1、1十一、线性规划、直线与圆的方程（必修二）（一）线性规划1.（2010 上海文数 15）满足线性约束条件 的目标函数 的最大值是23,0,xyzxy（ C ）A.1 B. . C.2 D.332解析：当直线 过点 B(1,1)时，z 最大值为 2zxy2.（2010 浙江理数 7）若实数 ， 满足不等式组 且 的最大值为xy30,21,xymxy9，则实数 ( C )mA. B. C.1 D.221解析：将最大值转化为 y 轴上的截距，将 m 等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选 C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题.3.（2010 全国卷
2、 2 文数 5）若变量 x,y 满足约束条件 ,则 z=2x+y 的最大值为( 1325xyC )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】本题考查了线性规划的知识。作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 与 的交点为最优解点，yx325y即为（1，1） ，当 时1,xymax3z4.（2010 安徽文数 8）设 x,y 满足约束条件260,yx则目标函数 z=x+y 的最大值是( C )2A.3 B.4 C.6 D.8【解析】不等式表示的区域是一个三角形，3 个顶点是 ，目标函数(3,0)6,(2)在 取最大值 6。zxy(6,0)【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线
3、围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值.5.（2010 重庆文数 7）设变量 满足约束条件,xy则 的最大值为( C )0,2,xy32zA.0 B.2C.4 D.6解析：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线 过点 B 时，在 y 轴上截距最小，z 最大32zxy由 B（2,2）知 4ma6.（2010 重庆理数 4）设变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值为( 013yxC )A.2 B.4 C.6 D.8 解析：不等式组表示的平面区域如图所示当直线过点 B（3,0）的时候，z 取得最大值 67.（2010 北京理
4、数 7）设不等式组 表示的平面区域为 D，若指数函数1035xy9y= 的图像上存在区域 D 上的点，则 a 的取值范围是( A )xaA.(1,3 B.2,3 C.(1,2 D.3, 3y0x70488070(15,55)0xy1Oyxy20xyxA 0:2lyL02A8.（2010 四川理数 7）某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品，由乙车间加工出 B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品，每千克 A 产品获利 40 元，乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品，每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两车间每天共能完成至多
5、 70 箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( B )A.甲车间加工原料 10 箱，乙车间加工原料 60 箱B.甲车间加工原料 15 箱，乙车间加工原料 55 箱C.甲车间加工原料 18 箱，乙车间加工原料 50 箱D.甲车间加工原料 40 箱，乙车间加工原料 30 箱解析：设甲车间加工原料 x 箱，乙车间加工原料 y 箱则 目标函数 z280x300y701648,xyN结合图象可得：当 x15,y55 时 z 最大本题也可以将答案逐项代入检验.9.（2010 全国卷 1 文数 3）若变量 满足约束条件 则 的最大,xy1,
6、20,yx2zxy值为( B )A.4 B.3 C.2 D.1【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解析】画出可行域（如右图） ， ，由图可知,当直线 l经过点122zxyxzA(1,-1)时，z 最大，且最大值为 .ma()3410.（2010 福建理数 8）设不等式组 所表示的平面区域是 ,平面区域是x1-2y+301与 关于直线 对称,对于 中的任意一点 A 与 中的任意一点 B,213490xy12的最小值等于( B )|AA B4 C D28525【解析】由题意知，所求的 的最小值，即为区域 中的点到直线 的|A13490xy距离的最小值的两倍，画出已知
7、不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线 的距离最小，故 的最小值为3490xy|AB，所以选 B。|349|2511.（2010 天津文数 2）设变量 x，y 满足约束条件 目标函数 z=4x+2y 的最大3,1,xy值为( B )A.12 B.10 C.8 D.2【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容 易题，5做出可行域，如图由图可知，当目标函数过直线 y=1 与 x+y=3 的交点（2，1）时 z 取得最大值 10.12设 ，集合 A=（ x， y）| ， B=（ x， y）0a3,40,2a | 若22(1)()xya点 P（ x， y） A 是点 P（ x，
