1、2017 届河南省郑州市第一中学高三 4 月模拟调研数学（理）试题一、选择题1已知集合 ， ，且 （ 为虚数单位） ，|4Ax|3BxRzxi5zi则 （ ）BA. B. C. 或 D. 4,4,【答案】D【解析】由 有 或 ，所以集合 ，由 有xx4A， 5z，所以 ，集合 ，则 ,选 D.2354-4,BB，2 “干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2016 年是“干支纪年法”中的丙申年
2、，那么 2017 年是“干支纪年法”中的（ ）A. 丁酉年 B. 戊未年 C. 乙未年 D. 丁未年【答案】A【解析】由题意有，2016 年是丙申年，则后一年 2017 年是丁酉年，选 A.3点 在直线 上，则直线 的倾斜角为（ ）,4:10laxylA. B. C. D. 0562【答案】C【解析】将点 代入直线方程,求得 ,所以直线 ,斜率343a:3+1=0lxy,所以倾斜角为 ,选 C.k604已知函数 则,max,()fxgxyfgf的最小值为（ ）asin,coyA. B. C. D. 122【答案】C【解析】画出函数 的图象,如下图黑色线条,当maxsin,coy时,即 函数有最
3、小值 ,选 C.sinco,si0x21,4kkZ25已知数列 的通项 ，数列 的前 项和为na*23nNnb，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列 ，则满足2*37nSNnc的 的最大整数值为 （ ）01mcA. 335 B. 336 C. 337 D. 338【答案】A【解析】由 可知数列 为等差数列，通项公式 ，又因为237nSnb32nb，由题意可知 ，通项公式 ，所以2na15c561c即 ，解得 ，所以 的最大整数值为 335，01mc6202013.m故选择 A.6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 136534【答案】C【解析】试题分析：
4、由三视图可知,该几何体是由正三棱柱截取一部分所得,故体积为.21324V【考点】三视图.7如图，给出抛物线和其对称轴上的四个点 、 、 和 ，则抛物线的焦点是（ PQRS）A. 点 B. 点 C. 点 D. 点PQRS【答案】B【解析】过抛物线上的任意一点(非顶点)M 作抛物线的切线交 轴于 N 点,过 N 点作切y线的垂线与 轴交于一点,则此点为抛物线的焦点,经作图知,此点刚好为 点,所以选x QB.点睛: 本题主要考查了抛物线的相关知识,找抛物线的焦点坐标 . 本题采用的方法证明如下: 设抛物线方程为 ,设 ,则过 M 点得切线方程为2(0)ypx0,xy,令 ,则 ,即 ,所以直线00y
5、px0y0pxN，,令 ,即 为抛物线的焦点.00:NQy,2px,Q8点 在圆 上运动，则 的取值范围是（ ）,Mx2124xyA. B. 1,4,0C. D. ,0,1,4【答案】D【解析】当 时，显然 ；x20xy当 时， ， 设 ，则问题转化为求0x2224yxyxykx的取值范围，将 看作圆上动点 与原点 连线的斜率，214kykx,xy0,如下图， 或 ，则 或 ，所以 或344k210k2104k综上所述： .21,4xy9已知 、 为单位圆上不重合的两个定点， 为此单位圆上的动点，若点 满足BCAP，则点 的轨迹为（ ）APPA. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆【答
6、案】D【解析】设 ， ， ， ，设单位圆圆心为 ，,xycos,inA1,Bxy2,CxyO则根据 可有： ，所以点 为 的重心，根据PBC0PPAB重心坐标公式有 ，整理得 ，12cs3inxy2211339xy所以点 的轨迹为圆，故选择 D.P点睛：求轨迹方程是解析几何中的重要内容，是高考命题的热点和重点.主要考查学生的数形结合思想、等价转化思想、逻辑推理能力、分类讨论及创新思维，属于较高的能力考查.求轨迹方程常用的方法有：直接法、定义法、几何法、相关点法、参数法、交轨法、点差法等.本题主要是考查几何法中的三角形重心的向量表示及重心坐标公式，然后根据相关点法可以求出点 的轨迹方程.P10点
7、 分别是双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线上，则12F、 213yxP的内切圆半径 的取值范围是（ ）12PrA. B. C. D. 0,30,20,1【答案】A【解析】如图所示，设 的内切圆圆心为 ，内切圆与三边分别相切于点12PFI，根据圆的切线可知： ， ， ，又根据,ABCPBC1FA2FB双曲线定义 ，即 ，所以12PFaPa，即 ，又因为 ，所以1212A12c， ，所以 点为右顶点，即圆心 ，Aac2c,Iar考虑 点在无穷远时，直线 的斜率趋近于 ，此时 方程为 ，此P1PFba1PFbyxc时圆心到直线的距离为 ，解得 ，因此 内切圆半径2abrcr12，所以选择 A.0,r
8、b11底面直径为 的圆柱形容器内放入 个半径为 的小球，则该圆柱形容器的4cm81cm最小高度为（ ）A. B. C. D. 8c62c23【答案】C【解析】经分析知, 最底层放置两个半径为 1cm 的小球, 第二层再放置两个半径为1cm 的小球，这四个小球两两外切，这四个小球的球心组成一个棱长为 2cm 的正四面体，可以求出第二层的一个小圆的圆心到大圆柱底面距离为 cm，这时的高度为2cm ，再那么放入 8 个小球后的最小高度为 cm, 选 C.21 1点睛：本题主要考查了圆柱形容器的高问题, 属于中档题. 考查了学生的空间想象能力、分析问题和解决问题的能力.12已知函数 ，下面是关于此函数
