1、2016 届山东省德州市武城县第二中学高三第二次模拟考试考前模拟数学（理）试题2016.4.19一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分）1.已知集合 1,23A，集合 2|680Bx，则 AB（ ）A B ,3C 1,23D 2,32.已知 i为虚数单位，若 1zi，则 z的共轭复数 z（ ）A 1B iC iD 1i3.已知平面向量 ,abc，满足 112abc，则 |abc的最小值为（ ）A2 B4 C 4D164.已知某地区一次联考中 10000 名学生的数学成绩服从正态分布 (20,1)N，则数字成绩高于 130 分的学生人数大约为（ ）A3174 B1587
2、 C456 D6828附： 2(,)XN:，则 ()0.682PX；(0.954P； (33)0.974.5.若不等式 32|2|1|xa对任意实数 x恒成立，则实数 a的取值范围是（ ）A (,4B (,C )D 2)6.设 ,xy是两个实数，命题 “ ,xy中至少有一个数大于 1”成立的充分不必要条件是（ ）A 2B 2C xyD 1xy7.执行如图所示的程序框图，若输入的 0，则输出的 S的值为（ ）A22 B37C38 D638.如图，已知半径为 2 的半圆中， C为直径， O为圆心，点 A在半圆弧上，且 B，则图中阴影部分绕直线 旋转一周所形成的几何体的体积为（ ）A 163B 32
3、C D9.已知双曲线21yx与抛物线 2xay有相同的焦点 F，点 P是抛物线准线上的一个动点，点 A在抛物线上，且 |4AF，则 |PO（ 为坐标原点）的最小值为（ ）A 213B 2C 31D 4610.已知函数 ()|log|1|fx，且关于 x的方程 2()()0fxafb有 6 个不同的实数根，若最小的实数根为3，则 ab的值为（ ）A2 B4 C6 D8二、填空题（本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）11.已知函数 1,3()28xf，则 (2)f.12.已知 :0,:4pqm，若 p是 q的充分不必要条件，则实数 m的取值范围是.13.已知函数 ()|2|,()|fx
4、gxa，若函数 ()fx的图象恒在函数 ()gx的图象的上方，则实数a的取值范围是 .14.2015 年 4 月 22 日，亚非领导人会议在印尼雅加达举行，某五国领导人 ABCDE、 、 、 、 除 B与ED、与 不单独会晤外，其他领导人两两之间都要单独会晤.现安排他们在两天的上午、下午单独会晤（每人每个半天最多只进行一次会晤） ，那么安排他们单独会晤的不同方法共有 种.15.若实数 0,ab，且 12ab，则当 8ab的最小值为 m时，函数 ()|ln1mxfe的零点个数为 .三、解答题（共 75 分）16. （本小题满分 12 分）已知 ABC的内角 ,所对的边分别为 ,abc，且 ,成等
5、比数列， 3cos5B.（1）求 cosini的值；（2）设 3，求 ac的值.17.（本小题满分 12 分）2015 年中国汽车销售遇到瓶颈，各大品牌汽车不断加大优惠力度.某 4S 店在一次促销活动中，让每位参与者从盒子中任取一个由 09 中任意三个数字组成的 “三位递减数” （即个数数字小于十位数字，十位数字小于百位数字）.若“三位递减数”中的三个数字之和既能被 2 整除又能被 5 整除，则可以享受 5万元的优惠；若“三位递减数”中的三个数字之和仅能被 2 整除，则可以享受 3 万元的优惠；其他结果享受 1 万元的优惠.（1）试写出所有个位数字为 4 的“三位递减数” ；（2）若小明参加了
