1、根轨迹分析法：研究 s 平面上根的位置随参数变化的 规律及其与系统性能的关系是根轨迹分析法的主要内容。一种适合于高阶系统分析的方法。一、根轨迹设系统的结构如图：闭环传递函数： rKssRC2)(闭环特征方程式为 0r rKs12.1改 变 Kr的值，求得相应的闭环特征根值，并列表如 下。在 s 平面上绘制出闭环根随 Kr值变化的轨迹 如图所示：可得出以下几点：（1）位于 左半平面上的特征根对应着稳定极点；位于 右半平面上的根s sKr S1 S20 0 -21 -1 -12 -1+j -1-j -1+j -1-j j0-1-2 S1S2 Kr Kr=1Kr_ Krs(s+2)C(s)R(s)第
2、四章 根轨迹分析法第一节 根轨迹的基本概念对应着不稳定极点；位于虚轴上的根对应着临界极点。（2）0Kr1 时，系统有两个不相等的 实数根，呈 过阻尼状 态。（3）当 Kr=1 时，特征根为两个相等的实数根，系 统呈临界阻尼状态 。（4）1Kr时，特征根为两个复数根，系统呈欠阻尼状态。二、根轨迹方程设系统的结构如图，系统的闭环传递函数为 )(1)(sHGsRC开环传递函数的一般表达式为 njjmiirpszKsHG1)()(闭环特征方程式为 0)(1s)(定义根轨迹方程为： 1)(1njjmiirpszK幅值方程： 或 )(1njjmiirpsz rnjjmiiKpsz1)(1相角方程： )2(
3、)()(11 kpszsnjjmii )2,10(k_ C(s)R(s)H(s)G(s)一、根轨迹的对称性和分支数1根轨迹对称于实轴闭环特征根形成的根轨迹对称于实轴。2n 阶 系统有 n 条根轨迹当 变化时，n 个根也就形成 n 条根轨迹。0rK二、根轨迹的起点和终点即 0r njjmiipsz1)( 0)(1njjpsjpsn 条根轨迹起始于开 环传递 函数的 n 个极点。rK0)(1njjmiipsz0)(1miizsizsm 条根轨迹终止于开环传递函数的零点。n-m 条根轨迹终止于无穷远处s 01)(1mnnjjiispzj0s1s2s3s4s5s6s7第二节 根轨迹的基本特征及作图方法
4、例 已知系统的开环传递 函数为 ，试确定系统)2(1)(sKsHGr的根轨迹图。解 系统的开环零、极点： ， ， ，01p1223p， jzjz根轨迹如图所示。三、实轴上的根轨迹段设系统的开环零、极点分布如图所示：其中， ， ，iizs)(1 jjps)(1，243=4121)()(jjiipszs 432121 = =2180符合根轨迹相角方程，故 是根轨迹上的点。 s当区段右侧的开环零、极点数目之和为奇数时该区段是根轨迹段。例 已知系统的开环传递函数为 ，试画出该系统的根)1()(TsKHsGr轨迹图。解 1） T开环零、极点分布如图所示。2） ，开环零、极点分布如图所示。T1-1-1-2
5、 0p1jp2p3z1z2j0-1/T -1/p1p2 z1021 p1jp2p3z1z2p41234s10p1p2z1-1/T-1/j四、根轨迹的渐近线渐近线与实轴的夹角： mnk)12(3,210k渐近线与实轴的交点： nzpijj11例 已知系统的开环传递函数为 ，试绘制)2(1)(sKsHGr系统的根轨迹图。解 1）开环零、极点为 ， ， 01p23p2）实轴上的根轨迹段 段和 段233）根轨迹的渐近线 mn= )1(k180,632五、根轨迹的分离点和会合点根轨迹离开实轴进入复平面的点称为分离点根轨迹离开复平面进入实轴的点称为会合点设系统 )()(sABKHsGr0)(sABr重根必
6、须同时满足以下两式 )(sr0Kr=622-1-2p1p3 600p2j0)()(dsABKr整理后 )()( ssA例 已知系统开环传递函数 ，绘制系统的根轨迹图。)2(13HGr解 1）开环零、极点为 ， ， 1p21z2）实轴上的根轨迹段为 段和 段3）根轨迹的渐近线 mn= 1)(k804）分离点和会合点23)(2ssA3)(sB32)( sA1)(sB) 076解方程得 .1s4.2s为根轨迹的分离点， 为根轨迹的会合点。1s2例 求例 4-3 中根轨迹的分离点解 )()( sBAs0)263(2s可解得 4.0157.12位于根轨迹上，所以是根轨迹的分离点。而 没有位于根轨迹上，所
7、1s 2s以应该 舍去。六、根轨迹的出射角和入射角出射角：根轨迹在复数起点处的切线与正实轴的夹角。设系统的开环零、极点分布如图所示：的出射角为 ， 为根轨迹上的一点，3p31s0-1-2-3p1p2z1-1.6-4.4j0p3p4p1p2z1 21s1 j134则 应满足相角方程 1s 411 )12()()(jjii kpsz)12()()413121 kpspss当 时，1s3p)(3s)()()()( 4323 kzp)( 4321313 pppz 由此可推得出射角的一般表达式)()(11nljjlmiill zp nljmi11入射角：根轨迹在复数终点处的切线与正实轴的夹角。同理，可求
