1、一 叙述题（每小题 10分，共 30分）1 叙述含参变量反常积分 一致收敛的 Cauchy收敛原理。adxyf),(2 叙述 Green公式的内容及意义。3 叙述 n重积分的概念。二 计算题（每小题 10分，共 50分）1计算积分 ，其中 C为椭圆 ，沿逆时针方向。CyxdI2431322yx2已知 其中 存在着关于两个变元的二阶连续偏导数，求),(zf ),(vuf关于 的二阶偏导数。zyx,3求椭球体 的体积。122cbya4若 为右半单位圆周，求 。llds|5计算含参变量积分 ( )的值。02)co1n( )( dxaI 1三 讨论题（每小题 10分，共 20分）1 若积分在参数的已知
2、值的某邻域内一致收敛，则称此积分对参数的已知值一致收敛。试讨论积分 021xadI在每一个固定的 处的一致收敛性。a2 讨论函数 的连续性，其中 在 上是正的连续函数。yxfyF102)( )( )(xf1,0答案一 叙述题（每小题 10分，共 30分）1 含参变量反常积分 关于 在 上一致收敛的充要条件为：对于任adxyf),(,dc意给定的 ， 存在与 无关的正数 ， 使得对于任意的 ，00A0,A成立。, ,),(cydxfA2 Green公式：设 为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域。如D果函数 在 上具有连续偏导数，那么),(,QyP， DDdxyPQdyx)(其中
3、取正向，即诱导正向。Green公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二类曲线积分的关系。3设 为 上的零边界区域，函数 在 上有界。将 用曲面网分成 个nR)(xfun小区域 （称为 的一个分划） ，记 为 的体积，并记所有的n,.21 iVi小区域 的最大直径为 。在每个 上任取一点 ，若 趋于零时，和式i i ixiniiVxfI1)(的极限存在且与区域的分法和点 ix的取法无关，则称 )(xf在上可积，并称此极限为 )(xf在有界闭区域上的n重积分，记为iniiVPffdVI10)(lm。二 计算题（每小题 10分，共 50分）1 解 令 则,sin21 ,cos3 : tyt
4、xl.3)sin(co634422022 dttxddyIlC2 解 令 则, ,zvxu,xzv,yzu.1zv， .vfufxzvff故 ,22222 xvfxfufxufz,22222 yvfyvfufyufz ,222 xfxfxfxfy即 .2 22222 2222 xzvfxzvfxzufxzuf fvfffxz .1 22222 2222 yzvfyzfzxufyzxuf ffffyz xfxfxfxfz222.1 2 22 yzxvf yzvfyzzufuf3 解 由于对称性，只需求出椭球在第一卦限的体积，然后再乘以 8即可。作广义极坐标变换 （ ） 。sin ,cosbrya
5、rx20 , ,0rba这时椭球面化为。222 1)sin()co(1rcbaz 又，abrryxrDxrcossini),(于是 drDyxrzdxzVy xy),(,),(81 rabcrc1021022 1022)1(2rdabc。abc6)3023所以椭球体积。cV44 解 的方程为： 。由 ，l 0,12xyxyxdydds 22符号的选取应保证 ，在圆弧段 上，由于 ，故0AC0xyxs而在圆弧段 上，由于 ，故CBdyxs所以 dxydICBACl 1。201x5 解 。当 时，由于0)cosln()( daaI 1，22x2)(a0故 为连续函数且具有连续导数，从而可在积分号下
6、求导。)cos21ln(2x02cos1 (dxaaI 021 022cos)( 1xada022s1 )(0212xtgarcta。于是，当 时， （常数） 。但是， ，故 ，从而 。1aCI)( 0)(IC0)(aI三 讨论题（每小题 10分，共 20分）1 解 设 为任一不为零的数，不妨设 。取 ，使 。下面证明0 0a0积分 在 内一致收敛。事实上，当 时，由于I),(a),(0a，210xa20)(x且积分 dx020)(收敛，故由 Weierstrass判别法知积分 a021在 ),(0a内一致收敛，从而在 0a点一致收敛。由 0a的任意性知积分I在每一个 0a处一致收敛。下面说明
