1、郎溪中学 2017 年仿真模拟考试数学试题（理）考试时间：120 分钟； 第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1) 已知全集 为实数集 ，集合 ，集合 ，则图中阴影部分表示的UR|02Ax|lg0Bx集合为 (A)|01x (B)| (C)|1x (D) (2) 若复数 满足 ，则 的虚部为z(34)|3|iziz(A)(B) (C) 4 (D) i5 45(3) 已知等比数列 的公比为正数，且 ， ，则naa2751a(A) (B) (C) (D) 2212(4) 经过抛物线 的焦点与圆 相切的直
2、线方程为xy24042yx(A) 或 (B) 56034(C) (D) 或x 0xyx(5) 以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列，在我国南宋数学家杨辉 1261 年所著 的详解九章算法一书里就出现了.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉迟 393 年.第 0 行 1第 1 行 1 1第 2 行 1 2 1 第 3 行 1 3 3 1第 4 行 1 4 6 4 1那么，第 2017 行第 2016 个数是(A) 2016 (B) 2017 (C) 2033136 (D) 2030112(6) 小华骑车前往 30 千米远处的风景区游玩，从出发地到目的地，沿途有两家超市，小华骑行
3、 5 千米也没遇见一家超市，那么他再骑行 5 千米，至少能遇见一家超市的概率为(A) (B) (C) (D)15129251625A BCDD1 C1B1A1(7) 某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为(A) (B) 50250(C) (D)44(8) 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是 8，则判断框内 m 的取值范围是 (A) (30,42 (B) (42,56 (C) (56,72 (D) (30,72) (9) 已知函数 ，且 ， ，则函数()2sin()fx(0)1f()0f图象的一条对称轴的方程为()3yfx(A) (B) (C) (D
4、) 06x23x2x(10) 已知命题 p:函数 的图象的对称中心坐标为 ；命题 q：若函数 在区间 上是增函数，()1f(1,)()g,ab则有 成立.下列命题为真命题的是baggxdba(A) (B) (C) (D)pqpqppq(11) 如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1，过顶点 A1 在空间作直线 l，使 l 与直线 AC 和 BC1 所成的角都等于 , 这样的直线 l 可以做60(A) 4 条 (B) 3 条 (C) 2 条 (D) 1 条(12) 设函数 若 ,且 ,则 的取值范围为2()|,fxba)(bfafab(A) (B) (C)(D), )2(1)1,(第卷（非
5、选择题，共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题纸上.）(13) 设实数 满足不等式组 ,则 的取值范围是 .yx,01yxy(14) 已知非零向量 满足 且 ，则向量 的夹角为 .,ab|2|b()ab,a(15) 设 、 分别为双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与双曲线的左、右两支分1F2210,xy 1Fl别交于 A， B 两点若 ABF2 是等边三角形，则此双曲线的离心率为 .(16) 若数列 满足 ， ， ， 且 ， ，na1ann21Nabnn1bbSn21，则 .bPnn21SPn三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解
6、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(17) (本小题满分 12 分）已知 ,函数 的最大值为 2sincos)(3cos(incos)(0axbxx， ， ， baxf)(2（）求函数 的单调递减区间；)(f（）在 中，内角 的对边分别为 ， ，若 恒成立，求实数ABC, cba,cbA2s0)(mAf的取值范围m(18) (本小题满分 12 分)五面体 ABC-DEF 中，面 BCFE 是梯形，BC EF,面 ABED面 BCFE,且 ABBE, DEBE, AG DE 于 G,若BE=BC=CF=2，EF=ED=4. （）求证：G 是 DE 中点；（）求二面角 A-CE-F 的平面角
7、的余弦.(19) (本小题满分 12 分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行.但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求.为此，某市公交公司在某站台的 名候车乘客中进行随机抽样，共抽取 10 人进行调查反馈，60所选乘客情况如下表所示：组别 候车时间（单位：min） 人数一 ,51二 105三,3四 21()估计这 名乘客中候车时间少于 分钟的人数；6010()现从这 10 人中随机取 3 人，求至少有一人来自第二组的概率；()现从这 10 人中随机抽取 3 人进行问卷调查，设这 3 个人共来自 个组，求 的分布列及数学期望.X(20) (本小题满分 12 分）ABCDE