6、这次汽车促销活动，求他得到的优惠金额 X的分布列及数字期望 EX.18. （本小题满分 12 分）如图 1，在矩形 ABCD中， 24B， ,MNE分别为 ,BCAD的中点，现将 AD沿AE折起，折起过程中点 仍记作 ，得到如图 2 所示的四棱锥 E.（1 ）证明： /MN平面 CDE；（2）当 ADBE时，求直线 D与平面 CE所成角的正弦值 .19. （本小题满分 12 分）已知数列 na的前 项和为 nS，若对任意正整数 n，都有 324naS.（1）设 2logb，求证：数列 b为等差数列；（2）在（ 1）的条件下，设 1()nnc数列 nc的前 项和为 nT，求证： 125nT.20
7、. （本小题满分 13 分）已知函数 ()(,xafRe为自然对数的底数， 2.718e）.（1）若曲线 yf在 0处的切线的斜率为1，求实数 a的值；（2）求 ()fx在 ,上的最大值 ()ga；（3）当 0a时，若对任意的 ,x，恒有 ()mfx，求正实数 的最小值.21.（本小题满分 14 分）已知椭圆2:1(0)xyCab与双曲线21xy有共同的焦点，抛物线 24xy的焦点为椭圆 的一个顶点.（1）求椭圆 的标准方程；（2）若点 0(,)Mxy在椭圆 C上，则点 0(,)xyNab称为点 M的一个“椭点”.直线 l与椭圆 C交于不同的两点 ,AB，且 两点的“椭点”分别为 PQ.（i）
8、若直线 l的方程为 yx，求 ,两点的坐标；（ii）若以 PQ为直径的圆经过坐标原点 O，那么 AB的面积是否为定值？若是定值，试求出该定值；若不是定值，请说明理由.高三数学（理科）试题答案15：BCBBA 610：BCAAA11. 312.5,)13.(,6)14. 48 15.116.解析：（ 1）由题意知， 2bac，由正弦定理得， 2sinisnBAC.由 cos5B，得 4sin5.（3 分）osinsi()si15inii nsi4ACACA .（6 分）（2）由 3B， cs5B，得 ac，（8 分）由余弦定理得， 223ab，（10 分）故 2()1c， 1c.（12 分）17
9、.解析：（ 1）个位数字为 4 的“三位递减数”有：984，974，964 ，954 ，874 ，864，854 ，764，754 ，654，共 10 个.（4 分）（2）由题意，不同的“三位递减数 ”共有 3102C个.（5 分）小明得到的优惠金额 X的取值可能为 5，3，1.当 5X时，三个数字之和的可能为 20 或 10，当三个数字之和为 20 时，有 983，974，965，875，共 4 个“三位递减数” ；当三个数字之和为 10 时，有 910，820，730，721，640，631，541，532，共 8 个“三位递减数” ，所以 481()20P.（7 分）当 3X时，三个数字
10、之和只能被 2 整除，即这三个数字只能是三个偶数或两个奇数一个偶数，但不包括能被 10 整除的 “三位递减数 ”，故321548()05C.（9 分）故 121()(3)0PXPX.（10 分）所以他得到的优惠金额 的分布列为5 3 1102（11 分）数学期望 1253.0EX（万元）.（12 分）18.解析：（ 1）取 A的中点 F，连接 ,MN.（1 分）因为 ,MF分别为 BC， AE的中点，所以 /MFCE，又 平面 D， 平面 ，所以 平面 D.（3 分）同理， /N平面 .（4 分）又 ,平面 ,N，所以平面 /N平面 E.（5 分）因为 平面 F，所以 /平面 CE.（6 分）
11、（2）在题图 1 中，连接 BE，因为 24AB，所以 2A，2AEB，所以 .（7 分）又 D， ,平面 ,D，所以 平面 DE，又 平面 C，所以平面 平面 CE.（8 分）连接 F，因为 AE为等腰三角形， F为 A的中点，所以 FA，所以 平面 B.因为 2，所以 2，所以 2.以点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Exyz，则 (0,)(,0)(,)EC，12D， 2，(,).（9 分）设平面 CE的法向量为 (,)nxyz，则 0nECD，即20yxz，令 2z，则 x，故平面 的一个法向量为 (,).（10 分）设直线 BD与平面 所成的角为 ，又 1,32B，则 |4
