1、2017 届湖北省武汉市高中毕业生四月调研测试数学（理）试题一、选择题1 已知复数 ，则复数 在复平面内的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】 ,复数 在复平面内的点位于第四象限,选 D.2 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 , , ,选 B.3 若等差数列 的前 项和 满足 ， ，则 （ ）A. B. 0 C. 1 D. 3【答案】B【解析】根据等差数列的性质 仍成等差数列，则 ，则， ，选 B.4 在长为 的线段 上任取一点 ，以 为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于 的概率为（ ）A. B. C.
2、D. 【答案】A【解析】本题为一维几何概型，设 ，则 ， ，矩形面积为：， ，则该矩形的面积大于 的概率为 ，选 A.5 执行如图所示的程序框图，则输出的 （ ）A. 7 B. 8 C. 9 D. 10【答案】C【解析】运行程序 ， 不满足， ， 不满足， ， 不满足， 不满足，满足 ， 输出 ，选 C.6 如图所示，某地一天 614 时的温度变化曲线近似满足函数 ，则这段曲线的函数解析式可以为（ ）A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】A【解析】由于 ， ， ， ，过点 有： ， ， ，取 ，得 符合题意，选 A.7 已知数列 满足 ， ，若 ，则数列 的通项 （ ）A. B. C. D.
3、 【答案】B【解析】 , , ,则 ,数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，利用叠加法，则 .选 B.8 已知实数 满足约束条件 ，如果目标函数 的最大值为 ，则实数 的值为（ ）A. 3 B. C. 3 或 D. 3 或【答案】D【解析】先画出线性约束条件所表示的可行域，目标函数化为 ，目标函数 的最大值只需直线的截距最大，当 ，(1) ,即 时，最优解为 ， ，符合题意；（2） ，即 时，最优解为 ， ，不符舍去；当 ，（3） ，即 时，最优解为 ， ，符合；（4） ，即 时，最优解为 ， ，不符舍去；， ，综上：实数 的值为 3 或 ，选 D.9 四棱锥 的三视图如图所示，则该四棱
4、锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据三视图还原几何体为一个四棱锥 ，平面 平面 ，由于为等腰三角形 ，四边形 为矩形， ，过 的外心 作平面 的垂线，过矩形 的中心 作平面 的垂线两条垂线交于一点 为四棱锥外接球的球心，在三角形 中，则 ， ， ， ， ， .选 C. 【点睛】求几何体的外接球的半径问题，常用方法有三种：（1）恢复长方体， （2）锥体或柱体“套”在球上， （3）过两个面的外心作垂线，垂线的交点即为球心.10 已知圆 ： 和点 ，若圆 上存在两点 ，使得 ，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】过点 作圆的两条切线
5、，切点分别为 ，连接 ，若圆上存在两点 ，使得 ，只需 ， ，解得 ,选 C.11 已知函数 （ ， 为自然对数的底数） ，若 与的值域相同，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】排除法：当 时，令 ， ，值域为 ，在上为增函数，值域为 ，不合题意舍去；当 时， ， ， 的值域为的值域也是 ，不符合题意，排除 C 和 D.当 时， ， ，函数在 上单增，值域为 ，的值域也为 ，符合题意，排除 B，选 A.12 记 为 中的最小值，若 为任意正实数，则 的最大值是（ ）A. B. 2 C. D. 【答案】D【解析】设 ，不妨设 ，则 ，有 ，又 ， ，则 ，当 时，
6、，此时 最小；当 时， ，此时 最小，则 .选 D.二、填空题13 的展开式中，常数项为_ （用数字作答）621x【答案】15【解析】 , ,常数项为62 1231 61rrrr rrTCxCx 0,4r.46514 在四面体 中， ，则该四面体体积的最大值为_【答案】【解析】由于平面 是边长为 1 的正三角形， ，底面面积固定，要使体积最大，只需高最大，故当 平面 时体积最大，.15 已知直线 过椭圆 的左焦点 ，与椭圆交于 两点，直MN21xyF,MN线 过原点 与 平行，且 与椭圆交于 两点，则PQOPQ,_2|N【答案】【解析】特殊化，设 轴，则 ， MNx22,4bPQa.24PQN
7、【点睛】特殊化法在求解选择题时不失为一种“投机取巧”的良法，很适合应试，特值特例法在很多选择题中应用，省时、准确，备受同学们的欢迎 .16 已知 的外接圆圆心为 ，且 ，若 ，则的最大值为_【答案】【解析】设 三个角 所对的边分别为 ，由于 ， ， ，所以，解得 ， .三、解答题17 已知 的三个内角 的对边分别为 ，且满足 ， ，（1）求 的值；（2）若 平分 交 于点 ，求线段 的长【答案】 （1） ;（2） 【解析】利用余弦定理和正弦定理解方程组求出 ，第二步利用 与 面积和为 的面积列方程求出 ，注意使用三角形面积公式及角平分线平分已知角 .（1）由余弦定理得 ，即 ，联立 ，解得（2
8、） ，由 ，得 ， 【点睛】利用正弦定理和余弦定理进行“边转角”和“角转边”是高考常见考题，结合面积公式，灵活应用定理公式解题是考纲的基本要求，这类考题属于高考高频考点也是学生最容易得分的题目，要加强训练.18 某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立（1）求在未来的连续 4 天中，有 2 天的日销售量低于 100 枝且另外 2 天不低于 150 枝的概率；（2）用 表示在未来 4 天里日销售量不低于 100 枝的天数，求随机变量 的分布列和数学期望【答案】 （1） ;（2）见解析.【解析】
9、（1）设日销量为 ，有 2 天日销售量低于 100 枝，另外 2 天不低于 150枝为事件 则 ， （2）日销售量不低于 100 枝的概率 ，则 ，于是，则分布列为0 1 2 3 4 【点睛】频率分布直方图、茎叶图、线性回归、独立性检验是高考需要掌握的统计知识，概率分布问题注意一些常用的概率分布，如二项分布，超几何分布等，会计算概率，正确列出分布列，正确计算数学期望及方差.19 如图，在三棱柱 中，平面 平面 ， ， ， ， 为 的中点（1）求证： 平面 ；（2）求二面角 的余弦值【答案】 （1）见解析;（2） 【解析】 （1）证明： ， 为 的中点， ，又平面 平面，平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，又 平面 ， 又 ， ， 面 （2）方法一：由平面 平面 ，作 于 ，则 面 作 于 ，连 ，则 ，由 ， ，知 ，而 ， ，故 ，即 在四边形 中，设 则由余弦定理得 ，设 与 交于点 ，则， ，而 ，则 于是 ，即 ， 或 （舍）容易求得： ，而 故 ，由面 面 ，则 面 ，过 作 于 ，连 ，则为二面角 的平面角，由平面几何知识易得 ， 方法二：以 点为原点， 为 轴，过点 与平面 垂直的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设 ， ，则 ， ， ， 由 ，得