8、 FG如图，设椭圆 C： 的离心率 ，椭圆 C 上一点 M 到左、右两个焦点 、21(0)xyab12e1F的距离之和是 42F（）求椭圆 C 的方程；（）直线 与椭圆 C 交于 P、Q 两点，P 点位于第一象限，:l1xA、B 是椭圆上位于直线 两侧的动点，若直线 AB 的斜率为 ，求l 12四边形 APBQ 面积的最大值(21)（本小题满分 12 分）已知函数 ()ln()xafe（）当 时，求 的单调区间与极值；12f（）当 时，证明： a()0x请考生在第 22、23 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑(22) (本小
9、题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程设在平面上取定一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的 轴的正半轴，以 的射线作为 轴x2y的正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立直角坐标系,已知曲线 的直角坐标方程为C，直线 的参数方程 （ 为参数） 2xyl12xty（）写出直线 的普通方程与曲线 的极坐标方程；C（）设平面上伸缩变换的坐标表达式为 ，求 在此变换下得到曲线 的方程，并求曲线XxYyC内接矩形的最大面积C(23) (本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知 .|1|2|xxf（）求不等式 的解集；6)(f（）设 为正实数，且 ，求证： pnm, )2(fpnm3pm
10、n郎溪中学 2017 届高考仿真模拟考试数学试题（理）参考答案及评分标准一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A D B D C C A B A A B D二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13 14 15 161,3272三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分）(17) (本小题满分 12 分） 解：（）函数 )cos)(incs(incosin32)( xxxbaxf 223sinco(s)322 分1(i)in(26xx因为 的最大值为 ，所以解得 3 分)f 1则 4 分)6sin(x由 ，23k2k可得： ， ，
11、53x65kx所以函数 的单调减区间为 6 分)(f 6,3k（）由 bcaA2cos可得 即 解得 即 9 分，2ababc22 ,21cosC3因为 所以 ， 10 分,30676A)6(in1A因为 恒成立，则 恒成立0)2(sin)( mmAf ms2即 12 分1(18) (本小题满分 12 分）解：（）证明：延长 EB,FC 交于 M 因为 MEB, 所以 M面 AEBD MCF,所以 M面 CFDA因为面 AEBD 与面 CFDA 交于 DA 所以 MDA因为 ABDE,BCEF 所以 12ABCDEF由条件，易知四边形 ABEG 是矩形，所以 G即 G 是 DE 中点6 分（）
12、作 BEEF 于 E,以 ， ， 分别为 x,y,z 轴构建空间直角坐标系，BA所以 E（ ，-1,0） ，A(0，0，2)，C(O,2，O)，令面 AEC 的法向量为 n（x,y,z） ，3所以 n=0; n=0，易得 n 的一个值为（ ,1，1） ，AC3因为 AB 垂直面 BEFC,所以可令面 EFC 法向量为 v=(0,0,1)所以 1cos,5nv所以二面角 A-EC-F 的余弦值为 12 分5(19) (本小题满分 12 分）解：()候车时间少于 分钟的人数为 人； 3 分10361056()设“至少有一人来自第二组为事件 A”6 分12305CAP() 的可能值为 1，2，3X0
13、5 1207310523252C)(P9 分8315X所以 的分布列为X 1 2 3P 070810 分12 分489126712037EX(20) (本小题满分 12 分）AB CDE FMGXYZ解：（）依题意， 22124,3aecbac椭圆 C 方程为： 4 分3xy（）易知 ,设 ,AB： 6 分(1),)2PQ， ， 12(,)(,)AxyB12yxt与椭圆联立得 ， ，8 分0xt304tt2123| (=)|APBQSa取 “”的最大值是 .12 分(21) (本小题满分 12 分）（） 时， ， ，12a12()ln()xfe121()2xfex注意到 与 都是增函数，于是
14、在 上递增，1xye2()fx,)又 ，故 时， ；故 时， ，()02f()0f12()0f所以 在 上单调递减，在 上单调递增，x1,)1,当 时， 取得极小值 ， 无极大值6 分(f()fx（）方法一：当 ， 时， ， ，1a,a1ax1ax ， ，xaeln()l()xln()ln()xee故只需证明当 时， 1l0xf当 时， 在 上单增，1xfe,又 ， ，故 在 上有唯一零点 (0)f()2f ()fx1,)0(,1)x当 时， ；当 时， 从而 时， 取得最小值,x0x0,(ff由 得： ， ，0()f01e 0ln()故 ，020001l 1x xfxx综上，当 时， 12
15、分1a()f方法二：先证不等式 与 ，1xeln设 ，则 ，()xg()0xge可得 在 上单减，在 上单增，,0), ，即 ；()1(xe1xe设 ，则 ，()1lnhxx1()0h x可得 在 上单增，在 上单减，0,), ，即 ()l()xx1lnx于是，当 时， ，1a()aeax注意到以上三个不等号的取等条件分别为： 、 、 ，它们无法同时取等，1a所以，当 时， ，即 12 分ln()xa()0f(22) (本小题满分 10 分）(23) (本小题满分 10 分）解：（）不等式 等价于不等式组2|1|6x或 或136x523x所以不等式 的解集为 5 分|(,)（）证明：因为 ，所以mnp2229mnppmnp因为 为正实数，所以由基本不等式得 （当且仅当 时取等号） ,p同理： ； ，所以2n222所以 () 93mnpmnpmnp所以 10 分3p
