单级倒立摆系统LQR控制器设计与仿真.doc
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1、单级倒立摆系统LQR控制器设计与仿真1. 倒立摆系统原理简介与建模图1 一级倒立摆原理图一级倒立摆系统的原理框图如上所示。系统包括计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分,组成了一个闭环系统。光电码盘1将连杆的角度、角速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡,摆杆的角度、角速度信号由光电码盘2反馈回控制卡。计算机从运动控制卡中读取实时数据,确定控制决策 ,并由运动控制卡来实现该控制决策,产生相应的控制量,驱动电机转动,带动连杆运动,保持摆杆的平衡。在忽略了空气阻力,各种摩擦之后,可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统,如下图2所示。图2 直线一级倒立摆系统 其中:M
2、小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置 摆杆与垂直向上方向的夹角 摆杆与垂直向下方向的夹角(考虑到摆杆初始位置为竖直向下)下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中,N和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。 注意:在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定,因而矢量方向定义如图所示,图示方向为矢量正方向。图3 (a)小车隔离受力图;(b) 摆杆隔离受力图分析小车水平方向所受的合力,可以得到以下方程:(1)MxFbN由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式: (2)2sindmxlt即:
3、 2cosinNmxll为了推出系统的第二个运动方程,我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析,可以得到下面方程:(3)2cosdPmglt即: 2sincosPmgll力矩平衡方程如下:(4)sicsPlNlI注意:此方程中力矩的方向,由于 , ,ocs故等式前面有负号。 sini合并这两个方程,约去P 和 N,得到第二个运动方程: (5)2sincosImlglmlx设 ( 是摆杆与垂直向上方向之间的夹角),假设 与1(单位 为弧度)相比很小,即 ,则可以进行近似处理: , ,1cossin,用来u代表被控对象的输入力F,线性化后两个运动方程如下: 20dt(6)2ImlglxMxbu系统状态空
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