8、y） B 的必要不充分条件，则 的取值范围是 a0,13.（2010 陕西文数 14）设 x， y 满足约束条件24,10,xy，则目标函数 z3 x y 的最大值为 5 .解析：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线 z3 x y 过点 C（2,1）时，在 y 轴上截距最小此时 z 取得最大值 514.（2010 辽宁理数 14）已知 14xy且 23xy，则 23zxy的取值范围是_（答案用区间表示） 【答案】 （3，8）【命题立意】本题考查了线性规划的最值问题，考查了同学们数形结合解决问题的能力。【解析】画出不等式组 2xy表示的可行域，在可行域内平移直线 z=2x-3y，当直线经过 x
9、-y=2 与 x+y=4 的交点 A（3，1）时，目标函数有最小值 z=23-31=3；当直线经过 x+y=-1 与 x-y=3 的焦点 A（1，-2）时，目标函数有最大值 z=21+32=8.15.（2010 北京文数 11）若点 P（m，3）到直线 4310xy的距离为 4，且点 P 在不等式 2xy3 表示的平面区域内，则 m= 。 答案：-3616.（2010 湖北文数 12）已知： 2,xy式中变量 ,xy满足的束条件,12yx则 z 的最大值为_。 【答案】5【解析】同理科17.（2010 安徽理数 13）设 ,xy满足约束条件2084 ,xy，若目标函数0,zabxy的最大值为
10、8，则 ab的最小值为_。 答案：4【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4 个顶点是1(0,)2,(),4，易见目标函数在 (1,4)取最大值 8，所以 8ab，所以 2ab，在 2ab时是等号成立。所以的最小值为 4.【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入得 4a，要想求ab的最小值，显然要利用基本不等式.18.（2010 湖北理数 12）已知 2zxy，式中变量 x， y满足约束条件,12,yx，则z的最大值为_. 【答案】5【解析】依题意，画出可行域（如图示） ，则对于目标函数 y=2x
11、-z，当直线经过 A（2，1）时，z 取到最大值， maxZ.7（二）直线与圆的方程1 （2010 江西理数 8）直线 3ykx与圆 224y相交于 M,N 两点，若23MN，则 k 的取值范围是（ A ）A. 04，B. 04， ，C. 3，D. 203，【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察数形结合的运用.解法 1：圆心的坐标为（3.，2） ，且圆与 y 轴相切.当|MN|3时，由点到直线距离公式，解得 3,04；解法 2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可， 不取 ，排除 B，考虑区间不对称，排除 C，利用斜率估值，选 A 2.（2010 安徽文数 4）过点
12、（1，0）且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是（ A ）（A）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D）x+2y-1=0【解析】设直线方程为 20xyc，又经过 (1,)，故 1c，所求方程为210xy.【方法技巧】因为所求直线与与直线 x-2y-2=0 平行，所以设平行直线系方程为c，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.也可以用验证法，判断四个选项中方程哪一个过点（1，0）且与直线 x-2y-2=0 平行.3.（2010 重庆文数 8）若直线 yxb与曲线 2cos,inxy（ 0,2)）有两个不同的公共点，则实数 b的取值范围为（ D
13、）（A） (2,1) （B） ,（C） (2,) （D） (2)8解析： 2cos,inxy化为普通方程 2()1xy，表示圆，因为直线与圆有两个不同的交点，所以 ,b解得 2b法 2：利用数形结合进行分析得 2,AC同理分析，可知 2b4.（2010 重庆理数 8）直线 y= 32x与圆心为 D 的圆 3cos,1inxy0,2交与 A、B 两点，则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为（ C ）A. 76 B. 54 C. 43 D. 53解析：数形结合 3012由圆的性质可知 1故 435.（2010 广东文数 6）96.（2010 全国卷 1 理数） （11）已知圆 O 的半径为 1，P
14、A、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么 PAB的最小值为( D )A. 42 B. 32 C. 42 D. 327.（2010 安徽理数 9）动点 ,Axy在圆 21y上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12 秒旋转一周。已知时间 0t时，点 的坐标是 3(,)，则当 012t时，动点 A的纵坐标 y关于 t（单位：秒）的函数的单调递增区间是( D )A.0,1 B.,7 C.7,12 D.,1和 7,【解析】画出图形，设动点 A 与 x轴正方向夹角为 ，则 0t时 3，每秒钟旋转 6，在 ,t上 ,32，在 ,上 3,2，动点 A的纵坐标 y关于 t都是单调递增的。10【方法技巧】
