1、1运用数学思想解排列组合应用题江苏省金湖中学 现行的中学课本中关于排列和组合的内容虽然不多，但因抽象概括程度高且结果不易验算，常使我们不知其所以然，因而对此类问题敬而远之其实，排列组合问题是有其自身的思考方式和解题规律的运用常用的数学思想可揭示这些思考方式和解题规律，下面举例说明，供参考一 分类讨论 这是一种基本方法，是化整为零各个击破的策略例 由到这十个数字组成六位数，要求其中含有三个 5，其他无重复数字，问这样的六位数有多少个？分析：满足条件六位数可分两类：（）首位数字是的六位数，有 种；2539（）首位数字不是的六位数，有 种所以一共有 183522539182（种）例 用 四 种 颜
2、色 去 涂 图 中 编 号 为 1、 2、 3、 4 的 四 个 矩 形 ， 如 图 使 得 任 意 两 个相 邻 的 矩 形 的 颜 色 都 不 相 同 ， 这 样 的 涂 法 共 有 多 少 种 ？ 分 析 ： 涂 色 方 案 有 3 类 用 四 种 颜 色 ， 有 A 种 。4 用 三 种 颜 色 ， 先 选 出 颜 色 有 C 种 选 法 ， 再 排 到 三 个 矩 形 中 去 ， 使 其 中 一 对 角 颜 色34相 同 ， 有 2A 种 排 法 ， 故 此 涂 法 有 2C A 种 。 用 二 种 颜 色 ， 使 其 对 角 颜 色 相3 34同 有 2 种 涂 法 。 故 总 涂
3、 法 有 ： A 2 C A 2 84 种4 3二 等 价 转 化 将 一 个 具 体 的 问 题 进 行 抽 象 ， 转 化 为 熟 悉 的 问 题 ， 然 后 归 类 求解 。例 3 3 人 坐 在 一 排 8 个 座 位 上 ， 若 每 人 的 左 右 两 边 都 有 空 座 位 ， 则 有 多 少 种 不 同的 坐 法 ？分 析 ： (插 空 法 )问 题 可 转 化 为 有 5 个 空 座 位 ， 在 它 们 之 间 的 四 个 空 档 中 让 三 个 人来 坐 ， 故 共 有 A 24 种 坐 法 。3 2例 4： (1994 年 上 海 高 考 题 )计 划 在 某 画 廓 展
4、出 10 幅 不 同 的 画 ， 其 中 1 幅 水 彩 画 ，4 幅 油 画 ， 5 幅 国 画 ， 排 成 一 行 陈 列 ， 要 求 同 一 品 种 的 画 必 须 连 在 一 起 ， 并 且 水 彩 画 不放 两 端 ， 那 么 不 同 的 陈 列 方 式 有 ：A. A44A55 种 B. A32A44A55 种 C. C31 A44A55 种 D. A22 A44 A55 种分 析 ： (捆 绑 法 )4 幅 油 画 为 一 固 定 组 ， 5 幅 国 画 为 一 固 定 组 ， 因 水 彩 画 只 能 在 中 间 ，故 三 组 只 有 A22 种 排 法 ， 再 由 油 画 和
5、国 画 内 部 的 排 列 知 共 有 A22 A44 A55 种 陈 列 方 式 ，即 应 选 D。三 正 难 则 反 若 一 个 问 题 从 正 面 考 虑 比 较 困 难 ， 可 从 反 面 去 思 考 例 ： 某 小 组 共 有 10 名 学 生 ， 其 中 女 生 3 名 ， 现 选 举 2 名 代 表 ， 至 少 有 1 名 女生 当 选 ， 不 同 选 法 共 有 ：A.27 种 B.48 种 C.21 种 D.24 种分 析 ： 至 少 有 1 名 女 生 当 选 的 反 面 是 ： 女 生 都 不 当 选 ， 即 只 从 男 生 中 选 取 ， 故 从排 列 总 数 中 去
6、掉 这 部 分 即 可 ， 即 不 同 选 法 有 C102 C72 24 种 ， 即 应 选 D。例 由 数 字 ， ， ， ， 组 成 没 有 重 复 数 字 且 数 字 与 不 相 邻 的 五 位数 有 多 少 个 ？分 析 ： 每 一 个 五 位 数 只 有 两 种 可 能 ； 即 与 不 相 邻 或 与 相 邻 ，前 者 情 况 较 多 ， 后 者 情 况 较 少 （ 为 种 ） ， 故 与 不 相 邻 的 五 位 数 有 24 5 种24四 整 体 思 考 先 从 全 局 出 发 求 出 问 题 全 部 ， 再 根 据 题 设 剔 除 不 合 要 求 部 分 例 ： (1990 年
