结构优化有限元分析.doc

1、结构优化设计优 化 设 计 是 一 门 以 数 学 规 划 为 理 论 基 础 、 以 计 算 机 为 工 具 的 现 代 设 计 方法 ， 是 MCAE 技 术 的 重 要 组 成 部 分 。 实 践 证 明 ， 通 过 优 化 设 计 可 以 明 显 地 提高 设 计 质 量 、 降 低 产 品 成 本 以 及 减 小 人 的 劳 动 强 度 。优 化 设 计 过 程 包 括 两 个 主 要 环 节 ， 即 首 先 根 据 实 际 条 件 建 立 起 优 化 模 型 ，然 后 根 据 模 型 特 点 选 择 适 当 的 优 化 方 法 求 解 模 型 。 建 立 正 确 的 优 化 模 型

2、 是优 化 设 计 的 前 提 ， 模 型 是 否 符 合 实 际 ， 很 大 程 度 上 决 定 了 优 化 结 果 是 否 实 际最 优 解 。 模 型 求 解 是 优 化 设 计 的 关 键 ， 优 化 方 法 的 选 择 决 定 了 求 解 过 程 是 否收 敛 ， 以 及 收 敛 的 速 度 和 精 度 。 因 此 ， 除 掌 握 优 化 模 型 的 建 模 方 法 外 ， 了 解各 种 优 化 算 法 的 特 点 也 是 必 要 的 。一 .优 化 数 学 模 型对 于 任 何 优 化 设 计 问 题 ， 都 可 建 立 如 下 标 准 形 式 的 优 化 数 学 模 型 ， 即m

3、inf(X) X=（ x1,x2,xn） T （ 1-1）s.t. hi(x)=0 (i=1,2,m) gi(x) 0 (j=1,2,p) （ 1-2）上 述 模 型 可 以 解 释 为 求 解 n 维 欧 式 空 间 En中 可 行 域 D 内 的 设 计 变 量 X,在 收 到 （ subject to） m 个 等 式 约 束 hi(x)=0 的 条 件 下 ， 是 目 标 函 数 f(X)最 小 。 其 中 X 叫 设 计 变 量 ， hi(x)、 gi(x)叫 做 约 束 函 数 ， f(X)叫 做 目 标 函数 。 设 计 变 量 、 约 束 函 数 和 目 标 函 数 称 为 优

4、 化 设 计 的 三 要 素 。1.设 计 变 量设 计 变 量 指 在 设 计 过 程 中 所 要 选 择 的 描 述 结 构 特 性 的 量 ， 它 的 数 值 是 可变 的 。 设 计 变 量 可 以 是 各 个 构 件 的 截 面 尺 寸 、 面 积 、 惯 性 矩 等 设 计 截 面 的 几何 参 数 ， 也 可 以 是 柱 的 高 度 、 梁 的 间 距 、 拱 的 矢 高 和 节 点 坐 标 等 结 构 总 体 的几 何 参 数 。设 计 变 量 通 常 有 连 续 设 计 变 量 和 离 散 设 计 变 量 两 种 类 型 。 （ 1） 连 续 设 计 变 量 。 这 类 变

5、量 在 优 化 过 程 中 是 连 续 变 化 的 ， 如 拱 的 矢 高和 节 点 坐 标 等 。 （ 2） 离 散 设 计 变 量 。 这 类 变 量 在 优 化 中 是 跳 跃 式 变 化 的 ， 如 可 供 选 用的 型 钢 的 截 面 面 积 和 钢 筋 的 直 径 都 是 不 连 续 的 。机 械 设 计 中 的 所 有 参 数 都 是 可 变 的 ， 但 是 将 所 有 的 设 计 参 数 都 列 为 设 计变 量 不 仅 会 使 问 题 复 杂 化 ， 而 且 是 没 有 必 要 的 。 例 如 材 料 的 机 械 性 能 由 材 料的 种 类 决 定 ， 在 机 械 设 计

6、中 常 用 材 料 的 种 类 有 限 ， 通 常 可 根 据 需 要 和 经 验 事先 选 定 ， 因 此 诸 如 弹 性 模 量 、 泊 松 比 、 许 用 应 力 等 参 数 按 选 定 材 料 赋 以 常 量更 为 合 理 ;另 一 类 状 态 参 数 ， 如 功 率 、 温 度 、 应 力 、 应 变 、 挠 度 、 压 力 、 速度 、 加 速 度 等 则 通 常 可 由 设 计 对 象 的 尺 寸 、 载 荷 以 及 各 构 件 间 的 运 动 关 系 等计 算 得 出 ， 多 数 情 况 下 也 没 有 必 要 作 为 设 计 变 量 。因 此 ， 在 充 分 了 解 设 计

