任意一点到两个焦点的距离之和为 2（）求椭圆 的标准方
7、程；（）若直线 :2lyxm与椭圆 E相交于 ,MN两点，求 O面积的最大值(21)（本小题满分 12 分）已知函数 2lnfa（）若 1，求函数 fx的极值；（）若 , ,2, 1,使得 23121fxmx（ 0） ，求实数 m的取值范围请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。(22)（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，曲线 1C的参数方程是 13cosinxy（ 为参数）.以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2C的极坐标方程为 1.（）分别写出 1C的极坐标方程和 2的直角坐标方程；（）若射线
8、 l的极坐标方程 (0)3，且 l分别交曲线 1、 2于 A、 B两点，求 A.(23)（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设函数 1()fxxaR（）当 a时，求不等式 0f的解集；（）若方程 fx只有一个实数根，求实数 的取值范围 .衡阳市八中 2017 考前适应试题文科数学一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）（1）设全集 ，集合 1,A，则 UCA的子集的个数是（ ）1,357UA. 1 B. 2 C. 3 D.4【答案】D（2）命题 p： 2x， 30x的否定是（ ）A. 0， 0 B. 2， 30xC. ， x D. 0， 0【答案】A p：
9、2， 3x的否定是 0x， 02x （3）在复平面内，复数 10i对应的点坐标为（ ）A （-1,3） B （3,1） C （1,3） D 31（【答案】C（4）在区间 1,4上随机选取一个数 x，则 的概率为（ ）A. 5 B. 2 C. 35 D. 2【答案】B 因为 ,1Dd，所以由几何概型的计算公式可得 25dPD.（5）公比为 2 的等比数列 na的各项都是正数，且 316a，则 5a（ ） A. 1 B . 2 C.4 D.8【解析】 A 2 2317755614（6）已知向量 ， 均为单位向量，若它们的夹角为 60，则 等于（ ）ab 3abA. B. C. D. 4703【答案
10、】C ，所以 .2236916cos01b 1（7）函数 的部分图象如图所示，若将 图象上所有的点sin(0,)2fxAwxfx的横坐标缩短为原来的 倍（纵坐标不变） ，得到2 函数 的gx图象，则 的解析式为（ ）gxA. B. sin12ysin6yxC. D. i43xi4【答案】D【解析】由图像得 ， ，所以 ，横坐标缩短为1A3,24264TTsin2fx原来一半，得到 .sin46yx（8）中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理” ，若正整数 N除以正整数 m后的余数为 n，则记为 (m
11、od)Nn，例如 12(mod3)现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的 等于( )A. 21 B. 22 C. 23 D. 24【答案】C【解析】从 21 开始，输出的数是除以 3 余 2，除以 5 余 3，满足条件的是 23，故选 C.（9）已知双曲线 ，直线 若直线 平行于双曲线 的一条渐近2:1(0,)xyab:2lyxlC线且经过 的一个顶点，则双曲线 的焦点到渐近线的距离为( )CA. 1 B. 2 C. D. 45【答案】B【解析】由题意可知,一个顶点为 , ,所以 . 焦点 到渐近线101,2ba5c,0F的距离 .所以选 B.2yx2d（10）函数 (,)f
12、axb在点 ,f处的切线斜率为 2，则 8ab的最小值是（ ）A. 10 B. 9 C. 8 D. 32【答案】B【解析】试题分析：求出原函数的导函数，由 2fxab（ ） ， 得 12，把 8ab变形为 81a后整体乘以 1，展开后利用基本不等式求最小值由题 2fxab（ ） ， 又 2(0,)fxab在点（1，f（1） ）处的切线斜率为 2， 81818121, 525922babababfa a（ ） ，当且仅当 34b时“=”成立所以 ab的最小值是 9，故选 B（11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为A. B. C. D. 【答案】C【解析】三视图还原图形三棱锥，如下