7、 全 国 高 考 题 )A、 B、 C、 D、 E 五 人 并 排 站 成 一 排 ， 如 果 B 必 须站 在 A 的 右 边 (A、 B 可 以 不 相 邻 )， 那 么 不 同 的 排 法 有 ：A.24 种 B.60 种 C.90 种 D.120 种分 析 ： 在 不 考 虑 A、 B 顺 序 时 ， 有 A 种 ， 因 为 B 在 A 的 右 边 与 B 在 A 的 左 边5是 等 机 率 的 ， 即 为 两 个 元 素 的 全 排 列 数 之 一 ， 故 应 有 A A 60 种 ， 即 应 选 B。52例 :由 数 字 1、 2、 3、 4、 5 组 成 没 有 重 复 数 字
8、的 五 位 数 ,其 中 小 于 50000 的 偶3数 共 有 ( )(A) 60 个 (B)48 个 (C)36 个 (D)24 个分 析 ： 五 个 数 的 全 排 列 为 A ,满 足 条 件 的 五 位 数 个 位 数 出 现 2 或 4 的 可 能 性 为5,在 余 下 的 四 位 数 中 ,万 位 上 出 现 满 足 条 件 的 数 字 的 可 能 性 为 .故 满 足 条 件 的 五 位 数52 3共 有 A =36 即 应 选 C.45五 以 形 助 数 用 画 表 格 ， 画 图 形 的 方 法 帮 助 理 解 题 意 例 ： (1993 年 全 国 高 考 题 )同 室
9、四 人 各 写 一 张 贺 年 卡 ， 先 集 中 起 来 ， 然 后 每 人 从中 拿 一 张 别 人 送 的 贺 卡 ， 则 四 张 贺 年 卡 不 同 的 分 配 方 式 有 ：A.6 种 B.9 种 C.11 种 D.23 种分 析 ： 利 用 填 表 格 的 原 理 来 解 。 若 甲 拿 乙 送 出 的 ，则 乙 有 种 选 法 ， 而 丙 、 丁 只 有 一 种 ， 同 样 若 甲 拿 丙 送 出 的 ， 则 丙 有 C 种 选 法 ，13 13乙 、 丁 只 有 一 种 ， 若 拿 丁 的 也 是 如 此 ， 故 应 有 3 9 种 ， 即 应 选 B。1例 1 ： 有 10
10、个 相 同 的 球 ， 放 到 编 号 为 1、 2、 3 的 盒 子 中 ， 其 中 球 数 不 小 于 盒 子的 编 号 数 的 放 法 有 多 少 种 ？ ,分 析 ： 若 将 2 号 盒 放 1 个 球 ， 3 号 盒 放 2 个 球 ， 则 问题 转 化 为 将 7 个 球 分 为 三 堆 ， 其 中 每 堆 至 少 有 1 个 球 的 问 题 。 将 7 个 球 排 成 一 列 ， 中 间 有 6 个 空 档 ， 设 想 从 中 选 出 2 个 空 档 将 两 块 隔 板 插 入 即 可 解决 问 题 ， 即 应 有 C 15 种 放 法 。26六 模 型 化 归 把 实 际 问
11、题 进 行 抽 象 思 考 ， 化 归 为 某 典 型 题 型 例 ： 一 个 楼 梯 共 10 级 台 阶 ， 每 步 走 1 级 或 2 级 ， 8 步 走 完 ， 一 共 有 多 少种 走 法 ？分 析 ： 10 级 台 阶 要 求 8 步 走 完 ， 且 每 步 只 能 走 1 级 或 2 级 ， 显 然 必 须 有 2 步中 每 步 要 走 2 级 台 阶 ， 6 步 中 每 步 要 走 1 级 台 阶 ， 则 问 题 可 化 归 为 ： 在 8 个 不 同 元 素中 选 2 个 走 2 级 ， 其 余 6 个 都 走 1 级 ， 即 一 共 有 C =28 种 走 法 。 甲 乙
12、丙 丁4例 ： 10 个 三 好 生 的 名 额 分 给 6 个 班 ， 允 许 有 的 班 没 有 ， 有 的 班 得 多 个 ， 则共 有 多 少 种 不 同 的 分 法 ？分 析 ： 由 于 每 个 班 名 额 数 大 于 或 等 于 零 ， 可 抽 象 为 x1+x2+x3+x4+x5+x6=10, 且x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0, x6 0; 则 x1+1 1, x2+1 1, x3+1 1, x4+1 1, x5+1 1, x6+1 1; 令 y1=x1+1 1, y2=x2+1 1, y3= x3+1 1, y4=x4+1 1, y5=x5+11, y6=x6+1 1; 且 y1 y2 y3 y4 y5 y6 ， 则 问 题 可 化 归 为 ： 将 16 个球 分 为 六 堆 ， 其 中 每 堆 至 少 有 1 个 球 的 问 题 。 同 例 10 用 隔 板 法 可 得 ： 有 C =30035种 分 法 。注：06 年 11 月在中学生理科应试发表
