1、 中小学 1 对 1 课外辅导专家01.已知抛物线 yx 2mxm2. （1）若抛物线与 x 轴的两个交点 A、B 分别在原点的两侧，并且 AB ，试求 m 的值；5（2）设 C 为抛物线与 y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点 M、N，并且 MNC 的面积等于 27，试求 m 的值.2.已知：抛物线 与 x 轴的一个交点为 A（1，0） taxy 42（1）求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标；（2）D 是抛物线与 y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以 AB 为一底的梯形 ABCD 的面积为 9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到 x 轴、y 轴的距离的比为 5
2、2 的点，如果点 E 在（2）中的抛物线上，且它与点 A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使APE 的周长最小?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由NMCxyO中小学 1 对 1 课外辅导专家11 题解: (1)（x 1，0）,B(x 2，0) . 则 x1 ，x 2 是方程 x2mxm20 的两根.x 1 x2 m , x 1x2 =m 2 0 即 m2 ;又 ABx 1 x2 , 145（ +）m 24m3=0 . 解得：m=1 或 m=3(舍去) , m 的值为 1 . （2）M(a，b)，则 N(a，b) .M、N 是抛物线上的两点, 2,.m
3、ba 得：2a 22m40 . a 2m2 .当 m2 时，才存在满足条件中的两点 M、N. .a这时 M、N 到 y 轴的距离均为 , 2又点 C 坐标为（0，2m）,而 SM N C = 27 ,2 （2m） =27 .1解得 m=7 . 2 题解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为 x2 抛物线与 x 轴的一个交点为 A（1，0） ， 由抛物线的对称性，可得抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为（3，0） （2） 抛物线 与 x 轴的一个交点为 A（1， 0） ，tay 42 t3a 0)1()(2a axy42 D（0，3a） 梯形 ABCD 中，ABCD，且点 C 在抛物线 上，
4、32NMCxyO中小学 1 对 1 课外辅导专家2 C（4，3a） AB2，CD4 梯形 ABCD 的面积为 9， 9)(1ODCAB93)42(1 a a1 所求抛物线的解析式为 或 342 xy2axy（3）设点 E 坐标为（ ， ）.依题意， ， ，0x0 且 250xy0025y 设点 E 在抛物线 上， 34 x 020 xy解方程组 得34,5020 xy； ， 1560yx ， 420 点 E 与点 A 在对称轴 x2 的同侧， 点 E 坐标为（ ， ） 2145设在抛物线的对称轴 x2 上存在一点 P，使APE 的周长最小 AE 长为定值， 要使APE 的周长最小，只须 PAP
5、E 最小 点 A 关于对称轴 x2 的对称点是 B（3，0） ， 由几何知识可知，P 是直线 BE 与对称轴 x2 的交点设过点 E、B 的直线的解析式为 ，nmy 解得.03,4521 nm.23,1 n 直线 BE 的解析式为 把 x2 代入上式，得 1 xy 21y 点 P 坐标为（2， ） 2设点 E 在抛物线 上， 34xy 34020xy解方程组 消去 ，得 .,2500xy 002中小学 1 对 1 课外辅导专家3 0 . 此方程无实数根综上，在抛物线的对称轴上存在点 P（2， ） ，使APE 的周长最小1解法二：（1） 抛物线 与 x 轴的一个交点为 A（1，0） ，taxy
6、42 t3a 0)1()( axy342令 y0，即 解得 ， 342 ax1 x32 抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为（3，0） （2）由 ，得 D（0，3a） ay42 梯形 ABCD 中，ABCD，且点 C 在抛物线上， xa32 C（4，3a） AB2，CD4 梯形 ABCD 的面积为 9， 解得 OD39)(1 ODAB a13a 所求抛物线的解析式为 或 342 xy42 xy（3）同解法一得，P 是直线 BE 与对称轴 x2 的交点 如图，过点 E 作 EQx 轴于点 Q设对称轴与 x 轴的交点为 F由 PFEQ，可得 PFB 4521 21P 点 P 坐标为（2， ） 以下同解法一