7、要 求 的 基 础 上 ， 应 根 据 各 设 计 参 数 对 目 标 函 数 的影 响 程 度 认 真 分 析 其 主 次 ， 尽 量 减 少 设 计 变 量 的 数 目 ， 以 简 化 优 化 设 计 问 题 。另 外 还 应 注 意 设 计 变 量 应 当 相 互 独 立 ， 否 则 会 使 目 标 函 数 出 现 “山 脊 ”或“沟 谷 ”， 给 优 化 带 来 困 难 。2.约 束 条 件约 束 条 件 是 对 设 计 变 量 取 值 范 围 的 限 制 。 所 有 约 束 条 件 组 成 设 计 空 间En的 一 个 字 空 间 ， 该 子 空 间 称 为 可 行 域 ， 记 为

8、D。按 不 同 的 分 类 方 法 ， 约 束 条 件 有 很 多 不 同 的 类 型 。 按 数 学 表 达 形 式 分 ，有 等 式 约 束 和 不 等 式 约 束 两 类 ； 按 约 束 条 件 的 性 能 不 同 ， 约 束 条 件 可 分 为 性能 约 束 和 边 界 约 束 ， 针 对 产 品 性 能 要 求 提 出 的 现 在 条 件 叫 做 性 能 约 束 ， 如 强度 、 刚 度 和 稳 定 性 等 ， 对 设 计 变 量 变 化 范 围 的 限 制 叫 做 边 界 约 束 ； 按 约 束 条件 的 表 达 方 式 分 ， 约 束 条 件 分 为 显 示 约 束 和 隐 式

9、约 束 ； 按 优 化 解 所 在 的 位 置不 同 ， 约 束 条 件 可 分 为 起 作 用 约 束 和 不 起 作 用 约 束 。在 选 取 约 束 条 件 时 应 当 特 别 注 意 避 免 出 现 相 互 矛 盾 的 约 束 。 因 为 相 互 矛盾 的 约 束 必 然 导 致 可 行 域 为 一 空 集 ， 使 问 题 的 解 不 存 在 。 另 外 应 当 尽 量 减 少不 必 要 的 约 束 ， 不 必 要 的 约 束 不 仅 增 加 优 化 设 计 的 计 算 量 ， 而 且 可 能 使 可 行域 缩 小 ， 影 响 优 化 结 果 。3.目 标 函 数目 标 函 数 是 优

10、 化 设 计 所 追 求 的 设 计 指 标 ， 如 要 求 产 品 重 量 最 轻 、 动 态 特 性 最好 、 承 载 能 力 最 大 等 等 。 一 般 情 况 下 ， 优 化 设 计 是 求 目 标 函 数 的 最 小 值 。 当最 大 值 时 ， 可 转 换 成 目 标 函 数 负 的 或 倒 数 的 最 小 值 问 题 。 因 此 ， 优 化 设 计 的目 标 函 数 可 写 成 一 般 形 式minf(X) X=（ x1,x2,xn） T （ 1-3）对 于 一 般 的 机 械 ， 可 按 重 量 最 轻 或 体 积 最 小 的 要 求 建 立 目 标 函 数 ;对 应力 集 中

11、 现 象 尤 其 突 出 的 构 件 ， 则 以 应 力 集 中 系 数 最 小 作 为 追 求 的 目 标 ， 对 于精 密 仪 器 ， 应 按 其 精 度 最 高 或 误 差 最 小 的 要 求 建 立 目 标 函 数 。 在 机 构 设 计 中 ，当 对 所 设 计 的 机 构 的 运 动 规 律 有 明 确 的 要 求 时 ， 可 针 对 其 运 动 学 参 数 建 立 目标 函 数 ;若 对 机 构 的 动 态 特 性 有 专 门 要 求 ， 则 应 针 对 其 动 力 学 参 数 建 立 目 标函 数 ;而 对 于 要 求 再 现 运 动 轨 迹 的 机 构 设 计 ， 则 应 根

