1、2017 届安徽省马鞍山市高三第三次模拟数学（理）试题一、选择题1已知集合 ， ，则 （ ）2340Ax|3BxABA. B. C. D. 3,4,1,1【答案】D【解析】由题意可得： ，则 4,|3xx或 AB.3,1本题选择 D 选项.2已知向量 ， ， ，若实数 满足 ，则2,a3,4b1,cmabc（ ）mA. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】B【解析】由平面向量的坐标运算法则可得： ，5,abc据此有： ，解得： .5m5,16m本题选择 B 选项.3欧拉公式 （为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将cosinixex指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数
2、函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知， 表示的4ie复数在复平面中对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】由题意可知： ,其中 ，则 表示的复4cosin4iecos0,in44ie数在复平面中对应的点位于第三象限.本题选择 C 选项.4已知命题 函数 是奇函数，命题 函数 在区间:p2017xf:q32gx上单调递增.则下列命题中为真命题的是（ ）0,A. B. C. D. qpqp【答案】A【解析】函数 的定义域为 R，且 fx20172017xxf f，函数 是奇函数，命题 p
3、是真命题；f，函数在区间 上单调递减，在区间 232gxx20,32,3上单调递增，命题 q 是假命题；据此逐一考查所给的选项可知 A 选项为真命题，BCD 为假命题.本题选择 A 选项.5执行如图所示的程序框图，若输出的值为 ，则输入的整数 （ ）312pA. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】B【解析】此程序框图是求数列 的前 项的和， ，解得 12n13122n5n，那么就是 是， 否，即 ，故选 B.4p55p6已知 的展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系1nx数和为（ ）A. B. C. D. 92101212【答案】A【解析】由题意可得： ，46
4、,0nC由二项式系数的性质可得：奇数项的二项式系数和为 .1092本题选择 A 选项.点睛：1二项展开式的通项 是展开式的第 k1 项，这是解决二项式1knTab定理有关问题的基础在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对 k 的限制2因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法3二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用，要充分利用二项展开式的特点和式子间的联系7某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时） ，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.
5、5，20)， 20， 22.5)， 22.5,25)，25，27.5)，27.5，30. 根据直方图，若这 200 名学生中每周的自习时间不超过 小时的人数为 164，则 的值约为（ ）mmA. B. 26.5.C. D. 7【答案】B【解析】结合题意和频率分布直方图可得： ,257.m据此列方程有： ,1640.21.6.082解得： .65m本题选择 B 选项.点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底
6、边中点的横坐标之和.8已知等比数列 的前项和 （ ） ，则 q 等于（ ）na1nSpq01p且A. 1 B. C. D. p【答案】D【解析】等比数列前 n 项和的特点为： ，题中： ，nSAqnnSpq据此可知： .qp本题选择 D 选项.9已知实数 x, y 满足 ，若 的最大值为 1，则 m 的值为（ 102xym3zxy）A. B. 2 C. 1 D. 833【答案】A【解析】由目标函数的几何意义结合可行域可知，目标函数在直线 与310xy的交点 处取得最大值，则直线 恒过定点 ，20xy3,80m,8解得： .83m本题选择 A 选项.10已知 的顶点都在半径为 的球 的球面上，球
7、心 到平面 的距离BCROABC为 ， ，则球 的体积是（ ）2R3A. B. C. D. 1632【答案】C【解析】 是等边三角形，所以球心 在底面的射影是 的中心 ，点ABOABCO是直角三角形，满足 ，解得： ， ,所以O2231R24R2，故选 C.342VR【点睛】本题考查了球与几何体的组合体问题，考查了空间想象能力以及计算能力，球心与截面圆的圆心连线垂直于截面，所以很多求球心问题，可先找底面多边形的外接圆的圆心，过圆心垂直于多边形的直线必过球心，然后再利用球心到所有顶点的距离相等的性质和构造直角三角形求球的半径.11过双曲线 （ ， ）的右焦点 作直线 的垂线，21xyab0abF
8、byxa垂足为 ，交双曲线的左支于 点，若 ，则该双曲线的离心率为（ ）AB2FAA. B. 2 C. D. 357【答案】C【解析】试题分析：设双曲线的右焦点 的坐标 ,由于直线 与直线0cB垂直,所以直线 方程为 ,联立 ,求出点byxaABayxbbyxac,由已知 ,得点 ,把 点坐标代入方程2,Ac2F2,3cbB, ,整理得 ,故离心率 ,选 C.21xyab22419ac5ca5cea【考点】1.双曲线的简单几何性质；2.平面向量的坐标运算.12定义在 的函数 的导函数 满足 ，且 ，0,fxfx380fx2f则不等式 的解集为（ ）241xfeA. B. C. D. ,ln0,
