1、2017 届江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） （5月） 数学试题一、填空题1已知集合 ， ，则 _|13Ax|2BxAB【答案】 |2【解析】 |Bx2已知 为虚数单位，复数 （ ） ， ，且 ，则i13izyR2iz12iz_y【答案】1【解析】 3i13i2i13i,y12yyR点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本,.abicdiabdciabd概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为,R2ab、共轭为,.i3下表是一个容量为 10 的样本数据分组后的频数分布 .若
2、利用组中值近似计算本组数据的平均数 ，则 的值为_x【答案】19.7【解析】 2147320419.7x4已知直线 为双曲线 （ ， ）的一条渐近线，y2xyab0ab则该双曲线的离心率的值为_【答案】 213【解析】 7213bca点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于,abc,abcb,ac的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.5据记载，在公元前 3 世纪，阿基米德已经得出了前 个自然数平方和的一般公式.n下图是一个求前 个自然数平方和的算法流程图，若输入 的值为 1，
3、则输出 的值为nxS_【答案】14【解析】第一次循环: ; 第二次循环: ; 第三次循环: 1,xS2,5xS;结束循环, 输出 3,145xS4.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6已知 是集合 所表示的区域， 是集合 所12,|1xy2,|xy表示的区域，向区域 内随机的投一个点，则该点落在区域 内的概率为1_【答案】 34【解析】所求概率为几何概型，测度为面积， 为单位圆面积， 为阴影部分面12积，
4、见图：落在区域 内的概率为 2234点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率7已知等比数列 的前 项和为 ，公比 ， ，则nanS3q345S_3a【答案】3【解析】 3434 21 1 13535,.aq a8已知直四棱柱底面是边长为 2 的菱形，侧面对角线的长为 ，则该
5、直四棱柱的2侧面积为_【答案】 162【解析】侧棱长为 ，因为侧面为矩形，所以侧面积为234.9已知 是第二象限角，且 ， ，则3sin10tan2_tan【答案】 17【解析】由 是第二象限角，且 ，得 ，所以3sin101cos,tan30tanta231tan1n6710已知直线 ： ，圆 ： ，当直线 被l20mxyC240xyl圆 所截得的弦长最短时，实数 _C【答案】 1【解析】直线 过定点 ，圆 ，当直线 被圆 所截l,1A22:15xylC得的弦长最短时， .Clm11在 中，角 ， ， 对边分别是 ， ， ，若满足BABCabc，则角 的大小为_2cos3ba【答案】 6【解
6、析】由正弦定理得2sincosi3in2sicosin3sinBACABABii,0,0,.2612在 中， ， ， ， 是 所在平面内一点，A1tCtPCA若 ，则 面积的最小值为_ 4BCPPBA【答案】 32【解析】以 A 为坐标原点， AC 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，则， 211,4,0,:1,0PCtBCtytt， 面积224 13442PBCSttttPBCA的最小值为 313已知函数 若函数 有三个零点，则2,03xf3gxfxb实数 的取值范围为_b【答案】 1,6,04【解析】 与 相切时 （正舍）， 与3yxb3()yx6b3yxb相切时 ， 与 不相切.由2404
7、yx14b3yxb24()yx图可知实数 的取值范围为 b,6,0点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等14已知 ， 均为正数，且 ，则 的最小值为ab20ab2214ab_【答案】7【解析】 ，所以210abab（当且仅当 时242 ab 2ab取等号）而 （当且仅当 时取等号），因此2284ab2ab（当且仅当 时取等号），即 的最小21874ab2ab2214ab值为 7.点睛：在利用基本不等式求
8、最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.二、解答题15已知向量 ， .3cos,1mx2sin,cox（1）当 时，求 的值；xn（2）若 ，且 ，求 的值.0,432cosx【答案】 （1） （2） 6【解析】试题分析：（1）根据向量数量积坐标表示得 .（2）先根mn314据向量数量积得 ，再根据二倍角公式以及配件公式得mn23cosinsx，即得 ，根据同角三角函数关系得1sin262x 3i6，最后根据角的关系 并利用两角和的余弦公co32x
9、式得 的值.s2x试题解析：解：（1）当 时， ， ，x3,12m31,24n所以 .mn3142（2） 2cosinsx，31sin21i62x若 ，则 ，即 ，msin33sin26x因为 ，所以 ，所以 ，0,4x26xco则 cos26x3cos26x1sin26x.631316如图，在四面体 中，平面 平面 ， ， ， 分别为ABCDACDEFG， ， 的中点， ， .AB90（1）求证： 平面 ；E（2）若 为 上任一点，证明 平面 .PFGPB【答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先由面面垂直性质定理得 平面 ，即得CDAB，再根据等腰三角形性质得 ，最后根据