7、积分I在 0a非一致收敛。事实上，对原点的任何邻域 ),(有： 0A，有 )0(11202atdxaaA。由于 02201limtdtaA，故取 ，20在 ),(中必存在某一个 ，0a使有 |1|2aAtd，即 |1|20Axad因此，积分I在 0a点的任何邻域 ),(内非一致收敛，从而积分I在 0a时非一致收敛。2解 当 时，被积函数是连续的。因此， 为连续函数。0y )(yF当 时，显然有 。0)(F当 时，设 为 在 上的最小值，则 。由于ymxf1,0myarctgdxyy1)(02及，21lim0yarctgy故有。0)(li0Fy所以， 当 时不连续。)(yF（三十三）数学分析试题
8、（二年级第一学期）一 叙述题（每小题 10分，共 30分）1叙述二重积分的概念。2 叙述 Gauss公式的内容。3 叙述 Riemann引理。二 计算题（每小题 10分，共 50分）1求球面 与锥面 所截出的曲线的点 处的切线5022zyx 22zyx)5 ,43(与法平面方程。2求平面 ，圆柱面 ，锥面 所围成的曲顶柱体的体2 2yx积。3计算三重积分。VdzyxI)(其中 。 10, ,10: zyxV4 利用含参变量积分的方法计算下列积分。dxe2 5 计算 其中 为上半椭球面Myzdxyzx,333 M),0,(,122 cbazcba定向取上侧.三 证明题（每小题 10分，共 20分
9、）1若 及 证明不等式n,0 ,yx .2nnyxx2证明 关于 在 上一致收敛，但在 上d0si )( ,ba) ,0(非一致收敛.答案一 叙述题（每小题 10分，共 30分）1设 为 上的零边界区域，函数 在 上有界。将 用曲线网分成2R),(yxfz个小区域 （称为 的一个分划） ，记 为 的面积，并记所nn,.21 ii有的小区域 的最大直径为 。在每个 上任取一点 ，若 趋于零时，i i ),(i和式iniifI1),(的极限存在且与区域的分法和点 ),(i的取法无关，则称 )(xf在上可积，并称此极限为 ),(yxf在有界闭区域上的二重积分，记为iniifdyxfI 10),(lm
10、),(。2设 是 中由光滑或分片光滑的封闭曲面所围成的二维单连通闭区域，函数3R， 和 在 上具有连续偏导数。则成立等式),(zyxP),(zyxQ),(zyx RdxyQzPdydxzRyQxP，这里的定向为外侧。3设函数 在 可积且绝对可积，则成立)(x,babappxdsin)(lim0co。二 计算题（每小题 10分，共 50分）1 求球面 与锥面 所截出的曲线的点 处的切线5022zyx 22zyx)5 ,43(与法平面方程。解 设 ， 。它们在 处的偏),(22zzF 22),(zyxzG) ,(导数和雅可比行列式之值为：,6x,8yF,10z,G,zG和， ， 。160),(zy
11、F120),(xzF0),(yxF所以曲线在 处的切线方程为：5 43，05124603zyx即 .5,)()(zyx法平面方程为，0)()4(3)(4yx即。02 求平面 ，圆柱面 ，锥面 所围成的曲顶柱体的体0zxy222yxz积。解 其体积 ，其中 。设 。DdxyV2 xyD2 :2sin ,coryr。故2 ,cos : rD.932sin)i1(38 cos2223cos202ddrdxyVD3 解 10 101210 10210 .3)(|)()2( |)dxxyxdyxd dyzyzzyV4 解： 首先，令 ，则 ，在积分 中，再令deI2 eI2 dxe02 ，其中 为任意正
12、数，即得 再对上式两端乘以utx . 0022dxuxt，然后对 从 到 积分，得de20002 .422tedIuu注意到积分次序可换，即得 .12402)1(002222tduettItu由于 故,0I.I5 利用广义球面坐标代入曲面方程就可得曲面的参数方程为 .20,cos,sin,cosin zbyax易得 ,si),(2,in),(2acxz,cosin),(2bayx因此 ).(52 )cosinsincosin22 3453/0 45333bac dababddxyzyzxM 三 证明题（每小题 10分，共 20分）1证明 考虑函数 在条件 下的极值问题，2nyxz )0 ,(
13、yxayx设 ).()(1),(yxFn解方程组 021ayxFnx可得 从而 如果 时，则结论显然成立2ayx.2nnnayxyx2证明 首先证 在 上一致收敛. 由于d0si,b, ,0 ,)cos(1in 0 bayAayxyA 因而一致有界，而 是 的单调减少函数且 由于 与 无关，因此这个/ ,1limxx/1极限关于 是一致的，于是由 Dirichlet判别法知 在 上一致收敛.y d0sin ,bay再证 在 上非一致收敛. 对于正整数 ，取 ，这时dxy0sin) ,0( n/ .32si 32/sin i /2/32/3 nnn dxdx只要取 则对于任意 总存在正整数 满足