13、图：,所以最长边为 ，选 C.（12）已知函数 与函数 的图象上恰有两对关于 轴对2fxm1ln3,2gxxx称的点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 5ln2,45ln2,l45l,l4ln,【答案】A【解析】由题意可将问题转化为方程 在 上有两个不等的实数根，即方程0fxg1,2有两个不等的实数根，令 ，则213ln,2mxx213ln,2Fxx，当 时， ，函数1,2xF 1,0Fx单调递增；当 时， ，函数 单调递减。所以23lnFxx1,2x0Fx23lnFxx函数 ；又 ， ，而max1035lnl24F 64ll2，所以结合图像可知当 时，函数 与直5ln2l4l
14、,m213ln,Fxx线 的图像有两个不同的交点，应选答案 A。y二、填空题（本大题共 4 小题 ,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上. ）（13）某中学高中一年级、二年级、三年级的学生人数比为 ，现要用分层抽样的方法抽取一个容量5:4为 的样本，则所抽取的二年级学生的人数是 20【答案】80【解析】试题分析：高中一年级、二年级、三年级的学生人数比为 ，抽取一个容量为 240 的样本，则所:3抽取的二年级学生的人数 ，故答案为：804208053（14）若实数 ,xy满足则 zyx的最小值为 _.【答案】 6（15）已知数列 : , , , ,na1232341239010若
15、 ，那么数列 的前 项和 为 1nnbnbnS【解析】试题分析：由题意得，数列的通项 ，1231232n nna所以 ，所以数列 的前 项和14()()nnba nb，11144() 4()232nSn考点：数列的求和.（16）已知 是抛物线 上的动点， 在圆 上， 是 在 轴上的射P4yxQ22:31CxyRPy影，则 的最小值是_QR【答案】3【解析】根据抛物线的定义，可知 ，而 的最小值是 ，所以 的最小值1PFP1CQ就是 的最小值，当 三点共线时，此时 最小，最小值是2PFC,CF，所以 的最小值是 3.23105QR三、解答题（本大题共 6 小题 ,共 70 分.解答题应写出文字说
16、明、证明过程或演算步骤. ）(17)（本小题满分 12 分）已知函数 ，其中 ， ， ()fxab(2cos,3in2)x(cos,1)bxR（）求函数 的周期和单调递增区间；y（）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ，且 ，ABCac()2fA7asin2iBC求 的面积【答案】 （1） ，解得2()cos3infxabxsi2os1si()16xx， ，36kkZ函数 的单调递增区间是 ()yfx,36k()kZ（2） ， ，即 ，又 ， ，2fAsin()12A1sin62A0A3，由余弦定理得 ，7a2co()37abbc ， ，由得 ， siniBCc276ABCS(
17、18)（本小题满分 12 分）某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取 40 件产品作为样本，并称出它们的重量（单位：克） ，重量值落在 495,10内的产品为合格品，否则为不合格品，统计结果如表：（）求甲流水线样本合格的频率；（）从乙流水线上重量值落在 50,1内的产品中任取 2 个产品，求这 2 件产品中恰好只有一件合格的概率【答案】 （）由表知甲流水线样本中合格品数为 8430，故甲流水线样本中合格品的频率为 3.740（）乙流水线上重量值落在 5,1内的合格产品件数为 .254，不合格产品件数为 0.12设合格产品的编号为 a， b， c， d，不
18、合格产品的编号为 e， f抽取 2 件产品的基本事件空间为 ,ab， ,c， ,ad， ,， ,af， ,bc， ,d， ,be， ,f， ,cd， ,e， f， e， f， ef共 15 个 用 A表示“件产品恰好只有一件合格”这一基本事件，则 ,A， ,， ,b， ,f， ,ce， ,cf， ,e， ,f共 8 个，故所求概率 815P(19)（本小题满分 12 分）如图，已知 D垂直于以 B为直径的圆 O所在平面，点 D在线段 AB上，点C为圆 O上一点，且 3,2.BPAC（）求证： D平面 ;（）求点 A到平面 的距离.【答案】:（）证明：由 3,1,BAD知 4,2,BAO点 D为的中点，连接 C,因为 OC，所以 C为 等边三角形，又 为 中点，所以 .因为 P平面 , C平面 B，所以 ,PD又 ,平面 ,PABO平面 ,所以 平面（）由（）可得： 2932, 2932, 2932PBD,所以 130152PCBS, 13ABCS,
