1、河北省石家庄市 2017 届高三冲刺模考数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数 （ ）21iA B C Diii1i2.设集合 ， ，则 （ ）|164x23|xBABA B |203x或 |034x或C D|x3.已知 ， ， ，则下列不等关系正确的是（ ）3a1625b16log7cA B C Dcabcacab4.函数 的部分图象如图所示，则 的单调递减区间为（ ）()sin()0,)fxxA()fxA B (,),63kkZ(2,),63kkZC. D52 55.等
2、差数列 的前 项和为 ，已知 ，则 的值为（ ）nanS15105192aa19SA 38 B-19 C. -38 D196.执行下图的程序框图，如果输入的 ，那么输出的 的值为（ ）6,4bA 17 B22 C. 18 D207.已知双曲线 ，过点 的直线 与 相交于 两点，且 的中点为2:1(0,)xyCab(3,6)PlC,AB，则双曲线 的离心率为（ ）(12,5)NA 2 B C. D3235528.某多面体的三视图如下图所示（网格纸上小正方形的边长为 1） ，则该多面体的表面积为（ ）A B C. 12 D8426428529.正三角形 的两个顶点 在抛物线 上，另一个顶点 是此抛
3、物线焦点，则满足C,A2(0)xpyC条件的三角形 的个数为（ ）A 0 B 1 C. 2 D310.在抛物线 与直线 围成的封闭图形内任取一点 ， 为坐标原点，则直线 被该封闭图2yxyAOOA形解得的线段长小于 的概率是（ ）A B C. D31531621621411.我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 ，求其直径 的一个近似公式 ，人Vd316dV们还用过一些类似的近似公式，根据 判断，下列近似公式中最精确的一个是（ ）3.1459A B C. D3601dV32dV38d321d12.
4、已知函数 ，若存在 使得 成立，则实数 的值2 2()ln(ln)10fxxaxa0x0()fa为（ ）A B C. D105153第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中 的系数是 （用数字作答）10()x4x14.已知菱形 的边长为 2， ，则 ABCD60BACAC15.设实数 满足约束条件 ，则 的最大值为 ,xy12xy12x16.已知数列 满足 ， ，且 ，则数列 的前na1+11nnnab1()52nb*)Nna项和 取最大值时， 22nS三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
5、步骤.） 17. 在 中，角 的对边长分别为 ，且 .ABC, ,abcos2c2sin(isn)BACA（1 ）求角 的大小；（2 ）若 ，求 的取值范围.3b2ac18. 如图，在四棱锥 中，四边形 为梯形， ，且 ， 是边长ABCFEFCB/EBC34FBAC为 2 的正三角形，顶点 在 上的射影为点 ，且 ， ， .G3215（1 ）证明：平面 平面 ；FGBAC（2 ）求二面角 的余弦值.E19. 棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标，某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取 20
6、 根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于 300 的为“长纤维” ，其余为“短纤维” ）m纤维长度 (0,1)10,2)0,3)0,4)0,5甲地（根数）3 4 4 5 4乙地（根数）1 1 2 10 6（1）由以上统计数据，填写下面 列联表，并判断能否在犯错误概率不超过 0.025 的前提下认为“纤2维长度与土壤环境有关系”.甲地 乙地 总计长纤维短纤维总计附：（1） ；22()(nadbck（2 ）临界值表； 20()PKk010 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（2 ）现从上述
7、 40 根纤维中，按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取 8 根进行检测，在这 8 根纤维中，记乙地 “短纤维”的根数为 ，求 的分布列及数学期望.X20. 已知点 ，点 是圆 上的任意一点，设 为该圆的圆心，并且线段 的(3,0)AP2(3)16xyQPA垂直平分线与直线 交于点 .QE（1 ）求点 的轨迹方程；E（2 ）已知 两点的坐标分别为 ， ，点 是直线 上的一个动点，且直线 分,MN(2,0)(,T4x,TMN别交（1）中点 的轨迹于 两点（ 四点互不相同） ，证明：直线 恒过一定点，并求出,CDMNCCD该定点坐标.21. 已知函数 ，其中 为自然对数的底