14、 取 ，这时成立,0,0A,0Any/1.32sin 02/3 ndxy由 Chauchy收敛原理知 在 上非一致收敛.x0si) ,0(（三十四）数学分析试题（二年级第一学期）一 叙述题（每小题 10分，共 30分）1 叙述第二类曲线积分的定义。2 叙述 Parseval等式的内容。3 叙述以 为周期且在 上可积函数 的 Fourier系数Fourier 级数及其,)(xf收敛定理。二 计算题（每小题 10分，共 50分）1求 ，此处 为联结三点 的直线段。ldsyxI)(l )1,(0, ),(BAO2计算二重积分。dxyI)(2其中 是以 和 为边的平行四边形。ayxy, 0 33一页长
15、方形白纸，要求印刷面积占 ，并使所留叶边空白为：上部与下部宽度2 cmA之和为 ，左部与右部之和为 ，试确定该页纸的长 和宽 ，使得它的总面积cmh r )(yx为最小。4计算三重积分。VdxyzcbyaxI)(22其中 是椭球体 。 V122czbyax5计算含参变量积分 的值。)0( 0abdxeax三 讨论题（每小题 10分，共 20分）1 已 知 ，试确定二阶偏导数 与 的关系。yxuarcosyxu222 讨论积分 的敛散性。dqp答案一 叙述题（每小题 10分，共 30分）1 设 为定向的可求长连续曲线，起点为 ，终点为 。在曲线上每一点取单位切LAB向量 ，使它与 的定向相一致。
16、设)cos,(csL= + +zyxfP,(ziQ),(zyxjR),(zyxk是定义在 上的向量值函数，则称Ldsf L dsco),(cos),(cos),(为 定义在 上的第二类曲线积分（如果右面的第一类曲线积分存在） 。f2函数 在 可积且平方可积，则成立等式)(xf,。dxfbann)(1212203 若 是以 为周期且在 上可积的函数，则)(xf,nxdfancos)(),210(bi1称为函数 的 Fourier系数，以 的 Fourier系数为系数的三角级数 )(xf )(xf10 )sinco2nba称为函数 的 Fourier级数，记为)(xf。10 )sinco(2)(n
17、xbaxf收敛定理：设函数 在 上可积且绝对可积，且满足下列两个条件之一，则f,的 Fourier级数在 收敛于 。)(xf x2)(xff（1） 在某个区间 上是分段单调函数或若干个分段单调函)(f 0,数之和。（2） 在 处满足指数为 的 Holder条件。)(xf 1,(二 计算题（每小题 10分，共 50分）1。解 。dsyxdsyIl BOAO)()( 在直线段 上 得OAx ,021)(0OAxdsyx在直线段 上 得B ,13)()(10Aysyx在直线段 上 得dx2 , 2)(10BOsyx所以 。I2解 .ayadxdxy3 422 1)()(3解 由题意，目标函数与约束条
18、件分别为 与xyS作 Lagrange函数 则有.)( , , Ahyrxhyrx ,)(AhyrxyL.0)( ,AhyrxLy由此解得 .1 ,1 , ryrx于是有 . ,hrAyrhx并且易知它是极小值点.4解 由于，dxyzcdxyzbdxyzaI VVV222其中，DaVdyzxdxyza22这里 表示椭球面D2221axczby或 。1)()1(22axczaxby它的面积为。)1()1)( 222axbcaxcb于是 。bcddxyzaaV 54)(222同理可得 ，bczbV1542。adxyzcV2所以 。 bcI54)1(35计算含参变量积分 的值。)0( 0adxeba
19、x解 因为 ，所以 。注意到yxebaxa dyexdebabx00 在域： 上连续。又积分 对 是一致收敛的。事实xye ,xy上，当 时， ，但积分 收敛。故积分bya ,0axye0deax0是一致收敛的。于是，利用对参数的积分公式，即得dxey0dxeydexybabay00。从而得abydxedyxebabaybax ln00 。三讨论题（每小题10分，共20分）1 当 时， 。yx0yxuarcosyxarcs，yx12 )(1x，yxu123)(2xy，x223)(4x，yu212y23)(4xy23)(41xy于是，当 时， 。x0xu当 时， 。yyuarcosyarcs2首先注意到。2)1()(qpqpxx若 ，则当 充分大时 ，从而当 充分大时函数 是1),max(qpx0qpxxqpx递减的，且这时。xlimqp又因 （对任何 ） ，故 收敛。Axdcosin1Adxqpcos若 ，则恒有 ，故函数 在 上是递增的。于是，),ma(qp0qpxqp正整数 ，有ndxnqp42cos2xnqp4qp常数 ，qp820故不满足 Cauchy收敛准则，因此 发散。dxqpcos