9、2,2ln【答案】B【解析】取特殊函数 ,满足：2(0)fx定义在 的函数 的导函数 满足 ，且 ，0,fx380fx2f此时不等式转化为： ，解得： ,241xeln2不等式的解集为： .,ln本题选择 B 选项.二、填空题13 过抛物线 焦点的直线交抛物线于 A， B两点，若 AB的中点 M到该抛物线2yx准线的距离为 5，则线段 AB的长度为_.【答案】10【解析】如图所示，设 为抛物线的准线，作 于点 E， 于点 , l lFl于点 ，则 ，ADl210ADBEMF由抛物线的定义有： .14一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为_ .【答案】 103【解析】如图所示，三视图还
10、原为几何体是棱长为 2 的正方体中的组合体 ABCDEF，将其分割为四棱锥 和三棱锥 ，其中：BCDEFABC， ，123BCDEFV1433V该几何体的体积 .40315已知函数 （ ， ， ）的部分图象如上sinyAx0A0图所示，则 _.【答案】 56【解析】由图象 ，又15sin26kZ,30914TT再由 ，55sin022,66 2kZk 解得 .16在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”. 将数列 1，2 进行 “扩展” ，第一次得到数列 1，2，2；第二次得到数列 1，2，2，4，2；. 设第次“扩展”后所得数列为 ，并记,mx，
11、则数列 的通项公式为_.lognmax na【答案】 312n【解析】.333212112 212log2log1n m mnaxxxxa 则 13nna且 ,1213log,2据此可得数列 是首项为 ，公比为 3 的等比数列，na则 .312n点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项三、解答题17已知 的内角 所对的边分别为 ，且 .ABC， ， abc， ， 2AC
12、（）若 为锐角三角形，求 的取值范围；ac（）若 ， ，求 的面积.1b3cABC【答案】 （） ；（） 2,2【解析】试题分析：(1)利用三角形的三个内角均为锐角可得 ，结合正弦定理的结论可得 的取64ac值范围是 .2,3(2)由(1)的结论结合余弦定理可得 ，三角形的面积 . 3cosC1sin2SabC试题解析：（）由正弦定理可得， ， sini2cosaACc因为 为锐角三角形，所以 ， ABC0023264002BCC进而可知， ，即 的取值范围是 ； 23cosac,3（）由（）可知， ，所以 ，s2cos6C由余弦定理可知， ，即 ，22cabC22931cos ， 为锐角，解
13、得 ，所以 ， 2ACos6sin3a从而 的面积为 . B1in2Sab（由 结合正弦定理求得 亦可）3sin3si4iC6sin3C18某理财公司有两种理财产品 和 这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每AB种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：产品 A产品 （其中 ）B0pq、（）已知甲、乙两人分别选择了产品 和产品 进行投资，如果一年后他们中至少AB有一人获利的概率大于 ，求 的取值范围；35p（）丙要将家中闲置的 10 万元钱进行投资，以一年后投资收益的期望值为决策依据，在产品 和产品 之中选其一，应选用哪个？AB【答案】 （） .所以 ；（）应选 B20323【解析】试题分析：(
14、1)利用题意结合各个事件之间的关系可得 .253p(2)计算数学期望 . 114036EX. 22202(0)33Ypqppp则当 时， ，选择产品 一年后投资收益的数学期望大，应59YA选产品 ； A当 时， ，选择产品 一年后投资收益的数学期望大，应选23pEXB产品 . B试题解析：（）记事件 为 “甲选择产品 且盈利” ，事件 为“乙选择产品 且盈利” ，事AB件 C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利” ， ，2,13PAp所以 ，所以 . 2121335pPB5p又因为 ，所以 .所以 . ,03pq（）假设丙选择产品 进行投资，且记 为获利金额（单位：万元） ，所以随机变量
15、 的AXX分布列为： X4 0 2P131216则 . 4026EX假设丙选择产品 进行投资，且记 为获利金额（单位：万元） ，所以随机变量 的BYY分布列为：Y 2 0 1Pp则 . 1222023(0)3 3EYqppp当 时， ，选择产品 和产品 一年后投资收益的数学期望相同，59pXEYAB可以在产品 和产品 中任选一个；AB当 时， ，选择产品 一年后投资收益的数学期望大，应选0产品 ； A当 时， ，选择产品 一年后投资收益的数学期望大，应选5293pEXYB产品 . B19如图，四棱柱 中， 底面 ，四边形 为梯1CDAB1ACDAB形， ，且 ， 为 的中点，过 三点的平面记为
16、 .A2Q1Q， ， （）证明：平面 与平面 的交线平行于直线 ； 1（）若 ， ，求平面 与底面 所成133ABCD， 120BCABCD二面角的大小.【答案】 （）证明见解析；（） 4【解析】试题分析：(1)由题意可得平面 与平面 的交线为 ，利用面面平行的性质即可证得结论；ABCD(2)利用题意做出二面角，计算可得平面 与底面 所成二面角的大小为 ABC4试题解析：（）如图，延长 , 交于点 ，ABDP因为 ，且 ，所以 ，又 为 的中点，所以C2Q1三点共线，此时平面 与平面 的交线为 ，1AQP， ， ABCD又平面 平面 ，根据面面平行的性质定理可得，平面 与平面/B1A的交线平行于直线 ； 1CD（）在梯形 中，由题意可计算出， ， ， 3BD23A，6AB进而可计算 ， ，说明梯形 是等腰梯形，所以有 33DABACC，D