12、sin|co, 26nD，即直线 B与平面 CE所成角的正弦值为 3.（12 分）19.解析：（ 1）由 324naS，得 4(2)3na，当 1n时， 14(2)3a，解得 18a.由 ()nS ，得 4(2)3nnS ，得， 11，得 1，所以 na为首项为 8、公比为 4 的等比数列，所以 1284nna.（5 分）所以 21lognb， 12nb，所以数列 n为等差数列. （6 分）（2） 11 14(1) 1()()()()23423n nnn ncb n .（8 分）当 为偶数时， ()()()()435791nT ()11()432；当 n为奇数时， 11()()()()n ()
13、23n()；（10 分）当 为偶数时， ()432nT，函数 1()43fn单调递增，21nT，即 1；当 为奇数时， ()n，函数 ()2gn单调递减，1225n.所以 T.（12 分）20.解析：（ 1） 2()1()xxxeaaf e， (0)1fa，解得 2a.（3 分）（2）由 ()0fx，得 1a；由 ()fx，得 .所以 的单调递增区间是 (,，单调递减区间是 (1,)a.（4 分）当 1a，即 2时， )fx在 上单调递减， max(1)ffae；当 ，即 0a时， 1a为 ()fx在区间 ,上的极大值点，也是最大值点，所以max1()()affe；当 1，即 0 时， ()f
14、x在 1,上单调递增，max()()ffe.（7 分）所以 1,0(),2)age.（8 分）（3）当 0a时，由（2 ）知， ()fx在 ,1)上单调递增，在 (1,)上单调递减.若 1m，取 x，则有 m，与 (fx在 上单调递增矛盾，所以只有 .（9 分）当 时， x，所以 1()ffx，故只需 1()fx，即可满足 ()f.（10 分）下面证明 x在区间 (0,1)上恒成立.1()fx，即 1xe，即 xe，即12xe，两边取对数，得 ln()2.（11 分）构造函数 1ln()hxx，则221(1)()()xhx，对任意的 (0,)， 0，故 在 0,上单调递减，所以 1hx，所以
15、1ln()2x.（12 分）综上可知，正实数 m的最小值为 1.（13 分）21.解析：（ 1）由题意知，双曲线21y的焦点坐标分别为 (3,0)(,， （1 分）抛物线 24xy的焦点坐标为 (0,).（2 分）故椭圆 C的焦点坐标分别为 3,)，其中一个顶点的坐标为 (0,1)，故 3,12cba，（3 分）所以椭圆 C的标准方程为 214xy.（4 分）（2） （ i）由2yx得 25，解得 25x.所以 52(,)(,)AB，或 25(,),(,)5AB.因为 ,1ab，所以 5252(,)(,)PQ或 225(,),(,)5PQ.（5 分）（ii）设 12,AxyB，则由题意可得 1
16、2,xy.当直线 的斜率不存在时， 122，由以 PQ为直径的圆经过坐标原点可得 OPQ，即212104xxy，解得 214xy.（6 分）又点 1(,)A在椭圆上，所以21y，解得 112|,|x，所以 12|2OBSx.（7 分）当直线 的斜率存在时，设其方程为 ykxm.由 214ykxm得， 22(4)840kx，22222(8)()()16()k km，由根与系数的关系可得 1284x， 124x，（8 分）由以 PQ为直径的圆经过坐标原点可得 OPQ，即 1210xy，即 1204xy.（9 分）故 1212()4xkmx2121(222484kkm2281mk0，整理得 222()4180k，即 2410mk，所以 km.（10 分）而2222111|()4()41kxxk2226(4)()k，故22 2124| 1kABxm，而点 O到直线 的距离 2|dk，所以 222 2141| 12ABS k2 2| |4mmk.（12 分）综上可知， O的面积为定值 1.（13 分）