12、 据 机 构 的 轨 迹 误 差 最 小的 要 求 建 立 目 标 函 数 。4.优 化 问 题 的 数 值 迭 代 方 法（ 1） 数 值 迭 代 的 基 本 思 想根 据 工 程 实 际 设 计 问 题 建 立 数 学 模 型 后 ， 依 其 复 杂 程 度 和 具 体 条 件 不 同 ， 可选 取 不 同 的 求 解 方 法 。 总 的 说 来 ， 优 化 设 计 问 题 的 求 解 方 法 可 分 为 解 析 方 法(即 微 分 法 )、 图 解 法 、 数 值 迭 代 法 。数 值 迭 代 的 迭 代 格 式 可 写 为XK+1=XK+ KSK ,k=0,1,2， （ 1-4）必 须

13、 满 足 适 用 性 要 求 ， 即f(Xk) f(Xk+1) , k=0,1,2， （ 1-5）其 中 为 收 索 步 长 ， S 为 收 索 方 向 。（ 2） 迭 代 计 算 的 终 止 准 则 点 距 准 则 当 相 邻 两 次 迭 代 点 XK和 XK+1之 间 的 距 离 已 达 到 充 分 小 时 ， 迭代 计 算 可 以 终 止 ， 即 XK+1- XK （ 1-6） 函 数 值 下 降 量 准 则 当 相 邻 两 次 迭 代 点 XK和 XK+1所 对 应 的 目 标 函 数 的下 降 量 或 相 对 下 降 量 已 达 到 充 分 小 时 ， 迭 代 则 可 终 止 ， 即

14、 f(Xk+1)- f(Xk) （ 1-7） 梯 度 准 则 当 迭 代 点 所 对 应 的 目 标 函 数 梯 度 已 达 到 充 分 小 时 ， 迭 代 则 可 终止 ， 即 f(Xk) （ 1-8）以 上 各 式 中 的 是 根 据 设 计 要 求 预 先 给 定 的 迭 代 精 度 小 正 数 。二 机 械 优 化 设 计 的 一 般 过 程机 械 优 化 设 计 的 全 过 程 一 般 可 分 为 如 下 几 个 步 骤 :1)建 立 优 化 设 计 的 数 学 模 型 。2)选 择 适 当 的 优 化 方 法 。3)编 写 计 算 机 程 序 。4)准 备 必 要 的 初 始 数

15、据 并 上 机 计 算 。5)对 计 算 机 求 得 的 结 果 进 行 必 要 的 分 析 。其 中 建 立 优 化 设 计 数 学 模 型 是 首 要 的 和 关 键 的 一 步 ， 它 是 取 得 正 确 结果 的 前 提 ， 下 面 将 专 门 讨 论 这 个 问 题 。三 例 题 解 析满 应 力 法 是 一 种 直 接 从 结 构 力 学 的 原 理 出 发 ， 以 满 应 力 为 准 则 而 建 立 起来 的 优 化 方 法 。 它 最 初 是 由 桁 架 结 构 的 设 计 而 发 展 起 来 的 ， 其 主 要 思 想 是 ，桁 架 结 构 在 外 部 载 荷 作 用 下 ，

16、 各 个 构 件 中 的 应 力 达 到 其 材 料 的 许 用 应 力 值 。道 理 很 简 单 ， 只 有 当 各 个 构 件 的 应 力 都 达 到 极 限 值 时 （ 满 应 力 状 态 ） ， 构 件的 材 料 才 能 得 到 充 分 利 用 。 否 则 ， 如 果 某 些 构 件 存 在 一 定 的 应 力 裕 度 ， 则 必然 造 成 材 料 浪 费 。现 以 下 图 所 示 ， 以 二 杆 桁 架 为 例 说 明 满 应 力 方 程 。 假 设 桁 架 上 作 用 的 外力 F=30KN,材 料 许 用 压 应 力 y为 20MPa。 现 用 满 应 力 法 设 计 各 杆 件

17、 的 截 面 积 ，以 使 桁 架 质 量 最 轻 。F40cm30cm 30cm21AL2L1图 1.桁 架 的 受 力 情 况1.设 计 变 量取 桁 架 的 截 面 积 为 设 计 变 量 x1,x2， 令 各 杆 面 积 均 为 10cm2， 则 初 始设 计 变 量 为X= x1,x2T=1*10-3, 1*10-3T （ 1-9）2 约 束 条 件 y （ 1-10）3.目 标 函 数W=g（L 1+ L2） *（ x1+ x2） （ 1-11）设 在 F 作 用 下 杆 1、 2 的 轴 向 力 分 布 为 Q1、 Q2， 对 于 桁 架 结 构 ， 不 计 构件 重 力 时 各