15、由动点 ,Axy在圆 21y上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由 12 秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易看出，当 t 在 0,12变化时，点 的纵坐标 关于 t（单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间.8.（2010 上海文数 7）圆 的圆心到直线 的距2:40Cxy340xy离 3 。d解析：考查点到直线距离公式圆心（1,2）到直线 距离为40xy352139.（2010 湖南文数 14）若不同两点 P,Q 的坐标分别为（a，b） ， （3-b，3-a） ，则线段 PQ 的垂直平分线 l 的斜率为 -1 ,圆（x-2） 2+（y-3）
16、2=1 关于直线对称的圆的方程为 10.（2010 全国卷 2 理数 16）已知球 O的半径为 4，圆 M与圆 N为该球的两个小圆，AB为圆 M与圆 N的公共弦， AB若 3，则两圆圆心的距离 MN 【答案】3 【命题意图】本试题主要考查球的截面圆的性质，解三角形问题.【解析】设 E 为 AB 的中点，则 O，E，M，N 四点共面，如图， 4AB，所以22OR3， =3，由球的截面性质，有 OE,， MN，所以 与 全等，所以 MN 被 OE 垂直平分，在直角三角形中，由面积相等，可得， E2OA 11.（2010 全国卷 2 文数 16）已知球 的半径为 4，圆 与圆 为该球的两个小圆，MN
17、为圆 与圆 的公共弦， ，若ABB，则两圆圆心的距离 3ONN。【解析】3：本题考查球、直线与圆的基础知识 ON=3，球半径为 4，小圆 N 的半径为 ，小圆 N7中弦长 AB=4，作 NE 垂直于 AB， NE= ，同理可得3O MN EAB11，在直角三角形 ONE 中， NE= ，ON=3， ， 3ME 36EON， MN=3ON12.（2010 山东文数 16）已知圆 C 过点（1,0） ，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l：被该圆所截得的弦长为 ，则圆 C 的标准方程为 .1yx2答案：13.（2010 四川理数 14）直线 与圆 相交于 A、 B 两点，则 . 250xy28xy
18、答案：2 3解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为 2圆心到直线 的距离为 d250xy2|05|1()故 |AB得| AB|2 314.（2010 天津文数 14）已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线x+y+3=0 相切。则圆 C 的方程为 。 【答案】 2(1)y解析：本题考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。令 y=0 得 x=-1，所以直线 x-y+1=0,与 x 轴的交点为（-1.0）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 ，所以圆|103|2rC 的方程为 2(1)xy【温馨提示】直线与圆的位置关
19、系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。15.（2010 广东理数 12）已知圆心在 x 轴上，半径为 的圆 O 位于 y 轴左侧，且与直线2x+y=0 相切，则圆 O 的方程是 . 答案： (5)x12解析：设圆心为 ，则 ，解得 (,0)a2|0|51ar5a16.（2010 四川文数 14）直线 与圆 相交于 A、 B 两点，则 . 50xy28xy答案：2 3解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为 2 圆心到直线 的距离为 d502|05|1()故 2|AB得| AB|2 317.（2010 山东理数 16）【解析】由题意，设所求的直线方程为 ，设圆心坐标为 ，则由题意知：x+
20、ym=0(a,0)，解得 或-1，又因为圆心在 x 轴的正半轴上，所以 ，故圆心坐22|a-1()+=(-)a=3 =3标为（3，0） ，因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有 ，即 ，故所求3+0m-的直线方程为 。xy-【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力。18.（2010 江苏卷 9）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 上有且仅有四个点到42yx直线 12x-5y+c=0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是_. 答案：（-13，13）解析考查圆与直线的位置关系。 圆半径为 2，圆心（0，0）到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1， ， 的取值范围是（-13，13） 。|3c
