1、1第三节 复数的代数形式及运算【目录】题型 1 复数代数形式的运算题型 2 复数代数形式的综合应用三、解答题题型 1 复数代数形式的运算1计算：（1） ； （2） 。54)31(i196)2(31ii解：（1）原式= 。 wii 2)2()2( 55254 ii31)2(（其中 = ） 。i32（2）原式= =i+i4249+2=i+i2=-1+i.9898982)()1(1)( iiiii 2设 f(x, y)=x2y-3xy+y2-x+8，求：（1）f(1+i, 2-i)的值； （2）f(2- i, 2- i)-1的值。5解：（1）f(1+ i, 2-i)=(1+i) 2(2-i)-3(1
2、+i)(2-i)+(2-i)2-(1+i)+8=2i(2-i)-3(3+i)+(3-4i)-1-i+8=2+4i-9-3i+3-4i+7-i=3-4i；（2）若 x=y，则 f(x, y)=x3-2x2-x+8，又 x=2- i，(x-2) 2=(- i)2，即 x2-4x+9=0，5而 x3-2x2-x+8=(x2-4x+9)(x+2)-2x-10, f(2- i, 2- i)=0-2(2- i)-10=-14+2 i,55f(2- i, 2- i)-1= .5 iii 10872164)2()14( （3）(1- )10=1-C +C ( )2-C ( )3+，(1- )10的展开式中奇数
3、项之i0i30i30ii3和为复数(1- )10的实数。又(1- )10=-2 =210 10=210=2 10 =-29+29ii 10(i)2(i，(1- )10的展开式中各奇数项的和为-2 9。i3i3求同时满足下列两个条件的所有复数 z：（1） 是实数，且 10).（1）求 a, b 的值；（2）试求使 z1+z2+zn=0 的最小自然数 n；（3）对（2）中的自然数 n，求 z1z2zn的值。解：（1） z 1, z2, z3成等比数列，z =z1z3，即(a+bi) 2=b+ai，a 2-b2+2abi=b+ai, (a0)，解得 a= , b= 。.2ab2（2）z 1=1, z
4、2= ，公比 q= 。于是 zn=( )n-1。i13i13i213z1+z2+zn=1+q+q2+qn-1= =0，q n=( )n=(-i)n( )n=1，即 n 即是 3 的倍数又qni2i是 4 的倍数。故 n 的最小值为 12。（3）z 1z2z12=1( )( )2( )11i213i13i133=( )1+2+11= .i213 1)231()231)( 666 iiii2求(1- )10的展开式中的所有奇数项的和。i解：(1- )10的展开式中的所有奇数项的和3S= ；1010881066104410221001 )3()3()3()3()( iCiiCiiCi 而偶数项之和为
5、 ，因此所有奇数项的和，即77552为(1- )10的实部，(1- )10=-2( )10=(-2)10( )10=210( )=-29+i3i3ii2i21，(1- )10的展开式中所有奇数项之和为-512.9ii3计算： iiii 71)84()()12(322304解：原式= iiiiii 71)84)()2)(602.10)123162i4求复数7-24i的平方根解：设复数7-24i的平方根为x+yi(x、yR)，则(x+yi) 2=7-24i，即x 2-y2+2xyi=7-24i. 复数7-24i的平方根为4-3i或-4+3i. .3,4,12,7yxxy或解法二：（配方法）7-24
6、i=(16-9)-243i=(4-3i) 2. 7-24i的平方根为(4-3i)，即为-4+3i或4-3i.5已知z=1+i，且 =1-i(a、bR)，求a、b的值12za解：将已知等式变形为z 2+az+b=(1-I)(z2-z+1). (z 2-z+1)(1-i)=(1+i)2-(1+i)+1(1-i) =i(1-i)=1+i,又z 2+az+b=(1+i)2+a(1+i)+b=(a+b)+(a+2)i,由两个复数相等的充要条件得：a=-1, b=2.1,ab6计算 .12)32(ii解： )1(2332iiiii ),1(23(i4原式=(-1) 12 =1(-2i)6=-64.6243
7、1212 )1()()(3( iiii 7已知复数z= , =z+ai(aR), 当 时，求z的取值范围ii|解：z= = ，|z|= , 又 ，|2i)31()31(ii122|而=z+ai=(1-i)+ai=1+(a-1)i(aR)，则 (a-1)23- a-1 , )(2a31- a1+ . 故a的取值范围是1- , 1+ 338设复数z 1,z2满足z 1z2+2i(z1-z2)+1=0, -z1=2i，求z 1, z22解： -z1=2i, =z1+2i，z 2= -2i. 将其代入已知条件，得z 1( -2i)+2i(z1- +2i)+1=0. z设z 1=a+bi(a、bR)代入
8、上式，得a 2+b2-2b-3-2ai=0. z 1=3i, z2=-5i，或z 1=-i, z2=-i.,0,3023baab或9已知复数z满足|z|= , z2的虚部为2（1）求复数z；（2）设z, z 2, z-z2在复平面上的对应点分别是A，B，C，求ABC的面积解：（1）设z=a+bi(a, b R)，则由已知条件得a 2+b2=2, 2ab=2, a=b=1，或a=b=-1，即z=1-i或z=-1=i. （2）由（1）得，当z=1+i时，z 2=2i, z-z2=1-i. A(1, 1), B(0, 2), C(1, -1), 由图形易知S ABC=110已知复数z 1满足(1+i)z 1=-1+5i, z2=a-2-i，其中I为虚数单位，aR, 若|z 1- |0. 故-u 222 =4-3=1. 当a+1= ，即a=0时，-u 2取1 31)(a得最小值1