8、得入射角的一般表达式为)()(11njjlmliill pzz njmlii11例 已知系 统的开环传递 函数为 ,试绘制)5.)(.24)(ssKHsGr系统的根轨迹图。解 1）开环零、极点为 ， ， ，01p5.2.103jp， ， ， 5.04jp.zjzz232）实轴上的根轨迹段 和 段2113）根轨迹的渐近线 mn= 1)2(k804）根轨迹的出射角 0-2z1-1.5z2z3p4p3p2p1-2.5 37 56.5 10879195990j431313ji 421321 7990859.56745）根轨迹的入射角 241321jjii4323 1295.6190175.426）根轨
9、迹曲线如图所示。 七、根轨迹与虚轴的交点设与虚轴相交的闭环极点为 ，代入闭环特征方程js0)(1HG解方程即可求得 。rK,例 已知系统 的开环传递函数为 ，绘制系统)2)(3)(2ssKsr的根轨迹图。解 1）开环零、极点为 ， ， ， ， 0p32jp1jp1421z2）实轴上的根轨迹段 和 段z20-1-2-2.5 p1p2p3p4z1z2z3153199149.51219063.5 117j0-1-1-1.5-3p1p2 z1p3p479149.5z2z3j20-1-2p1z1p2p3p49026.61.6135-26.6Kr=7j3）根轨迹的渐近线 ， 3mn= )12(k80,6.
10、34）根轨迹的出射角 =34311jjii421 6.29056.45）根轨迹与虚轴的交点0)2()2)(3sKssr684 rr 0)()(5)(23 rrKjjjj 24 rr028rKr1653r 7rK6.3,.2八、开环极点与闭环极点的关系设 阶系统闭环特征方程可表示为nmiirjj zsKps11 )()( nnnnn assa 121)()(121 nns 0)(1jj如果满足条件 ，mnjja11njjp1即有 njnjjps11例 已知系统的开环传递函数为 ，绘制系统的根)208()(2sKsHGr轨迹图。解 1）开环零、极点为 ， ， 01p42j43jp2）实轴上的根轨迹
11、段 段3）根轨迹的渐近线 3mn= )1(k80,67.2344）根轨迹的出射角 =2njjmii21131 4.690354 4.635）根轨迹与虚轴的交点283rKss 0283rKjj0r0rK13 6r 47.3.26）根轨迹的分离点和会合点)()( sBAs021632s， 21.为根轨迹的分离点， 不在根轨迹上所以舍去。1s2s例 已知系统的开环传递函数为 ，绘制系)204)()(2ssKHGr统的根轨迹图。 44.470-2p1p2p3-3.39063.4Ky=160153.4j解 1）开环零极点为 ， ， ，01p42423jp42jp2）实轴上的根轨迹段 段3）根轨迹的渐近线
12、 mn= 4)1(k135,24）根轨迹的出射角 4213901809045）根轨迹与虚轴的交点0836824 rKssrjj03624rKr18260r 16.303.26）根轨迹的分离点和会合点)()( sBAs87423s解得 215.3.,2j在根轨迹段上，为根轨迹的分离点。 在复平面上，必须判断它是不是根1s .,s轨迹上的点，然后再行取舍。 点的相角为2s)()()()( 43212 pspspps 180908点为根轨迹上的点。 和 都是根轨迹的分离点。系统的根轨迹如图。2s2s30-2-4p1p2p3p4j根轨迹反映了闭环特征根随参量 变化的规律，而闭环特征根与系统性rK能关系
13、密切，通过根轨迹来分析系统性能，具有直 观 、方便的特点。一、闭环极点的位置与系统性能的关系第三节 用根轨迹法分析系统性能阶系统单位阶跃响应的一般表达式为n)()( 110 sRassabbsCnnmm sszKnjjmiig1)(1jjnsAsAsA1010由拉氏反变换得系统的输出响应 tSnjjetc10)(由时域分析法知：（1）闭环极点在 左、右平面的分布反映了系统的稳定性。s（2）负实数极点离虚轴越远，对应分量 衰减得越快，tSje系统的调节时间就越短，响应越快。（3）复数极点的参数与系统阶跃响应及性能指标的关系为1cos%21/enst3闭环极点的实部 ：反映了系统的调整时间；n虚部