9、的有关命题，其中正2sin12xfx确的有（ ）函数 是周期函数；fx函数 既有最大值又有最小值；函数 的定义域为 ，且其图象有对称轴；fxR对于任意的 ， （ 是函数 的导函数） 1,00fxfxfxA. B. C. D. 【答案】A【解析】函数 定义域为 ，当 或 时， ，又 ，fxRxx0fx， ， ，时， ，且均为变号零点.又因为函数满1x230f足 ，222 sin1sin 11xxf fxx 所以函数 关于直线 对称，函数图像如下图，f故正确.点睛：本题考查函数的综合知识：函数 对于定义域内任意实数 ，存在非零常数 ，满足 ，fxxTfxTf则函数 为周期函数；函数 对于定义域内任
10、意实数 满足 ，则函数 关于fxxfaxfbfx直线 对称，特别地当 时，函数 关于直线 对称；2ab2fxa在函数 定义域 内，存在常数 使得 ，则 叫做函数的零点.fx,ac0fc二、填空题13 _220xd【答案】 【解析】令 ,则 ,表示的是以 (1,0)为圆心,半径为2yx210y1 的圆在 轴上方的半圆,所以 几何意义是求以(1,0) 为圆心,半径为 1 的20xd圆在 轴上方的半圆的面积,所以 .x22201xd14已知 ，将其绕原点 逆时针旋转 120后又伸长到原来的 2 倍得向4,3OAO量 ，则 _【答案】 ,【解析】设向量 逆时针旋转 后得到的向量为 ，根据题意有OA12
11、0 ,OBxy，解得 ，2543102,xycos 432xy所以 ，又 ，所以4,3OBOAB43,A15点 是正方体 的体对角线 上靠近点 的四等分点，在正E1ACDB1D方体内随机取一点 ，则点 满足 的概率为_ M12ME【答案】 316【解析】设正方体棱长为 4，以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，则1D10,D，设 ，根据条件 ，即3,E,Mxyz12ME，222233xyzz整理得： ，所以点 的轨迹是以244xy,xyz为球心， 为半径的球的体积的 ，体积为 ，4,218314248V所以根据几何概型，所求概率为 .346P点睛：应用几何概型求概率问题的时，首先要建立相应的几何
12、模型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量.（1）一般地，一个连续变量可以建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；（2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系建立与面积有关的几何概型；（3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型.16若对于任意一组实数 都有唯一一个实数 与之对应，我们把 称为变量,xyzz的函数，即 ，其中 均为自变量，为了与所学过的函数加以区别，,xy,zfxy,xy称该
13、类函数为二元函数，现给出二元函数 ，则229,4fmnmn此函数的最小值为_【答案】 21【解析】因为点 在圆 上,点 在曲线 上,所以2,4m24xy9,n9yx本题转化为求圆 与曲线 上的两点之间的最小值,如下图，作直线2xy9与它们的图象在第一象限交于 A,B 两点，显然圆 与曲线 的y 24xy9yx图象都关于直线 对称，所以 就是圆 与曲线 上的两点之yxAB2间距离的最小值,求出 ,所以2,3,所以22312AB.229,4fmnmn点睛: 本题主要考查了新定义下的距离公式, 涉及的考点有参数方程化为普通方程,两点间距离公式,考查了学生的阅读理解能力和转化能力,属于中档题. 三、解
14、答题17已知函数 .sin6fxx（1）求 的单调递增区间；f（2）在锐角 中，内角 所对的边分别是 ，且ABC, abc、 、，求 的最大面积.3,24fa【答案】 （1） （2）5,1kkZ3【解析】试题分析：（1）本问考查三角恒等变换公式，首先根据两角和正弦展开，然后根据二倍角公式化为正弦型函数， 2331sincossinicos2fxxxx，然后可以求出递增区间；（2）11i2i4434本问考查正、余弦定理及重要不等式的应用，首先根据 求13sin4A出 ，根据余弦定理 ，即 ，根据重要6A22coab24bc不等式可以得到 ，于是可以求出 的最大值，即可以求出面积的最大43c值.试
15、题解析：（1） 2131sinsinicosinsico62fxxxxxx1co231 3ii i444 ，令 ，223kxkZ得 .511 的单调递增区间为 .fx 5,21kk（2）由 ，得 ，34fA3sin4A ， ， ，sin02,kZ,62kZ又 ， ，A6 .2 34cos226bbcbc ，当且仅当 时取“=”.43c .max11sin2232ABCSbcA【考点】1.三角恒等变换公式；2.正弦型函数性质；3.余弦定理；4.三角形面积公式.18有一个“乱点鸳鸯谱”节目：每次邀请四对青年夫妻，先由每人随机抽签获得顺序展示才艺，再由观众通过投票的方式实施男女配对（观众不知道他们的
16、真实配对情况）.（）求正确配对家庭数的期望；（）设有 对夫妻，记他们完全错位的配对种类总数为 .n fn求 ， ， ；2f3f4f推导 ， ， 所满足的关系式.124n【答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】试题分析: (1)设正确配对的家庭数为 ,则 的可能取值为 0,1,2,4,再分别求出时的概率,写出 的分布列,求出期望; (2)先求出 ,利用0,42,34ff元素一一对应的关系以及排列相关知识求出 的关系.,1,fnn试题解析:（）设正确配对的家庭数为 ，则 的所有可能取值为 .0,， ， ， 142P2416PC1428PC.6890 的分布列为0124P9248246412.86101E（）由题意可知， ， ， .2f32f49f对于 个的元素 ，n,abc及其对应元素 ，ABC