8、数.()()xfeaRe（1 ）讨论函数 的单调性；y（2 ）函数 的图象与 轴交于 两点， ，点 在函数 的图象上，()fx12(,0),AxB12xC()yfx且 为等腰直角三角形，记 ，求 的值.ABC21t()at请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立l321xtyOx极坐标系，圆 的极坐标方程为 .C4cos()6（1 ）求圆 的直角坐标方程；（2 ）若 是直线 与圆面 的公共点，求 的取值范围.(,)Pxyls()3xy23.选
9、修 4-5：不等式选讲已知函数 的最小值为 .()|1|5|fxm（1 ）求 的值；m（2 ）若 为正实数，且 ，求证： .,abcabc221abc试卷答案一、选择题1 B 2A 3D 4D 5C 6D7 B 8A 9C 10C 11D 12 D二、填空题13 14 15 16 4521038三、解答题17解析：（）由 ，可得cos2sin(sin)BAC222siniiniAC根据正弦定理得 ，acba由余弦定理，得， 221cosBc0,3B（）由（）得： 2sinbR， )sin(72co5)si2( AACAca其中， 72co,73in， (0,)32(0,)A， ， (, 当 时
10、， ，max)c当 时， ，3(23当 时， A)c所以 7,(sin(72即 2(,7ac18 （）证明：由顶点 在 上投影为点 ，可知， FACGFAC取 的中点为 ，连结 ， COB在 中， ， ，所以 RtFG32132在 中， ， ，所以 tBG1B所以， ，即 22F ,FGACBA 面 又 面 ，所以面 面 GC（）由（）知， ， ，且OFAFG所以 面 ，且 面 以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，过点 作平面OBAFCGABCOxOCyO的垂线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示： z， ， ， 1(0,1)(3,0)(,3)2ABF3(,)2E(3,10)BA5,4E设平
11、面 ， 的法向量分别为 ，则ABF,mn，则 ， 0mM(1,3)，则0nBF， 1(,3)2，785cosmn所以二面角 的余弦值为 EABF78519解析：（）根据已知数据得到如下 列联表：2甲地 乙地 总计长纤维 9 16 25短纤维 11 4 15总计 20 20 40根据 列联表中的数据，可得22240(916)5.7.02450K所以，在犯错误概率不超过 的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系” .（）由表可知在 8 根中乙地“短纤维”的根数为 ，834的可能取值为：0,1,2,3， X， ，315(0)9CP21435()9CPX， 124356() 4315() 的分布列为：X
12、X0 1 2 3P94654 3465()01239E20解析：（）依题意有， ，4EAQE且 ，4QA所以点 的轨迹方程为： E142yx（）依题意设直线 的方程为： ，CDmn代入椭圆方程 得：2xy22()(4)0y且： ， 1224mny1224直线 ： ，直线 ：TM1()yxTN2()yx由题知 ， 的交点 的横坐标为 4，得：N，即123yx12213()()yxyx即： ，整理得：1221()mnn 3(yyy将代入得：2 1124)()3(2)nmnyy化简可得： 1(1)0my当 变化时，上式恒成立，故可得：1,yn所以直线 恒过一定点 . CD(,0)21解析：（） ()
13、exfa当 时，则 ，则函数 在 是单调增函数0a0f()fx,)当 时，令 ，则 ，()fxlna若 ， ，所以 在 上是单调减函数；lnxa0f()fxl)，若 ， ，所以 在 上是单调增函数l()fxflna，（）由（）可知当 时，函数 其图象与 轴交于两点，则有 ，则0a()yfxe0ixia(1)eixia12i（ ， ）于是 ，在等腰三角形 ABC 中，显然 C = 90，所以 ，即212() 12012()xx，0()yfx由直角三角形斜边的中线性质，可知 ，210xy所以 ，即 ，210xy12 2112e()x xa所以 ，11212()()0xa即 21()()xaxx因为 ，则 ，10221110xx又 ，所以 ， 21xt22()()attt即 ，则 所以 at(1).t()1att22解析：（）因为圆 的极坐标方程为 ，C4cos()6所以 2314(cosin)2所以圆 的普通方程 C30xyxy（）由圆 的方程 ，可得 ，2 22(3)(1)4xy所以圆 的圆心是 ，半径是 2，(,1)
