1、第七节,高阶线性微分方程,实际问题中，常会遇到高阶线性方程，例如,二阶线性 微分方程,一、二阶线性微分方程,二、二阶线性微分方程的解的结构,定理1 （解的叠加原理）,回顾二阶微分方程通解的概念,函数的线性相关与线性无关,两个函数的情形,线性相关，,线性无关，,线性相关,线性无关,n个函数的线性相关和线性无关,为什么？,定理2（二阶齐次线性方程的通解结构）,是二阶齐次线性方程的通解.,n阶齐次线性方程的通解结构,定理3 （通解的结构）,解,故通解为,根据非齐次线性方程通解的结构，,定理4 （解的叠加原理）,解,由前例知：,由解的叠加原理，知,小 结,一、二阶线性微分方程通解结构,通解为,1.齐次
2、线性方程,的通解为,二、解的叠加原理,1.齐次线性方程,的特解.,思考题,1 已知n阶齐次线性微分方程的n个解， 是否一定可以得到通解？,2 由二阶非齐次线性方程的两个解，能否得 到对应的齐次线性方程的解？为什么？,答：不一定.,答：非齐次方程两个解函数之差就是对应 齐次方程的解.,补充定理,自行证明,是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解，,（1）求此方程的通解；,（2）写出此微分方程；,解（1）由题设知,是相应的齐次线性方程的两个解,而且线性无关，,根据非齐次线性方程的通解结构,所求 通解为,因通解,（2）写出此微分方程；,从而特解为,（3） 将初始条件,代入通解及其导数式：,通解,作 业,p.300 习题12-7,1. (1), (5), (9), (10); 3. 4. (1), (4).,