14、 ：表征了系统的振荡频率；d与负实轴的夹角 ：反映了系统的超调量；当系统具有多个闭环极点时，可借助于主导极点的概念，将系统简化成低阶系统来处理。例 已知三阶系统的闭环传递函数，试估算系统的性能指标。)108)(1(2ss解 闭环有三个极点 ， 1s2.943.,2j为主导极点，另外两个极点离虚轴的距离是 的四倍，因而可以忽略不1s 1s计。闭环传递函数简化为一 阶系统1)(s系统没有超调， 。3Tts二、已知根轨迹增益 Kr，确定闭环极点例 已知系统的开环传递函数为 ，试确定)2(1)(sKsHGr时系统的闭环极点。1rK解 系统的根轨迹图如图所示。 取 ，32.s1sKg 98.0取 ， 3
15、2s 023.1.32rK取 ， 5.55.r1r .3s有 0431.675.0325.23 s可求得另两个极点 。56.8.3.,2js故系统的闭环传递函数为 )431.07.)(.(1)2ss三、已知系统的性能指标，确定闭环极点和 Kr有时也需要根据对系统的性能指标要求，确定闭环极点的位置和对应的值，使得系统的性能满 足要求。rK00.56-0.56-1-2-2.3s1s2s3p1p2p3j例 已知系统的开环传递函数为 ，)2(1)(sKsHGr根据性能指标要求 ，试确定满足条件的闭环极点和对应的 。5.0 rK解 系统的根轨迹图如图所示。1cos658.03.2.,1j因为 ，所以mn
16、2131spsjj34.2.0306.11433Kr故系统的闭环传递函数为 2258.)3.().2()ss四、增加开环零、极点对系统性能的影响增加开环零、极点必将改变根轨迹的形状和走向，即改变系统的性能。1. 增加开环零点（1）设二阶系统的开环传递函数为 )1()(sKHsGr增加零点后的传递函数为 )(2)r增加开环零点：选择合适的 值，既可使闭环极点离虚轴有一定的距离，rK以保证系统快速性；又可使 角较小（ 较大），以降低超调量。0-1 p1p2 s1 j 0-1-2z1 p2 p1s2 j0.580-1-2-2.3ss3 p1p2p3j设增加零点后的传递函数为 )1(5.0)(sKHs
17、Gr不管怎么选择 值，闭环极点总为两个实数极点。r（2）设三阶系统的开环传递函数为 )5()(2sKHsGr增加零点后 )5(2)(sKHsGr )(102r通过以上的分析可知：选择增加合适的开环零点，将使根轨迹向左弯曲或移动，可改善系统的稳定性和快速性。但零点选择不合适，则达不到改善系统性能的目的。例 已知系统的开环传递函数为 ，)4(1)(sKsHGr要使系统满足 ， 的要求， 试确定开环零点的位置。 5.0st3解（1）绘制出系统的根轨迹如图所示。实轴上的根轨迹段 ， 段 21p3mn= )(k60,.1340-0.5p1z1p2-1j00.4+j0.7-1-4600s1p1p2p3j-
18、5 -1.7p3 p1p2 0-5 -2p1p2p3 z1-5jjjp1P2P3根轨迹的分离点： 46.01s根轨迹与虚轴的交点处： ，2rK（2）验证系统是否满足性能指标的要求作 的射线，它与根轨迹相交处的闭环极点为主导极点60cos1 7.04.2,.1js，可加入开环零点来改善系统的性能。tns 5.7403（3）确定开环零点的位置 根据 ，得 3nst1n1）选择零点 2z)4(1)(sKsHGr分离点： 。5.0159.0r渐近线： 2)(k5.14， 60cos1732.2,.1js6rK主导极点对应系统的调节时间 ，正好 满足要求。stns32) 若将开环零点配置在右边两个极点之
19、间，系统的根轨迹如图所示。由于闭环实数极点靠近虚轴，故系统响应速度较低。一般，不希望随动系统出现这种情况。p1p2p3 z1-4 -2 -1-1+j1.73j-1-4p1p2p3 z1j0-4-7 -1p1p2p3z1j3) 若将开环零点配置在左边的极点与- 之间，系统的根轨迹如图所示。可见，系统的性能没有大的改善。2增加开环极点设二阶系统的开环传递函数为 )1(3)(sKHsGr增加极点后的传递函数分别为 )6(13)(sKsHGr )2(13)(ssr对应的根轨迹如图所示：)5.0()(r比较各根轨迹图可见：增加极点的模值越小，即离虚轴越近， 则根轨迹向右弯曲或移动的趋势越明显，对 系统稳定性的影响也就越大。当增加极点的模值小于某一定值后，随着 的增大，系统的平稳性将变rKp1-1p2-3z1 j p1-1p2-3-6p3 z1 (b) jp1p2p3 z1-6 -3 -1260j 0-3 -1 1p1p2p3z1j差。当增加极点的模值进一步减小至某值后，则有可能因为 取值偏大而使rK得系统不稳定。4-1，4-2，4-5，4-6，4-7，4-12习题