18、 构 件 只 承 受 轴 向 力 作 用 。 所 以 点 A 的 平 衡 条 件 有X=0 Q1cos - Q2cos =0 （ 1-12）Y=0 Q1sin + Q2sin =F （ 1-13）解 得 ： Q1 =F/2 sin , Q2= F/2 sin （ 1-14）其 中 ： cos =0.6 sin =0.8所 以 ， Q1, Q2T= F/2 sin , F/2 sin T=18750， ,18750T （ 1-15）由 于 各 杆 的 应 力 =Q/A , 所 以 初 始 应 力 （ 0） =1.875*107, 1.875*107T （ 1-16）将 各 杆 件 的 实 际 应

19、 力 与 许 用 应 力 比 较 ， 原 设 计 的 实 际 应 力 不 等 于 许 用 应 力 ， 为使 各 构 件 达 到 满 应 力 状 态 ， 应 对 初 始 设 计 进 行 修 改 。 设 计 修 改 的 一 般 公 式 是 ：x1k+1= i（ k） x1k （ 1-17） i（ k） =i（ k） /y （ 1-18）所 以 （ 0） =0.9375,0.9375T由 于 不 等 于 1， 所 以 要 利 用 x1k+1= i（ k） x1k， 对 个 构 件 截 面 积进 行 修 改 ， 得 到 新 的 设 计x1= （ 0） x0=0.9375*10-3, 0.9375*10

20、-3T （ 1-20）（ 1） =2*107, 2*107T （ 1） =1,1T此 时 的 =1， 达 到 满 应 力 法 的 要 求 ， 修 改 后 的 （ 1） =y， 也 达 到了 满 应 力 法 的 要 求 ， 所 以 迭 代 结 束 。4.下 面 利 用 ansys 软 件 对 此 结 构 进 行 优 化 ， 可 以 与 理 论 值 进 行 对 比 。1） 优 化 结 果 的 序 列 表SET1 (FEASIBLE)SET2 (FEASIBLE)SET3 (FEASIBLE)SET4 (FEASIBLE)SMAX (SV) 0.0000 -10.235 -13.365 -18.35

21、0 A_1 (DV) 0.0000 1831.9 1402.9 1021.8 WT (OBJ) 0.0000 0.14289E-01 0.10943E-01 0.79699E-02SET5 (FEASIBLE)SET6 (FEASIBLE)SET7 (FEASIBLE)SET8 (FEASIBLE)SMAX (SV) -20.881 -21.336 -20.977 -20.892 A_1 (DV) 897.93 878.79 893.83 897.47 WT (OBJ) 0.70039E-02 0.68546E-02 0.69719E-02 0.70003E-02*SET9* (FEASIBL

22、E)SMAX (SV) -20.249A_1 (DV) 925.98 WT (OBJ) 0.72226E-02表 1 优 化 结 果 的 序 列 表由 上 表 可 看 出 ， 当 迭 代 次 数 为 9 时 ， A1杆 的 面 积 为 925.98 mm2， 与 理 论值 937.5 mm2有 一 定 的 误 差 。2） 设 计 变 量 与 迭 代 次 数 之 间 的 变 化 曲 线图 2. 设 计 变 量 与 迭 代 次 数 之 间 的 变 化 曲 线3） 状 态 变 量 与 迭 代 次 数 之 间 的 变 化 曲 线图 3. 状 态 变 量 与 迭 代 次 数 之 间 的 变 化 曲 线4

23、） 目 标 函 数 与 迭 代 次 数 之 间 的 变 化 曲 线图 4. 目 标 函 数 与 迭 代 次 数 之 间 的 变 化 曲 线5） 应 力 图图 5.应 力 图5.结 论理 论 上 通 过 满 应 力 法 得 到 杆 的 最 小 面 积 为 937.5 mm2， 通 过 ansys 软 件分 析 ， 经 过 9 步 迭 代 计 算 ， 可 以 看 到 杆 件 的 面 积 明 显 下 降 ， 且 收 敛 速 度 非 常快 ， 第 九 步 中 的 面 积 为 925.98 mm2， 通 过 对 杆 面 积 的 优 化 大 大 减 少 了 杆 的重 量 ， 使 整 个 结 构 的 设 计 更 趋 于 合 理 ， 符 合 满 应 力 设 计 的 要 求 。