10、线面垂直判定定理得CDABEAB平面 .（2）实质要证明面面平行：平面 平面 ，先根据线线E/FG平行得线面平行： 平面 及 平面 ， ，再根据线面平行得面面平行FBCD试题解析：解：（1）因为平面 平面 ， ，即 ，90CD平面 平面 ， 平面 ，A所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，AB因为 ， 为 的中点，所以 ，CEBEAB又 ， 平面 ， 平面 ，DDC所以 平面 .（2）连 ， ，因为 ， 分别为 ， 的中点，FGF所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，同理可证 平面 ，且 ， 平面 ， 平面 ，EBEEBCDEGBCD所以平面 平面 ，CD又 为 上任一点，所以 平面 ，所以
11、 平面 .PFGPFGP17某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量 （单位：百千克）与肥料费用w（单位：百元）满足如下关系： ，且投入的肥料费用不超过 5 百元.x 341x此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等） 百元.已知这种水蜜桃的市场售2价为 16 元/千克（即 16 百元/百千克） ，且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为 （单位：百元）.Lx（1）求利润函数 的函数关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】 （1）见解析（2）当投入的肥料费用为 300 元时，种植该果树获得的最大利润是 4300 元.【解
12、析】试题分析：（1）根据利润等于收入减成本列式： 3164Lxx，由投入的肥料费用不超过 5 百元及实际意义得定义域， （2）利用基本不等式2x求最值：先配凑： ，再根据一正二定三相等求最值 .Lx486731x试题解析：解：（1） （ ）.1248631x05（2） 4863Lxx48673x.71x当且仅当 时，即 时取等号.4833x故 .maxL答：当投入的肥料费用为 300 元时，种植该果树获得的最大利润是 4300 元.18已知函数 ， ， 为实数， ， 为自然对数的底数， 3lnfxba0be.e2.718（1）当 ， 时，设函数 的最小值为 ，求 的最大值；0a1fxga（2）
13、若关于 的方程 在区间 上有两个不同实数解，求 的取值范围.x0f1,eb【答案】 （1） （2）33e,【解析】试题分析：（1）先求函数导数，并在定义域内求导函数零点： ，3ax再列表分析导函数符号变化规律，确定单调性及最小值 3gaf，再利用导数研究函数 最值：先求导数，确定定义3lnaln3a域内导函数零点，最后根据单调性确定函数最值.（2）先变量分离： ，转化3lnaxb为研究函数 图像：当 时， 单调减， 3lnxm31,exm；当 时， 单调增， ， 因此有两3e,mx3e,xmx3e,x个不同实数解需 ，ab试题解析：解：（1）当 时，函数 ，13lnfxa则 ，23afx2x令
14、 ，得 ，因为 时， ，0f3a030a所以 ，3agf3lnaln3a令 ，lntxx则 ，令 ，得 ，0t1x且当 时， 有最大值 1，1xx所以 的最大值为 1（表格略） ， （分段写单调性即可） ，此时 .ga 3a（2）由题意得，方程 在区间 上有两个不同实数解，3ln0axb,e所以 在区间 上有两个不同的实数解，3laxb1,e即函数 图象与函数 图象有两个不同的交点，1y3lnxm因为 ，令 ，得 ，23ln1xm03ex所以当 时， ，31,ex3e,mx当 时， ，所以 ， 满足的关系式为 ，即 的取值范围为 .ab3eab3e,点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的
15、方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.19已知椭圆 ： （ ）的左焦点为 ，左准线方程为C21xyab0a1,0F.2x（1）求椭圆 的标准方程；（2）已知直线 交椭圆 于 ， 两点.lAB若直线 经过椭圆 的左焦点 ，交 轴于点 ，且满足 ， CFyPAF.求证： 为定值；PBF若 （ 为原点） ，求 面积的取值范围.OAOA【答案】 （1） （2） 21xy42,3S【解析】试题分析：（1）根据左焦点坐标得 ，根据左准线方程得 ，解方1c2ac程组得 ， （2）以算代证：即利用 ， 坐标表示21ab， 1,Axy2,Bxy，根据直线 的方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理化简 得定值， l 的面积 ，因此根据直线 的方程与椭圆方程联立方程组，结AOB2AOBSOl合韦达定理及弦长公式求 （用 斜率表示） ，同理可得 ，代入面积公式化简B可得 .最后利用二次函数方法求值域，注意讨论斜率不存在的21k情形.试题解析：解：（1）由题设知 ， ， ，1c2a2c， ，2a22ba
